《数值分析》第四章思考题解线性方程组的迭代法与直接法相比哪些不同？解：解方程的迭代法分为多种迭代法，迭代法适用于求解大规模稀疏矩阵的线性方程组。直接法适用于求解阶数比较低的线性方程组。雅可比迭代法中的迭代矩阵如何构造？解：雅可比迭代法的矩阵
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示，可以用矩阵分裂导出。传统的矩阵分裂法是将方程组Ax=b的系数矩阵A分为三部分之和，设A=D-L-Un):左卞角和rJ7=-其中.主对角部分,D-diag(«iit化“右上角部分取负值为I—0a2l°L=—如%°0%…叫Z0」_由干门」存在，将方程i^Ax=b化为等价形式x=D~\L+t7)x+D」/)雅町比迭代法矩阵表示为=D\L+If)+D{b.(k=1,2,H)迭代拒阵为3.迭代法中的迭代矩阵与方程组数值解误差有何关系？解：迭代格式收敛的充分必要条件是limBk=0kT8经过证明过程得：lim2打km这也就是说明迭代法产生的序列收敛，且序列的极限是方程组a-b)-ix=才的解。迭代矩阵的幂级数有何数学意义？解：矩阵的谱半径与矩阵的范数相比哪一个大？2，3，解：设n阶矩阵B的特征值为人，AA•••£，则称丄2939"P⑻=max1kn为矩阵B的谱半径。谱半径与矩阵的算子范数之间如下关系：P(B)S|田||迭代法收敛定理对方程组数值解的误差是如何估计的？解：如果迭代法收敛。当迭代次数足够大时，可用最后相邻两次迭代解的差替代最后一次迭代解的误差。如果系数矩阵是主对角占优矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？解：如果系数矩阵是严格主对角占优矩阵，可以用赛德尔迭代法求解。如果系数矩阵是实对称正定矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？解：如果系数矩阵是对称正定矩阵，可以用赛德尔迭代法求解。何谓共轭向量组？共轭向量组与正交向量组有何区别？设阶对称正定矩阵，非零向量叶话申若⑷阳)=0,则称向童兀乃关于川共辄若舟个非零向量P],眄严,卩側"満足:(Api,巧)=03j；H=1，2厂戶)则称向量p限广叽，关于”共辄向量共轭是向量正交关系的推广。何谓线性方程组的初等变分原理？初等变分原理有哪些应用？解：对于一个系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组，求解过程可以与一个多元二次函数的极小值点相联系。设线性方程组Ax=b的系数矩阵A是实对称正定矩阵，构造二次函数1f(x)=(Ax,x)—(b,%),xeRn2由于A对称正定，故方程组Ax=b有唯一解Q,且二次函数f(x)也有唯一的极小值点。线性方程组问题与二次函数极小值问题等价，称为初等变分原理。
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