元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法知识讲解（基础）【学习目标】理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程;正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式元二次方程曲°+/c+c=G@“），当血二&2—屉时，兀二-b土期-4曲一元二次方程根的判别式元二次方程根的判别式：b二护一应•①当也=02_4盘；＞0时，原方程有两个不等的实数根岭土厲亠.2a珂二叼二-£;当心=^2-4赵J=0时，原方程有两个相等的实数根当A=3,—4盘J丈0时，原方程没有实数根-用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程曲2工工0）的步骤:把一元二次方程化为一般形式；确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出护一仏的值;若b工一仏＞0，则利用公式工二7土J护-心求出原方程的解;若鸟2_4&亡€0，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.bb24ac（2）—元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法将其变形为：（x——）22a4a1…x21…x2①当b24ac0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:b~4acX1,22ab24ac0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:b24ac0时，右端是负数.因此，方程没有实根要点二、用因式分解法解一元二次方程的步骤将方程右边化为0;将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等要点诠释：(1)因式分解法解一元二次方程(1)⑵(3)(4)(2)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是因式的积；用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为等于0;用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为以含有未知数的代数式.【典型例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
】2(1)x+3x+1=0;2x24x⑶2x2+3x-1=0.X1,22a另一边可以分解成两个一次0，那么这两个因式中至少有一个0;②方程两边不能同时除【答案与解析】(1)a=1,b=3,c=1・x_-b士侣=^_-3±需..X__2a・・X1_-3+眄X2=-3-7^(2)原方程化为一般形式,22x4x•/a4ac(4)242©22即x1(2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,•/a=2,b=3,c=-1•b2-4ac=17>0...x=7±VTY4X2=•••X1=7+折,X2=7一呵.44a、b、c的确定.用这种方法解一元二次方程的步骤【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对是:（1）把方程化为一元二次方程的一般形式；（2）22确定a,b,C的值并计算b4ac的值；⑶若b4ac是非负数，用公式法求解.举一反三:【变式】用公式法解方程：(2014?武汉模拟)X2-3x-2=0.【答案】解：•/a=1,b=-3,c=-2;22•••b2-4ac=(-3)-4X1X(-2)=9+8=17;2a2•X.3+Vrrc3-VTr…X1=i-=—,x2=222.用公式法解下列方程：（1）（2014?武汉模拟）2x2+x=2;（2）（2014秋？开县期末）3x2-6x-2=0;（3）（2015?黄陂区校级模拟）X2-3x-7=0.【思路点拨】针对具体的试题具体
分析
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，不是一般式的先化成一般式，再写出可.【答案与解析】解：（1）•••2x2+x-2=0,a=2,b=1,c=—2,a,b,c的值，代入求值即_-b土-4乂(-2)_-l±VIV•X="=4=42a••X1单回,X2宀叵44(2)•/a=3,b=-6,c=-2,b2-4ac=36+24=60>0,x=:,&•…31V15…X1=,X2=33(3)•••a=1,b=—3,b=—7.•••b2-4ac=9+28=37.x=2a解得x乎x2¥【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在b24ac0的前提下，代入求根公式可求出方程的根.举一反三：【变式】用公式法解下列方程:2x22x1；【答案】解：移项,得2x22x11,b24ac2242(1)120,•-X11732,X2因式分解法解一元二次方程(2016?沈阳)一元二次方程x2-4x=12的根是(C.x1=-2,x2=-6D.x1=2,x2=6A.x1=2,x2=-6B.x1=—2,x2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.【答案】B【解析】解：方程整理得：x2-4x-12=0,分解因式得：(x+2)(x-6)=0,解得：X1=-2,x2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.4.解下列一元二次方程:(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0;(3x1)(x1)(4x1)(x1).2+4(2x+1)+4=0,2=0.【答案与解析】(1)(2x+1)(2x+1+2)即(2x3)20,2即(x-1)(x+2)=0,所以x11,x22.【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法.如（1）可以用完全平方公式•用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x=1这个根.举一反三:(2)3x(2X1)4x22【变式】(1)(X+8)-5(x+8)+6=0【答案】(1)(X+8-2)(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0i=-6,x2=-5.⑵3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0X15•探究下表中的奥秘,一元二次方程x2-2x+1=0x2-3x+2=03x2+x-2=0并完成填空:两个根x1=1,X2=1x1=1,X2=2X1—,X2=-1322x+5x+2=0二次三项式因式分解2X-2x+1=(X-1)(X-1)X2-3x+2=(X-1)(X-2)223x+x-2=3(X-二)(X+1)3,21X1=-丄，X2=-22x+5x+2=2(x』)(x+2)222X2=4x+13x+3=4(x+)(x+)4x2+13x+3=0将你发现的结论一般化，并写出来.【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论.【答案与解析】填空：-丄，-3;4x2+13x+3=4(x+丄)(x+3).44X1、X2，则2发现的一般结论为：若一元二次方程ax+bx+c=O的两个根为2ax+bx+c=a(x-X1)(x-X2).【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程一一因式分解法.
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