第1页（共21页）第1页（共21页）2016年广西高考数学适应性试卷（理科）一、选择
题
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：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求
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的.若集合M={x|<2}，集合N={x|—1
0）的一条渐近线与抛物线2y=4x的准线的一个交点的纵坐标为y°,若|y°l<2,则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.（1,.）B.（1,.）C.（:,+8）D.（!,+8）&若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A.17B.16C.15D.13第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)9•一几何体的三视图是如图所示的三个直角边为2的等腰直角三角形，则该几何体的
表
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面10•点A，B分别为圆22(x—3)+(y—8)=4上的动点，点C)16.已知数列｛•'｝的前n项和Sn=n2,则数列｛1｝的前n项和Tn=C•4+4D.6+2.22M:x+(y—3)=1与圆N:在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为(A.7B.8C.9D.10长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为—二,且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为9()__A.4B.=C.4或』!訂D.4或5TOC\o"1-5"\h\z函数f(x)=a｛j：+1+丄的极大值点x°€(-1,-£),贝U实数a的取值范围为()x2A.(0,4■)B.(1,4)C.(—a,4■■)D.(4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡中的横线上)(xy—)6展开式中不含x的项的系数为x<0设函数f(x)=｛'、，若f(f(m))=0,则m=.2x-hx>0fy>i不等式组<■'表示的平面区域为Q,直线x=a将Q分成面积相等的两部分,［玄+矽-S<0则实数a的值为.三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,ac=6且(2a—c)cosB=bcosC.(1)求厶ABC的面积S;(2)若b=.:求sinA+sinC的值.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA丄CD,BC丄平面PAB,且E,M,N分别为PD,CD,AD的中点，T=3丁.证明：PB//平面FMN;若PA=AB，求二面角E-AC-B的余弦值.19•在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N(卩，(T),如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.求仏6给出正态分布的数据：P(^-60时，判断函数y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值.若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时请写清题号［选修4-1:几何证明选讲］22•如图，A,B,C,D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.([)若ECEDJlEA^2求*值;(n)若EF2=FA?FB，证明：EF//CD•r［选修4-4:坐标系与参数方程］23.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为*y=2cosd(?为参数)y=siii(|)，以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,曲线(1)C2交于点罷二”■J求曲线Ci,C2的普通方程;(2)AtprB),B(p“1是曲线Cl上的两点，求•V1［选修4-5:不等式选讲］24.设函数f(x)=|x-a,av0.(I)证明f(x)+f(-—)》2;(n)若不等式f(x)+f(2x)<=的解集非空，求a的取值范围.第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共21页）2016年广西高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有合题目要求的.1.若集合M={x|v2}，集合N={x|-1vxv2}，则MnN等于（）XA.{x|=vxv2}B.{x|-1vxv0或三vxv2}C.{x|-1vxv三}D.{x|0vxvw或1vxv2}【考点】交集及其运算.【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出M与N的交集即可.【解答】解：TM={x|v2}={x|xv0或x>—}，集合N={x|-1vxv2},i2•••MnN={x|-1vxv0或一vxv2},故选：B.2设i为虚数单位，(-3+4i)2=a+bi(a,b€R),则下列判断正确的是(A.a+b=31B.a-b=-17C.ab=148D.|a+bi|=25【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】分别求出a,b的值，从而求出|a+bi|即可.【解答】解：•••(-3+4i)2=a+bi(a,b€R),a+bi=-7+24i,a+b=24-7=17,a-b=-7-24=-31,ab=-7X24=-148,则|a+bi|=/；{.「.；=25,故选：D.设向量\誉足|〕=3,|'|=2，且?-=1，则|一-「|等于（）A.B.切！：C.3D.2'【考点】平面向量数量积的运算.【分析】对|-j两边平方，开方得出|'-■|.【解答】解：丨九一］：；|2=；"；f=9+4-2=11.•丨--|=I.故选：A.4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3，且a2015+a2016=0,贝yS101等于A.3B.303C.-3D.-303【考点】等比数列的通项公式.【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可【解答】解：设公比为q,a2=3,且a20i5+a20i6=0，20132014二a2q=-a2q,•••q=-1,3,•Sl01=「」！=「」！=TOC\o"1-5"\h\z:I:I故选：C.5•从8个学生(其中男生和女生人数相等)中任选3个作为学校元旦晚会的主持人，则男生甲和女生乙恰好同时人选的概率为()A——BC—D——2856728【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】根据排列组合求出所有的种数，再求出男生甲和女生乙恰好同时人选的种数，根据概率公式计算即可.【解答】解：从8个学生(其中男生和女生人数相等)中任选3个作为学校元旦晚会的主持人，共有Cs3=56种，男生甲和女生乙恰好同时人选，则再从剩下6人选1人，故有6种方法，故男生甲和女生乙恰好同时人选的概率为_'.=_..,bo故选：D.6.若函数f(x)=2sin(4x+0)(X0)的图象关于直线1Tx=：［对称，贝V0的最大值为()【考点】【分析】57r2兀n~B.-—C.-UI正弦函数的图象.I由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得0的最大值.【解答】•4?-+0=kn24故选：B.解：•••函数f(x)=2sin(4x+0)(0<0)的图象关于直线x~y对称,n2n=,k€Z,故0的最大值为-〔一7T:'-27.设双曲线C：—^--==1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=4x的准线的一个交ab点的纵坐标为y°,若|y°|<2,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,.二)B.(1,.~)C.(+8)D.(匚，+8)【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.【分析】求出抛物线的准线方程，求出交点坐标，代入双曲线的渐近线方程，利用|yo|v2,即可求出双曲线的离心率的范围.22【解答】解：抛物线y2=4x的准线为：x=-1，双曲线C：—•=1（a>0,b>0）的一/b2条渐近线与抛物线y2=4x的准线的一个交点（-1,yo）,可得：丄二珊,ab即：一e2-仁yo2.|yo|v2,a22e=1+yo€[1,5),•/e>1,二e€(1,~).故选：B.8若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n（modm），例如10=4（mod6）.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A.17B.16C.15D.13【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2,被5除余2,即被15除余2,最小两位数，故输出的n为17,故选：A一几何体的三视图是如图所示的三个直角边为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）4二+4C.4~+4D.6+2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，面积，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其直观图如下图所示：在边长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中：计算出各个面的该几何体为图中的四面体Di-BiBCi,表面积S^—X(2x2+2X2+2X\仪］+2X)=4+4』：；故选C.2222点A,B分别为圆M:x+(y-3)=1与圆N:(x-3)+(y-8)=4上的动点，点C在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为()A.7B.8C.9D.10【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】根据题意，算出圆M关于直线I对称的圆M'方程为(x+3)2+y2=1.当点P位于线段NM'上时，线段AB的长就是|AC|+|BC|的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出|AC|+|BC|的最小值.【解答】解：设圆C'是圆M:x2+(y-3)2=1关于直线x+y=0对称的圆可得M'(-3,0),圆M'方程为(x+3)2+y2=1,可得当点P位于线段NM'上时，线段AB长是圆N与圆M'上两个动点之间的距离最小值，此时|AC|+|BC|的最小值为AB,N(3,8),圆的半径R=2,•••|nm'i=初：i护=.7；二T-.T「「=10,第8页(共21页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共21页）可得|AB|=|NM'|-R-r=10-2-1=7因此|AC|+|BC|的最小值为7,故选：A.长方体ABCD-AiBiCiDi的8个顶点都在球0的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为—二，且四边形ABB1A1为正方形，则球0的直径为9（）__A.4B.=C.4或山訂D.4或5【考点】球内接多面体.【分析】设AB=2x,则AE=x,BC=j-■-',由余弦定理可得x2=9+3x2+9-2X3X”詁％;-，求出x,即可求出球0的直径.【解答】解：设AB=2x，则AE=x,BC=.-「',•••AC=由余弦定理可得^=9+3^+9-2X3X.■X—:-,Jx=1或i：,•AB=2,BC=2「，球O的直径为Jf、m=4,或AB=2~,BC=.二，球O的直径为—=•=.故选：C.函数f(x)=a土+1+丄的极大值点x°€(-〔，-寺)，贝U实数a的取值范围为()A.(0,4_)B.(1,4)C.(-汽4T)D.(_,4)【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求导数，分离参数，再求导数，确定函数值的范围，即可求出实数a的取值范围.【解答】解：•••函数f(x)=a『•:甘+,Xa]二f(x)=亍—：=0,2Vi+l■c…a=X-x(3x+4)1?一>/x+lY•/x€(—1,•••a>0,•••函数单调递增,•••0vav4■.故选：A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡中的横线上)(xy—)6展开式中不含x的项的系数为-20.【考点】二项式系数的性质.【分析】根据(xy—)6展开式的通项公式，求出展开式中不含x项的系数.【解答】解：(xy—)6展开式的通项公式为：匕6-rj6-46-2rTr+1=.：?(xy)?=:?(—1)?y?x,X令6—2r=0,解得r=3,第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共21页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)•••(xy-')6展开式中不含x项的系数为：；？(-1)3=-20.x°故答案为：-20.2Xy<014.设函数f(x)=('，若f(f(m))=0,则m=[2耳—hx>0【考点】函数的值.【分析】由已知得f(m)=「，由此利用分段函数的性质能求出*y<0【解答】解：•••函数f(x)=',f(f(m))=0,2耳一1,耳>0•f(m)>0,2f(m)-仁0,解得f(m)==,m的值.当mv0时,f(m)='-，解得m=-1；21*f(m)=2m—1=，解得m=.24•m的值为-故答案为:1或.41或：.4fy>i15.不等式组<''表示的平面区域为Q,直线x=a将|x+4y-S<0则实数a的值为4-_代.【考点】简单线性规划.【分析】画出平面区域的面积，结合图象只需S^ade的面积是求出a的值即可.【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：Q分成面积相等的两部分,，根据三角形的面积公式平面区域ABC的面积是AC?BF=,22由直线x=a分别和x+4y-8=0、直线y=1相交得:D（1,2—专）,E（a,1）,直线x=a将Q分成面积相等的两部分，即ade=二（4-a）（1—亠）=.,TOC\o"1-5"\h\z244解得：a=4-J7,故答案为：4-—.已知数列｛、｝的前n项和Sn=n2,则数列｛｝的前n项和Tn=_=ari+l证明：PB//平面FMN；4（n+]J【考点】数列的求和.【分析】分类讨论求得：=2n-1,再求得an=（2n-1）2,从而化简得=（-丄4n丄），从而求前n项和即可.rrFl【解答】解：①当n=1时，「=S1=1,②当n>2时，二.=Sn-Sn-122=n-(n-1)=2n-1;综上所述，二..=2n-1,2故an=(2n-1),2li:.2h-h21'1(\j厂亠)，,,T11111111111故Tn=“(1-J(厂「)+」(「J+"+,(-・汁)11111111、4(122334nn+1;n+1n4(n+1)三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)故答案为:n4(n+l)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b，c,ac=6且(2a-c)cosB=bcosC.(1)求厶ABC的面积S;(•sinA+sinC=八，二-肯=.b14在如图所示的四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA丄CD,BC丄平面PAB,且E,M,N分别为PD,CD,AD的中点，帀=3［「.1若PA=AB，求二面角E-AC-B的余弦值.r/*：：一…+.\1"“4胖卄%：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.【分析】(1)连结BD，分别交AC、MN于点O,G,连结EO、FG,推导出EO//PB,FG//EO,PB//FG,由此能证明PB//平面FMN.(2)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值.【解答】证明：(1)连结BD，分别交AC、MN于点O,G,连结EO、FG,•/O为BD中点，E为PD中点，•EO//PB,又帀=3:',•F为ED中点，又CM=MD,AN=DN,•G为OD的中点，FG//EO,•PB//FG,•/FG?平面FMN,PB?平面FMN,PB//平面FMN.解：(2)•••BC丄平面PAB,•BC丄PA，又PA丄CD,BCACD=C,)若b=二,求sinA+sinC的值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)使用正弦定理将边化角，再利用和角公式化简得出cosB;(2)根据余弦定理解出a+c,使用正弦定理得出.【解答】解：(1)：(2a-c)cosB=bcosC,「.(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,•/sinA工0,cosB=,2•••B=60°sinB=VsS=「：.sinm-逬二(2)由余弦定理得cosB=_L_—二，解得a2+c2=i3.12"2又ac=6,•a=2,c=3或a=3,c=2.•a+c=5.…-时:：sinB"sinA+sinC•••PA丄平面ABCD,如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2,0，0）,C（2，2，0），E（0,1,1），则AC=（2，2，0），AE=（0，1，1），平面ABCD的一个向向量.上（0，0，1），设平面AEC的法向量为.=（x，y，z），则.1),亍奔心0，取x=1，得；=（1，-1,门・AC=2xf2y=0由图知二面角E-AC-B为钝角，•二面角E-AC-B的余弦值为-空.319•在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（卩，纟），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.（1）求仏6（2）给出正态分布的数据：P（厂（r0.4k2*34k2+3__4kXi—*m，即.r又•••直线MQ_LPM,•••直线MQ的方程为■二丄：，-+…mkm由Qmk'm，得Q(0,,amx=0又由(尸般“，得p(o,m).x=0由(I)知，Fi(-1,0),F2(1,0),TOC\o"1-5"\h\zI—•_，f二！」'Of=:■zzm11in•••「•・—[.+；::_丨.，二丁*•+，-im1m•-PF?丄QF2,PF」QFi,又PM丄QM，•点Fi,Q,F?,M,P都在以PQ为直径的圆上.故Fi,Q,P?,M,P五点共圆.21•已知函数f(x)=|ex-bx|，其中e为自然对数的底数.(1)当b=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)当b>0时，判断函数y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值•若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)记g(x)=ex-bx,当b=1时，g'(x)=ex-1，从而可得f'(1)=g'(1)=e-1，由此可求切线方程；(2)由g'(x)=ex-b=0，得x=lnb，从而可得在x=lnb时，g(x)取极小值g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb),再分类讨论，即可得到结论.【解答】解：(1)记g(x)=ex-bx.当b=1时，g'(x)=ex-x.当x>0时，g'(x)>0，所以g(乂)在(0,+^)上为增函数.又g(0)=1>0,所以当x€(0,+s)时，g(x)>0.所以当x€(0,+s)时，f(x)=|g(x)|=g(x),所以f'(1)=g(1)=e-1.所以曲线y=f(x)在点(1,e-1)处的切线方程为：y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.…(2)由g(x)=ex-b=0,得x=lnb.当x€(-a,Inb)时，g'(x)v0,g(x)单调递减.当x€(lnb,+a)时，g(x)>0,g(x)单调递增.所以在x=lnb时，g(x)取极小值g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb).①当0vbwe时，g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb)>0，从而当x€R时，g(x)>0.所以f(x)=|g(x)|=g(x)在(-a,+a)上无极大值.第仃页(共21页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共21页)第19页（共21页）因此，在x€(0,2)上也无极大值.…②当b>e时，g(Inb)v0.因为g(0)=1>0,g(2lnb)=b2-2blnb=b(b-2lnb)>0,(令k(x)=x-2lnx.由k'(x)=1-—=0得x=2，从而当x€(2,+^)时，k(x)单调x递增，又k(e)=e-2>0，所以当b>e时，b-2lnb>0.)所以存在xi€(0,Inb),X2€(lnb,2lnb),使得g(xi)=g(X2)=0.此时f(x)=|g(x)|,所以f(x)在(-g,xi)单调递减，在(xi,lnb)上单调递增，在(Inb,X2)单调递减,在(X2,+m)上单调递增.…所以在x=lnb时，f(x)有极大值.因为x€(0,2),所以当Inbv2,即evbve2时，f(x)在(0,2)上有极大值；2当lnb>2,即b>e时，f(x)在(0,2)上不存在极大值.综上所述，在区间(0,2)上，当0vbe2时，函数y=f(x)不存在极大值；当evbve2时，函数y=f(x),在x=lnb时取极大值f(lnb)=b(lnb-1).…请考生在第请写清题号22.如图,长线上.22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。［选修4-1:几何证明选讲］A,B,C,D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E,点做答时F在BA的延([)若【分析】寺丄三4仁的值;(I)根据圆内接四边形的性质，可得/ECD=/EAB,所以有!：，,利用比例的性质可得”・一EBEAAB23EFFB(II)根据题意中的比例中项，可得…-一.一，结合公共角可得厶I*ArL/EBF，再由(I)的结论/EDC=/EBF，利用等量代换可得/所以EF//CD.【解答】解：(I)：A,B,C,D四点共圆，•••/ECD=/EAB，/EDC=/B•••△EDCEBA，可得,,得尊’..■-,△EBA,从而△EDCsDC麻；;FAEFEB,所以/FEA=FEA=/EDC，内错角相等,「.匚-i!「，即二-■-•.—AB_6(□)•••EF2=FA?FB,EF」B•-行，又•••/EFA=/BFE,•••△FAEs\FEB，可得/FEA=/EBF,又•••A,B,C,D四点共圆，•••/EDC=/EBF,•••/FEA=/EDC,EF//CD.［选修4-4:坐标系与参数方程］23.在平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为-x=2cos(b亠(?为参数)y=sin(|j，以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线］一与曲线(1)C2交于点〕.—求曲线Ci,C2的普通方程;(2)1是曲线Ci上的两点，求【的值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】（1）消去参数，可得曲线Ci的普通方程，利用曲线C2是圆心在极轴上且经过极点TT,JT的圆，射线---..与曲线C2交于点［二—,可得曲线C2的普通方程；o0（2）曲线Ci的极坐标方程为-'，代入，可得的值.4sin+cosf-1iP2【解答】解：（1）曲线Ci的参数方程为[x=2cos(|)|y=sin(|)（?为参数），普通方程为曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线一-二与曲线C2交于点.，曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4一、n24（2）曲线Ci的极坐标方程为•__,4siny+匚口sy［选修4-5:不等式选讲］24.设函数f(x)=|x-a,av0.(I)证明(n)若不等式f(x)+f(2x)v=的解集非空，求a的取值范围.(I)证明f(x)+f(-—)》2；(n)解：当x-a;f(x)=x-a+a-2x=-x,^V——vf(x)v-a；当avxf(x)=x-a+2x-a=3x-2a,贝f(x)【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法.【分析】(I)运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；(n)通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得(f(x)+f(2x))min即可.【解答】(I)证明：函数f(x)=|x-a|,av0,则f(x)+f(-—)=|x-a|+|-—-a|x*=|x—a|+|+a|>|(x—a)+(—+a)|f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,av0.f(x)=a-x+a-2x=2a-3x，贝Uf(x):则f(x)的值域为［-〒，+m),—>-不等式f(x)+f(2x)v,的解集非空，即为.->-【：，解得，a>-1，由于av0,则a的取值范围是(-1,0).第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共21页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共21页）2016年8月22日
浙公网安备 33021202002483