高等代数（一）考试试卷一、单选
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1.以下乘积中（811822833844.）是4阶行列式D8j展开式中取负号的项.B、814823831842.C、812823831844.823841832814.2.行列式中元素8的代数余子式是（03031414A、B、C、D、242403038设A,B都是n阶矩阵，若AB).O，3.24A、C、r(A)r(B)n.AO或BO.则正确的是（B、A0.D、A0.4.A、{C}.1，2，L,r，其中1m2.1,2丄,r，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合F列向量组中，线性无关的是（C、D、5.设A是n阶矩阵且r（A）rn，则A中（）.必有r个行向量线性无关.任意r个行向量线性无关.C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组.D、任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出.6.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）条件.A、充要.B、充分非必要.C、必要非充分.D、非充分非必要.、判断题（正确的打V，错误的打人5小题，每小题2分，共10分）TOC\o"1-5"\h\z若A为n阶矩阵，k为非零常数，则kAkA.（）2•若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同.（）3•对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.（）4.正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵.（）5•任何数域都包含有理数域.（）、填空题（每空4分，共24分）00L0100L201.行列式DLLLLL0n1L00n0L002.已知5(1,0,1)3(4,2,1),则(1,0,2)(1,3,1),3.求与向量组1(1,1,1,1),2(1,1,0,4),32114.求矩阵A020的特征根和特征向量413（3,5,1,1）等价的正交单位向量组.（10分）（10分）(,)12311…亠211023.矩阵A，则r(A).2584311112anx1*12X2La1nXnb14.设线性方程组*21*22X2La2nXnb2有解，其系数矩阵A与增广矩阵A的秩分别为LLLLLLLan1X1an2X2LannXnbns和t，贝Us与t的大小关系是1111235.设A111,B124，则A1B111051四、计算题（4小题，共42分）a11111111.计算行列式（1）1a11(2)1654.（每小题6分，共12分）11a11362516111a121612564X12x2X33x42x512.用基础解系表出线性方程组2x1X2X3X43x56的全部解•（10分）X1X22X32x42X522x13x25x317x410X55、单选题（每题4分，共24分）题号1234561111答案BCADAB、判断题（每题2分，共10分）题号12345答案XXVVV、填空题（每空4分，共24分）n(n1)1.(1)2n!;2.(1)飞；(2)0;3.3；4.st；1352225.121112丄22四、计算题（共42分）1.（12分，每小题各6分）⑴解：a31111111a3a11(a3)1a11a31a111a1a311a111aa1111a1111a1111a(3分)1111(a3)0a10000a10000a13(a3)(a1)注：中间步骤形式多样，可酌情加分⑵解：(3分)11111654136251612161256411111654625242635343，此行列式为范德蒙行列式(3分)进而原式165412625242=(61)(51)(41)(56)(46)(45)120(3分)6353（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163121321121321011541011541(3分）0317740048510171163000000得同解方程组取X4,X5为自由未知量，得方程的一般解为Xi2x2X313x42x5x2x315x44x5(其中X4,X5为自由未知量)4x318x45x5TOC\o"1-5"\h\z将x40x50代入得特解°（乎，4和。）（3分）x12x2x33x42x50用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组x2x35x44花04x38x45x50x12x2X33X42X5仍取X4,X5为自由未知量，得一般解X2X35x44x54x38x45X5将X41,X50和X40,X54分别代入得到一个基础解系:1（1,3,2,1,0）,2（9,11,5,0,4）（3分）所以，原方程组的全部解为0k11k22，Ok?为数域P中任意数。（1分）注：答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。3.（10分）解：因1化，令1(1,1,1,1),2(1,1,0,4),3(3,5,1,1)是线性无关向量组，现将1,2,3正交(3,1)(1,1)2(3,5,1,1)8(1,1,1,1)(2,2)414打(0,2,2(1,1,2,0)(6分)再将向量组i，2，3单位化，得11111）22222|123314百（。，2,13）,即1，2，3就是与12,3等价的正交单位向量组。（4分）注：答案不唯一。4.（10分）解：A的特征多项式为（4分）所以A的特征值为1,2（2重）1对应的齐次线性方程组为1它的基础解系是10,1（3分）k11（k10）为A的属于特征值1的特征向量；2对应的齐次线性方程组为它的基础解系是k22k33（k2,k3不同时为零）为A的属于特征值2的特征向量（3分）注：答案不唯
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