PAGEPAGE18.9.1直线与圆锥曲线的位置关系[课时跟踪检测][基础达标]1．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的公共点的个数为( )A．0B．1C．2D．1或2解析：由
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
意得，圆心(0,0)到直线ax＋by－3＝0的距离eq\f(3,\r(a2＋b2))>eq\r(3)，所以a2＋b2<3.又a，b不同时为零，所以0
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：C2．已知椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2解析：设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝2，))两式相减，得eq\f(x1＋x2x1－x2,36)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，所以eq\f(2x1－x2,9)＝－eq\f(4y1－y2,9)，所求斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).故选B.答案：B3．斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，消去y得eq\f(5,4)x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5，|AB|＝eq\f(4\r(2),5)eq\r(5－t2)≤eq\f(4\r(10),5).答案：C4．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则λ的值为( )A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．3解析：设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，则y1＝4eq\r(2)，则直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－2)，则C(－2，－8eq\r(2))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2\r(2)，))则B(1，－2eq\r(2))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(－1，－2eq\r(2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－6eq\r(2))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，所以λ＝3，故选D.答案：D5．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－eq\f(\r(3),2)，则eq\f(a,b)的值为( )A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(2\r(3),3)C．－eq\f(9\r(3),2)D．－eq\f(2\r(3),27)解析：由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝0，①axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝0，②由①－②得a(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝－b(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以eq\f(y1＋y2,x1＋x2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(a,b).设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(2y0,2x0)＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(\r(3),2)，又知kAB＝－1，所以－eq\f(\r(3),2)×(－1)＝－eq\f(a,b)，所以eq\f(a,b)＝－eq\f(\r(3),2).故选A.答案：A6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|PF|＝eq\f(3,2)，则|AB|为( )A．2B．3C．5D．6解析：抛物线C的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).设点P的坐标为(x0，y0)，可得y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(kx1＋x2－2k,2)＝eq\f(1,2)k·eq\f(2k2＋4,k2)－2k＝eq\f(2,k)，x0＝eq\f(1,4)yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,k2)，可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)，\f(2,k)))，因为|PF|＝eq\f(3,2)，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))2＋\f(4,k2))＝eq\f(3,2)，解得k2＝2，因此x1＋x2＝4，根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋2＝6.故选D.答案：D7．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1kD.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式作差并化简变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)，而eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又因为a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.所以E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.故选D.答案：D8．F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝6，则弦AB中点的横坐标为( )A．1B．2C．4D．无法确定解析：因为抛物线方程为y2＝4x，所以p＝2，设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义知，AB中点的横坐标为x0＝eq\f(1,2)(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(|AB|－p)＝eq\f(1,2)×(6－2)＝2.故选B.答案：B9．设双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝eq\f(4,3)(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－eq\f(32,15)，则S＝eq\f(1,2)×(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案：eq\f(32,15)10.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则eq\f(b,a)＝________.解析：由条件知C点坐标为eq\f(a,2)，－a，F点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b，b)).∵C，F两点都在抛物线y2＝2px上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2p×\f(a,2)，,b2＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b))，))即a2－b2＋2ab＝0，即1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋2eq\f(b,a)＝0，解得eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2)或eq\f(b,a)＝1－eq\r(2).∵ab>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A、B，且|AB|＝eq\f(\r(5),2)|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．解：(1)由已知|AB|＝eq\f(\r(5),2)|BF|，得eq\r(a2＋b2)＝eq\f(\r(5),2)a，即4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由(1)知a2＝4b2，所以椭圆C：eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1))⇒x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0⇒b>eq\f(2\r(17),17).x1＋x2＝－eq\f(32,17)，x1x2＝eq\f(16－4b2,17).因为OP⊥OQ，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而eq\f(516－4b2,17)－eq\f(128,17)＋4＝0，解得b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.12．(2018届湖北襄阳四中月考)已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)直线l经过F2，与抛物线y2＝4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|.解：(1)由题意得，F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝4,2c＝2得到a＝2，c＝1，则b＝eq\r(3)，所以点M的轨迹C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线l与x轴垂直时，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，又F1(－1,0)，此时eq\o(B1F1,\s\up6(→))·eq\o(B2F1,\s\up6(→))≠0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件．当直线l不与x轴垂直时，设l：y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以eq\o(B1F1,\s\up6(→))·eq\o(B2F1,\s\up6(→))＝0，又F1(－1,0)，所以(－1－x1)(－1－x2)＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，解得k2＝eq\f(9,7)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3＋x4＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，所以|A1A2|＝x3＋x4＋p＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝eq\f(64,9).[能力提升]1．(2017届河北唐山统考)平行四边形ABCD内接于椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，直线AB的斜率k1＝1，则直线AD的斜率k2＝( )A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－2解析：设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),2)＝1，))两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,4)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,2)，整理得eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－k1＝－1，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(1,2).又Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，所以kOG＝eq\f(\f(y1＋y2,2)－0,\f(x1＋x2,2)－0)＝－eq\f(1,2)，即k2＝－eq\f(1,2)，故选B.答案：B2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，离心率为eq\f(1,2)，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2AB的面积为eq\f(12\r(2),7)时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).所以eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1.①又因为离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4).②解①②得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线的倾斜角为eq\f(π,2)时，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，S△ABF2＝eq\f(1,2)|AB|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×3×2＝3≠eq\f(12\r(2),7).当直线的倾斜角不为eq\f(π,2)时，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4k2－12,4k2＋3)，所以S△ABF2＝eq\f(1,2)|y1－y2|×|F1F2|＝|k|eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝|k|eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,4k2＋3)))2－4·\f(4k2－12,4k2＋3))＝eq\f(12|k|\r(k2＋1),4k2＋3)＝eq\f(12\r(2),7)，所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＝－\f(18,17)舍去))，所以k＝±1，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
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