微积分讲义

6.PAGE\*MERGEFORMAT#Chapter1微分1•微分是求函數f(x)相對於變數x的變化率或說是每單位x變化下相對應的f變化這就如同速度是位置相對於時間的變化率，它的意思就是單位時間變化下所對應的位置變化。當變數由X增加為x+Ax時，函數相應地也會有變化f(x)Tf(x+Ax)，定義函數變化Af三f(x+Ax)-f(x)，那麼学即是x至x+Ax這個範圍內的平均變化率Ax(每單位x變化下，相對應的f變化)。如果進一步讓這個範圍逐漸縮小，取AxT0的極限，那麼所得到的就是在x處的變化率，此變化率記為f:dfdxlimAfAxT0Ax二limf(x+Ax)-f(x)AxT0Axdx稱為導數(Derivative),其實就是在x處函數f的變化率。導函數的幾何意義：導數為函數f的曲線在x處切線的斜率。4f60⑧⑧20Ax®040©©x根據以上定義我們自然可以在任何x計算導數，如此得到一個變數x的函數，就稱為dxAxv(t)二二limdtAtT0Atx(t+At)-x(t)=limAtT0At2.3.導函數，記為f'(x)或f(x)。由函數fx)得到其導函數f'(x)的運算，fTf'就稱為dx微分(Differentiation)。如果這裏的變數x是時間t,而函數f是質點的位置x(t),則dxdx導函數丁便是位置函數x(t)的變化率，也就是速度函數v：丁二v(t)，dtdt常數的微分：f(x)二c，Af二0，因此f二0。dx線性組合：(f(x)+g(x))'二f'(x)+g'(x)(cf(x))'=f'(x)多項式的微分：f(x)二xn，f'(x)=lim芋-f(x)-(x+Ax)n-xnAxT0Ax而(x+Ax)n二xn+nxn-iAx+O(Ax2)，因此f(xlAx)-f(x)(xlAx)n-xnnxn-1AxlO(Ax2)f'(x)=lim=lim=lim=nxn-1。AxT0AxAxT0AxAxT0AxAxAxPAGE\*MERGEFORMAT#dxn=nxn-1dx7.倒函數的微分：f(x)=g(x)f=limA=limdxAxtOAxAxtO=limAxtOg(x+Ax)g(x)g(x+Ax)g(x)」Axg(x+Ax)-g(x)=-g_g2Ax試試看：(xn)'二nxn-i對負整數的n,也能適用。比如=-1x28.乘積律：(f(x)g(x))'二f'(x)g(x)+f(x)g'(x)d(f(x)g(x))=limf(x+Ax)g(x+Ax)-f(x)g(x)=dxAxtOAx證明：limf(x+3g(x+心)-f(x)g(x+Ax)+limf(x)g(x+Ax)-f(x)g(x)AxtOAxtOAx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)Ax9.連鎖律(合成函數的微分)：［f(g(x))二f'(g(x))g'(x)dx證明：Af(g(x))=limf(g(x+Ax))一f(g(x))=dxAxtOAxlimf(g(x+Ax))-f(g(x))%limg(x+Ax)-g(x)=Axtog(x+Ax)-g(x)心toAxf(g+Ag)-f(g)xlimg(x+Ax)-g(x)=d(g)x心toAxdgdxlimAgtOAgAx例1:f(x)二(1+ax2)'，可設g(x)=1+ax2，則f'=x在第一項中，g視為dgdx變數f(g)二gn,例2：反函數的微分：第二項中g視為函數：f'=ngn-1x2ax=2nax(1+ax2)n-1。設g為f的反函數，則f(g(x))=x，根據連鎖定律:空型=竽=1=fix字，因此dg=(广@))-1。dxdxdgdxdx1利用此一定律可以計算g(x)=xn的導函數，函數g是f=xn的反函數，因此dg=(f'(g)L=Qn-11=1x十=1xt-1，這與n是整數時的結果是一樣的(見dxnn4)。由以上這些公式可以進一步推得當n是有理數時，第4•點中的公式還是對的，也就是Xq\丿X：-1q10.高階微分：請注意導函數f'(x)本身也是一個x的函數，所以對它我們也可以求變化率，也就是微分，所得結果稱為二次導數：dX2Ax=f=limf=lim八x+Ax)-八x)dxAxtOAxAxT0以此類推，即可定義n階導數:dnf_drdn-1f、dxndx(dxn-1丿如果這裏的變數x是時間t,而函數f是質點的位置x(t)，d2x則位置的二次微分-便是速度的變化率’也就是加速度d2xdva:_—_a(t)。dt2dt11.函數的極值：導函數可以幫助我們找出函數的極值。當函數是極大值或極小值時,在當地的函數曲線之切線斜率一定為0所以如果一函數f(x)在x_x0處出現極值，那麼在x_x處的導數一定為0:f'(x)_0。00當x_x的極值是極大值時，斜率在極值附近由正變負(當x增大)，故f''(x)<0。00當x_x的極值是極小值時，斜率在極值附近由負變正(當x增大)，故f''(x)>0。0012.3D空間中的速度與加速度:在三度空間中，質點的位置以一個向量來表示，選擇一座標系後，一向量可以三個分量來描述，這些分量都是時間的函數:r_(x(t),y(t),z(t))現在位移向量是前後位置向量的差Ar_(Ax,Ay,Az)，其中Ax_x(t+At)-x(t)等等,因此速度向量就是Att0時位置向量的變化率:v_lim心Att0At_lim岸,Ay,AZ]AttOVAtAtAt丿也就是將三個分量分別微分，同理3D的加速度也可以如此定義:a二limAttOAvAt二lim(AvxAtAvyAtAv'zAt'd2xd2yd2z'、dt2，dt2，dt2丿例子：等速圓周運動的加速度：一個等速圓周運動的座標可以很容易寫出來，如果旋轉的角速度為®，那麼假設此運動開始旋轉時的角度為0則時間t時的角度應為Wt,因此它的位置座標為r=(rcos®t,rsin®t),為了求得速度必須知道sin9對9的微分：—(sinx)=dxsin(x+Ax)-sinxlimAxtOAxsinxcosAx+sinAxcosx-sinx=limAxtOAx當Axt0時，cosAxt1，sinAxtAx(可以在一個半徑為1,弧角為Ax的情況來看)因此f(sinx)二cosx。用類似的計算可以導出：d(cosx)二-sinxodxdx現在可以計算等速圓周運動的速度(運用連鎖律)：-drv==dtfrl(coswt),圧(sinWt)]Idtdt丿dddr(coswt)x—Wt,r、d(wt)dtd(wt)=(-rw(sinwt),rw(coswt))(sinwt)x—wtdt你可以驗證這個結果是否是對的,試試看這樣得到的速度向量與位置向量互相垂直v•r=0，而且大小是rw正好是我們所預期的。再將速度向量微分一次即得加速度向量：rdva=一dt一rw—(sinwt),rw—(coswt)dtdt=1ddd一rw(sinwt)xwt,rwd(wt)dtd(wt)w2r(coswt),-w2r(sinwt))(coswt)x—wtdt可以明顯看出加速度與位置向量反向，而大小為rw2,用速度大小v=wr表示,v2就是a=-Or13.指數函數的微分：f(x)二ax,小/、ax+心—axax(a心—1)(a心—1)、「宀〕「匕、七卜=代rf(x)二lim人二lim人二ax•lim人。汪意中括號裡的式子與AxtOA%AxtO^x_AxtO^x_變數x無關，而由a決定。它事實上就是f(x)=ax在x=0處的導數，而由作圖知道f(x)=ax在x=0處的切線斜率是存在的(不是零或無限大)，因此我們可以把它寫成一個數c:f'(x)二lim(a1•ax=c•ax。即使我們還不知道常數c是多少，我AxtOAx們已經得到一個重要的訊息：指數函數的微分和它自己成正比。現在我們可以將我們的無知限縮在一個數之中：對於不同的a，c也會不一樣，比如a=1時c=0，而a很大時，c應該也很大，那麼在a=1與a=a之間，應該有一個a，對於它來說，對應的c=1。將此數稱為e,那麼(ex)'=ex。假如知道e的值，我們可以反過頭來用e來計算任何一個數a的指數函數：ax可以寫成ax=ein«xx，此處lna對a取以e為底的對數，也就是eina=a。因此，運用連鎖率(ax)'=(eln宀x)'=lnaxeln宀x=lnaxax。所以可以得出上面所提到的c其實就等於lna。因此唯一需要再努力的就是計算常數e是多少。常數e是一個無理數，在數學上就像n—樣重要，其值大概是2.71828左右。