3.6:线性规划目录：线性规划的基本概念线性规划在实际问题中的应用【
知识点
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1:线性规划的基本概念】(1)如果对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，则称这些约束条件为线性约束条件_zfx,y是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做—目标函数当fx,y是x、y的一次解析式时，zfx,y叫做_线性目标函数(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为—线性规划问题—;满足线性约束条件的解x,y叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做x例题：若变量x、y满足约束条件xy(B)4和3C.3和2分析：本题考查了不等式组表示平面区域,_最优解__y21，则zxy的最大值和最小值分别为04和2D.2和0目标函数最值求法4：,解：画出可行域如图iiT'作I。:2xy0yxxy1，则z的最大值是__3.所以当直线z2xy过A2,0时z最大，过B1,0时z最小zmax4,zmin2.变式1:已知z2xy，式子中变量x、y满足条件解：不等式组表示的平面区域如图所示C.5D.3作直线l°:2xy0，平移直线I。，当直线I。经过2：油'；平面区域的点A2,1时，z取最大值2213.爲Jx4y3变式2:设z2xy，式中变量x、y满足条件3x5y25，求z的最大值和最小值x1分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解解：作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.把z2xy变形为y2xz，得到斜率为-2,在y轴上的截距为z,随z变化的一族平行直线.由图可看出，当直线z2xy经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小.解方程组x4y30，得A点坐标为5,2,3x5y250x1解方程组，得B点坐标为1,1x4y30所以Zmax25212,Zmin2113.xy6变式3:若变量x、y满足约束条件x3y2，则z2x3y的最小值为(x1B.14A.17作出以上不等式组所表示的平面区域（即可行域），如图所示:z2x3y变为y2z,口入一，3X3，得斜率为3，在y轴上截距为z且随z变化的一组平行3解:作出可行域（如图阴影部分所示）•作出直线l:2x3y0.平移直线I到I'的位置，使直线I通过可行域中的A点（如图）这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值.解方程组x1,口冃…x1，得最优解，x3y2y1zmin21315【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】例题：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成
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，并使总的用料面积最省？解：设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z,则约束条件为3x6y455x6y55x0y0目标函数为z2x3y.直线.当直线z2x3y过可行域上点M时，截距最小，z最小.解方程组，得M点的坐标为（5,5）.此时zmin253525m2.答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.变式1:4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，贝U2个茶杯和3包茶叶的价格比较(A)A.2个茶杯贵B.3包茶叶贵相同D.无法确定解：设茶杯每个x元，茶叶每包y元，则4x5y226x3y24x,yNU2xy取值的符号判断如下由y2-x—•当U0时，过点A3,2，往下平移•经过可行域内的点—0333•••U0,即2x3y•往上平移不经过可行域内的点.•••选A.TOC\o"1-5"\h\zxy20变式2已知x、y满足xy40，求：2xy5022⑴zxy10y25的最小值；(2)zI」的取值范围•x1分析：(1)将z化为zx2y52，问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题；(2)将式子化为zy(1)或y1z(x1)，问题转化为求可行域中的点与定点的连线的x(1)斜率的最值问题解：作出可行域如图并求出点A、B的坐标分别为(1,3)(3,1)22(1)zxy5表示可行域内任一点x,y到定点M0,5的距离的平方，过M作直线AC的垂线MN，垂足为N，则：Zmin2MN20529■^厂2(2)z-_1—_表示可行域内任一点x1x(1)x,y与定点Q1,1连线的斜率，可知，kAQ最大，kQB最小.而kQA•••z的取值范围为1,22点评:求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列结合的体现.0x2变式3在条件0y2下，zxy12x12y1的取值范围是解：由约束条件作出可行域如图目标函数表示点(x,y)与点M(1,1)的距离的平方.由图可知，z的最小值为点M与直线xy1的距离的平方.即Zmin111z的最大值为点M1,1与点B(2,0)的距离的平方:22即zmax12102.•z的取值范围为1,223x2y10变式4设变量x、y满足条件4y11Z,yz.求S5x4y的最大值.x0,y0错解：依约束条件画出可行域如图所示如先不考虑xS5x4ySmaxy为整数的条件，则当直线5x4y923S过点A5,10时,一取最大值，5因为X、y为整数，而离点A最近的整点是C1,2，这时S13，所要求的最大值为13.分析：显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S14，故上述解法不正确.对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点.而要先对边界点作目标函数tAxBy的图像，则最优解是在可行域内离直线tAxBy最近的整点.正解：依约束条件画出可行域如图示作直线I:5x4y0平行移动直线l经过可行域内的整点B(2,1)时，Smax14.
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