§6.2　等差数列

§6.2　等差数列(děnɡchāshùliè)高考(ɡāokǎo)文数(北京市专用)第一页，共34页。考点一　等差数列的定义及其通项公式1.(2018北京,15,13分)设{an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{an}的通项公式;(2)求 + +…+ .A组  自主(zìzhǔ)命题·北京卷题组五年高考解析　(1)设{an}的公差为d.因为a2+a3=5ln2,所以2a1+3d=5ln2.又a1=ln2,所以d=ln2.所以an=a1+(n-1)d=nln2.(2)因为 =eln2=2, = =eln2=2,所以{ }是首项为2,公比为2的等比数列.所以 + +…+ =2× =2(2n-1).第二页，共34页。2.(2015北京,16,13分,0.90)已知等差数列(děnɡchāshùliè){an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等?解析　(1)设等差数列(shùliè){an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列(shùliè){bn}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列(shùliè){an}的第63项相等.思路分析　(1)由已知可求得a1和公差d,即可求{an}的通项公式(gōngshì).(2)由已知求得b2,b3,进而求得{bn}的首项和公比q,即得b6的值,再由an=b6列方程求得n.第三页，共34页。考点二　等差数列(děnɡchāshùliè)的前n项和1.(2012北京,10,5分)已知{an}为等差数列(děnɡchāshùliè),Sn为其前na1= ,S2=a3,则a2=　　　    ;Sn=　    　    .答案　1; n(n+1)解析　∵S2=a3,∴a1+a2=a3.∵{an}为等差数列,∴a1+a1+d=a1+2d,∴d=a1= ,∴a2=a1+d= + =1,Sn=na1+ d= n(n+1).考点定位　本题主要(zhǔyào)考查等差数列的基本运算,难度并不高,要求掌握等差数列通项公式和前n项和公式.2.(2016北京(běijīnɡ),15,13分,0.88)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.第四页，共34页。解析　(1)设等比数列{bn}的公比为q,则q= = =3, (1分)所以b1= =1,b4=b3q=27. (3分)设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,解得d=2. (5分)所以an=2n-1(n=1,2,3,…). (6分)(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. (8分)从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1= + =n2+ . (13分)思路分析　(1)利用已知求出{bn}的公比q,进而求出b1,再求出{an}的公差d,即可求出{an}的通项公式(2)分组求和,利用等差数列(děnɡchāshùliè)和等比数列的求和公式求解.第五页，共34页。考点一　等差数列的定义及其通项公式1.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{an}的公差(gōngchā)为d.若数列{ }为递减数列,则 (　　)A.d>0　    B.d<0　    C.a1d>0　    D.a1d<0B组  统一(tǒngyī)命题、省(区、市)卷题组答案    D　∵{ }为递减数列,∴ = = <1=20,∴a1d<0,故选D.2.(2015浙江,10,6分)已知{an}是等差数列(děnɡchāshùliè),公差da2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=　　　    ,d=    .答案     ;-1解析　∵a2,a3,a7成等比数列,∴ =a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=- a1①,∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1②,由①②可得a1= ,d=-1.第六页，共34页。3.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列(děnɡchāshùliè),Sn是其前na1+ =-3,S5=10,则a9的值是　　        .答案(dáàn)　20解析　设等差数列{an}的公差为d,则由题设可得 解得 从而a9=a1+8d=20.评析　数列的计算(jìsuàn)求值问题一般应以“基本量”为主.第七页，共34页。4.(2014陕西,14,5分)已知f(x)= ,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为    　　　　　　　　　　　　　    .答案    f2014(x)= 解析　由已知易知fn(x)>0,∵fn+1(x)=f(fn(x))= ,∴ = = +1⇒ - =1,∴ 是以 = 为首项,1为公差的等差数列.∴ = +(n-1)×1= ,∴fn(x)= ,∴f2014(x)= .评析　本题考查等差数列的定义(dìngyì)及构造新数列的能力,灵活运用知识构造新数列是解题的关键.第八页，共34页。5.(2015重庆,16,13分)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3= .(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.解析　(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+ d= ,化简得a1+2d=2,a1+d= ,解得a1=1,d= ,故通项公式为an=1+ ,即an= .(2)由(1)得b1=1,b4=a15= =8.设{bn}的公比为q,则q3= =8,从而q=2,故{bn}的前n项和Tn= = =2n-1.评析　本题(běntí)考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.第九页，共34页。6.(2015福建,17,12分)等差数列(shùliè){an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列(shùliè){an}的通项公式;(2)设bn= +n,求b1+b2+b3+…+b10的值.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)= + =(211-2)+55=211+53=2101.评析　本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和(qiúhé)等基础知识,考查运算求解能力.第十页，共34页。考点二　等差数列(děnɡchāshùliè)的性质1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设Sn是等差数列(děnɡchāshùliè){an}的前na1+a3+a5=3,则S5= (　　)答案    A　∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,由题意得3a3=3,则a3=1,∴S5= =5a3=5,故选A.2.(2014重庆(zhònɡqìnɡ),2,5分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7= (　　)答案    B　解法一:设等差数列{an}的公差为d,则 解之得d=1,故a7=a1+6d=2+6×1=8.解法二:由等差数列的性质知a1+a7=a3+a5,∴a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.第十一页，共34页。3.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列(shùliè),其末项为2015,则该数列(shùliè)的首项为　　　    .答案(dáàn)　5解析　设该数列的首项为a1,根据等差数列(děnɡchāshùliè)的性质可得a1+2015=2×1010,从而a1=5.第十二页，共34页。考点(kǎodiǎn)三　等差数列的前n项和1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前nS8=4S4,则a10= (    　)A. 　    B. 答案    B　由S8=4S4得8a1+ ×1=4× ,解得a1= ,∴a10=a1+9d= ,故选B.评析　本题主要(zhǔyào)考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.2.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn= (    　)A.n(n+1)　    B.n(n-1)C. 　    D. 答案    A　∵a2,a4,a8成等比数列,∴ =a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),将d=2代入上式,解得a1=2,∴Sn=2n+ =n(n+1),故选A.第十三页，共34页。3.(2014天津,5,5分)设{an}是首项(shǒuxiànɡ)为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前nS1,S2,S4成等比数列,则a1= (　　)A.2　    B.-2　    C.  答案    D　由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因为S1,S2,S4成等比数列,所以 =S1·S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=- ,故选D.4.(2015安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　    .答案(dáàn)　27解析　由题意得{an}为等差数列,且公差d= ,∵a1=1,∴S9=9×1+ × =27.第十四页，共34页。5.(2014江西(jiānɡxī),13,5分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　    .答案     解析　由题意知d<0且 即 解得-1<d<- .6.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列(děnɡchāshùliè){an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析　(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式(gōngshì)为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.第十五页，共34页。方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 　求等差数列前n项和Sn的最值的方法:(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn(a≠0),通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)邻项变号法:①当a1>0,d<0时,满足(mǎnzú) 的项数m使得Sn取得最大值,为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最大值);②当a1<0,d>0时,满足(mǎnzú) 的项数m使得Sn取得最小值,为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值).第十六页，共34页。7.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{an}的公差(gōngchā)d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.解析　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故 所以 评析　本题主要考查等差数列的概念、通项公式(gōngshì)、求和公式(gōngshì)等基础知识,同时考查运算求解能力.第十七页，共34页。8.(2014重庆,16,13分)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足(mǎnzú)q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解析　(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+…+(2n-1)= = =n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.从而{bn}的前n项和Tn= = (4n-1).第十八页，共34页。考点一　等差数列的定义及其通项公式(gōngshì)1.(2017北京海淀一模,15)已知等差数列{an}满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列{an}的通项公式(gōngshì);(2)求数列{an+an+1}的前n项和.三年模拟A组2016—2018年高考(ɡāokǎo)模拟·基础题组解析　(1)设数列{an}的公差为d.因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a1+d=6,所以a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)设bn=an+an+1,所以b1=6,bn=2n+2(n+1)=4n+2,又bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4,所以{bn}是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和Sn= = =2n2+4n.故数列{an+an+1}的前n项和为2n2+4n.第十九页，共34页。2.(2018北京房山二模,15)已知等差数列(děnɡchāshùliè){an}满足a1+a2=10(n∈N*),a4-a3=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b5与数列{an}的第几项相等?解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.因为(yīnwèi)a4-a3=2,所以d=2.又因为(yīnwèi)a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n∈N*). (6分)(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为(yīnwèi)b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b5=4×25-1=64.由64=2n+2,得n=31.所以b5与数列{an}的第31项相等. (13分)第二十页，共34页。考点二　等差数列的性质(2018北京石景山一模,13)在等差数列{an}中,a3=0,如果ak是a6与ak+6的等比中项,那么(nàme)k=　　        .答案　9解析　设公差为d,由题意得a3=a1+2d=0,所以a1=-2d,因为ak是a6与ak+6的等比中项,所以 =a6ak+6,即[a1+(k-1)d]2=(a1+5d)·[a1+(k+5)d],即[(k-3)d]2=3d·(k+3)d,由题意得d≠0且k≠0,从而k-9=0,解得k=9.点睛方法　在解决等差、等比数列的有关运算问题时,有两个处理思路:一是利用基本量,虽有一定的运算量,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质(xìngzhì),性质(xìngzhì)是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具.应注意在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质(xìngzhì)、整体考虑、减少运算量”的方法.第二十一页，共34页。考点三　等差数列的前n项和1.(2016北京(běijīnɡ)东城期中,5)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=3,a10=10,则S7的值是 (　　)答案    C　∵a3=3,a10=10,∴ ∴ ∴S7=7a1+ d=28.2.(2017北京(běijīnɡ)朝阳一模,10)已知{an}为等差数列,Sn为其前nS6=51,a1+a9=26,则数列{an}的公差d=　　　    ,通项公式an=　　　    .答案(dáàn)　3;3n-2解析　设等差数列{an}的公差为d.∵{an}为等差数列,S6=51,a1+a9=26,∴ 解得a1=1,d=3.∴an=1+(n-1)×3=3n-2.第二十二页，共34页。3.(2017北京(běijīnɡ)朝阳期末,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S2=a3,则a2=　　　    ,S10=    　　    .答案(dáàn)　4;110解析　设等差数列{an}的公差为d.∵S2=a3,∴2a1+d=a1+2d,又a1=2,∴d=2.∴a2=4,S10=10×2+ ×2=110.4.(2017北京朝阳二模,16)已知数列{an}是首项a1= ,公比q= 的等比数列.设bn=2lo an-1(n∈N*).(1)求证:数列{bn}为等差数列;(2)设cn=an+b2n,求数列{cn}的前n项和Tn.第二十三页，共34页。解析　(1)证明(zhèngmíng):由已知得:an= · = ,则bn=2lo  -1=2n-1(n∈N*).则bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2.所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=2n-1,则b2n=4n-1,则数列{b2n}是以3为首项,4为公差的等差数列.cn=an+b2n= +4n-1.则Tn= + +…+ +3+7+…+(4n-1),即Tn= + ,即Tn=2n2+n+ - · (n∈N*).第二十四页，共34页。5.(2018北京(běijīnɡ)海淀期末,15)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=5,S3=a7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn= ,求数列{an+bn}的前n项和.解析　(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 解得a1=3,d=2,则an=2n+1,因此,数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)由(1)可知:an=2n+1,则bn=22n+1, = =4.因为b1=23=8,所以数列{bn}是首项为8,公比为4的等比数列.记{an+bn}的前n项和为Tn,则Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)= + =n2+2n+ .第二十五页，共34页。试题分析　(1)根据等差数列的概念得数列的通项公式(gōngshì);(2)由第(1)问得到bn=22n+1,{an+bn}的前n项和可用分组求和法求解.点睛方法　本题考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法.数列通项的求法中,常见的是已知Sn和an的关系,求an的表达式,一般是写出Sn-1(n≥2),作差得通项,但是这种方法需要(xūyào)检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用方法有错位相减法、裂项求和法、分组求和法等.第二十六页，共34页。1.(2016北京朝阳一模,11)已知递增的等差数列(děnɡchāshùliè){an}(n∈N*)的首项a1=1,且a1,a2,a4成等比数列,则数列{an}的通项公式为an=　　　    ;a4+a8+a12+…+a4n+4=　　　    .B组  2016—2018年高考(ɡāokǎo)模拟·综合题组(时间:40分钟　　分值:70分)一、填空题(共5分)答案(dáàn)    n;2n2+6n+4解析　设公差为d,因为a1,a2,a4成等比数列,故 =a1·a4,∴(a1+d)2=a1·(a1+3d),则(1+d)2=1+3d.解得d=0或d=1.∵{an}为递增数列,∴d=1.∴an=n.∴a4,a8,a12,…,a4n+4成等差数列,首项为4,公差为4,共(n+1)项.∴a4+a8+a12+…+a4n+4= =2n2+6n+4.第二十七页，共34页。2.(2018北京昌平二模,16)已知数列{an}满足a1=1,a2= ,数列{bn}是公差为2的等差数列(děnɡchāshùliè),且bnan+1+an+1=nan.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.二、解答(jiědá)题(共65分)解析　(1)因为bnan+1+an+1=nan,所以b1a2+a2=a1.又因为a1=1,a2= ,所以b1=1.所以数列{bn}的通项公式是bn=2n-1,n∈N*. (7分)(2)由(1)知bn=2n-1,因为bnan+1+an+1=nan.所以(2n-1)an+1+an+1=nan,则2nan+1=nan,得 = (n∈N*).所以数列{an}是以1为首项, 为公比的等比数列.故数列{an}的前n项和Sn= =2-21-n,n∈N*. (13分)第二十八页，共34页。3.(2018北京西城一模,15)设等差数列(děnɡchāshùliè){an}的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求使Sn>35成立的n的最小值.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,d≠0.因为a2,a3,a6成等比数列,所以 =a2·a6, (2分)即(1+d)2=1+4d, (4分)解得d=2或d=0(舍去). (6分)所以{an}的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3. (8分)(2)因为an=2n-3,所以a1=-1,所以Sn= =n2-2n. (10分)依题意有n2-2n>35,又n∈N*,所以n>7. (12分)所以使Sn>35成立的n的最小值为8. (13分)第二十九页，共34页。4.(2017北京(běijīnɡ)丰台一模,16)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17.(1)求证:数列{bn}是以-2为公差的等差数列;(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的最大值.解析　(1)证明:设等比数列{an}的公比为q,则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2 =log2q,因此数列{bn}是等差数列.又b11=log2a11=3,b4=17,所以等差数列{bn}的公差d= =-2,所以数列{bn}是以-2为公差的等差数列.(2)由(1)知bn=25-2n,b1=23,则Sn= = =(24-n)n=-(n-12)2+144,于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.解后反思　本题考查了等差和等比数列的定义及等差数列的前n项和公式(gōngshì),数列是特殊的函数,用函数的观点解决数列问题时要注意n∈N*.第三十页，共34页。5.(2017北京西城二模,17)设{an}是首项为1,公差(gōngchā)为2的等差数列,{bn}是首项为1,公比为q的等比数列,记cn=an+bn,n=1,2,3,….(1)若{cn}是等差数列,求q的值;(2)求数列{cn}的前n项和Sn.解析　(1)因为{an}是首项(shǒuxiànɡ)为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.因为{bn}是首项(shǒuxiànɡ)为1,公比为q的等比数列,所以bn=qn-1.所以cn=an+bn=2n-1+qn-1.因为{cn}是等差数列,所以2c2=c1+c3,即2(3+q)=2+5+q2,∴q=1.经检验,q=1时,cn=2n,{cn}是等差数列.第三十一页，共34页。(2)由(1)知cn=2n-1+qn-1(n=1,2,…).所以Sn= = + = + =n2+ .当q=1时,Sn=n2+n.当q≠1时,Sn=n2+ .综上,Sn= 思路分析　(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式(gōngshì),表示出cn,再由等差中项的性质求出q.(2)分组求和即可.易错警示　第(2)问中要考虑(kǎolǜ)q=1和q≠1两种情况.第三十二页，共34页。6.(2016北京(běijīnɡ)海淀期末,15)等差数列{an}的首项a1=1,其前n项和为Sn,且a3+a5=a4+7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求满足不等式Sn<3an-2的n的值.解析　(1)设数列{an}的公差为d.因为a3+a5=a4+7,所以2a1+6d=a1+3d+7.因为a1=1,所以3d=6,所以d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)因为a1=1,an=2n-1,所以Sn= =n2,所以不等式转化为n2<3(2n-1)-2,所以n2-6n+5<0,解得1<n<5,又n∈N*,所以n的值为2,3,4.思路(sīlù)分析　(1)由a1=1,a3+a5=a4+7可求得公差d,故{an}的通项公式可求.(2)根据题意列出不等式求解即可.第三十三页，共34页。内容(nèiróng)总结§6.2　等差数列。所以 + +。= + =n2+ . (13分)。解析　由已知易知fn(x)>0,∵fn+1(x)=f(fn(x))= ,∴ = = +1⇒ -。∴ 是以 = 为首(wéishǒu)项,1为公差的等差数列.。∴ = +(n-1)×1= ,。即Tn= + ,。所以Sn= = + = + =n2+ .第三十四页，共34页。