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2014届高考数学北师大版一轮复习讲义课件84椭圆

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2014届高考数学北师大版一轮复习讲义课件84椭圆考点串串讲1.对椭圆的定义理解在理解椭圆定义时,特别要注意以下几点:(1)若2a>2c,则点P的轨迹是椭圆(点P是动点);(2)若2a=2c,则点P的轨迹是线段F1F2;(3)若2a<2c,则点P的轨迹不表示任何图形.2.椭圆的标准方程22xy(1)2+2=1(a>b>0).ab此为椭圆的标准方程,其焦点在x轴上,焦点坐标F1(-c,0)、222F2(c,0),a、b、c满足关系a-b=c.y2x2当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为2+2=1(a>b>0),焦ab点F1(0,-c),F2(0,c),且a2-b2=c...

2014届高考数学北师大版一轮复习讲义课件84椭圆
考点串串讲1.对椭圆的定义理解在理解椭圆定义时,特别要注意以下几点:(1)若2a>2c,则点P的轨迹是椭圆(点P是动点);(2)若2a=2c,则点P的轨迹是线段F1F2;(3)若2a<2c,则点P的轨迹不表示任何图形.2.椭圆的标准方程22xy(1)2+2=1(a>b>0).ab此为椭圆的标准方程,其焦点在x轴上,焦点坐标F1(-c,0)、222F2(c,0),a、b、c满足关系a-b=c.y2x2当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为2+2=1(a>b>0),焦ab点F1(0,-c),F2(0,c),且a2-b2=c2.如图所示,另外,标准方程其中心在原点,焦点在x轴上才称为标准.3.椭圆的几何性质x2y2以2+2=1(a>b>0)为例.abx2y2由标准方程可知2≤1,2≤1,则|x|≤a,|y|≤b,这表明椭圆位ab于直线x=±a和y=±b围成的矩形里.点(x0,y0)与椭圆的位置关系是:2x0y0点M(x0,y0)在椭圆上?2+2=1;ab22x0y0点M(x0,y0)在椭圆内?2+2<1;ab2x2y00点M(x0,y0)在椭圆外?2+2>1.ab(1)椭圆的范围(2)对称性①把方程中的x换成-x不变,则 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 椭圆关于y轴对称.②把方程中的y换成-y不变,则说明椭圆关于x轴对称.③把方程中x换成-x,y换成-y,方程不变,这表明椭圆方程关于原点中心对称,而且一般来讲只要具备上述两个性质,那么它一定具有另外一种对称性.(3)椭圆的顶点①椭圆与坐标轴的交点称为顶点.如图所示,令x=0,得y=±b,得顶点B1(0,-b),B2(0,b).令y=0,得x=±a,得顶点A1(-a,0),A2(a,0).要指出的是,一定要注意根据椭圆方程写顶点,切莫弄反了.②椭圆的长轴、短轴.线段A1A2叫作椭圆的长轴,它的长为2a,a叫作椭圆的长半轴长,线段B1B2叫作椭圆的短轴,它的长为2b,b叫作椭圆的短半轴长,要特别注意长轴长与长半轴长,短轴长与短半轴长的区别.c(4)椭圆的离心率e=.a①因为a>c>0,所以0<e<1.②椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度.b2=1-e.a2当e→1时,1-e,则b,则椭圆越来越扁.当e→0时,1-e2,则ba,则椭圆越来越接近圆.4.椭圆的基本量对于一个确定的椭圆,不论怎么平移(甚至旋转),不论怎么建系,都不改变椭圆的长轴长2a,短轴长2b,焦距2c,离心率e,这些量称为椭圆的基本量.5.焦点弦如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB过左焦点F1,则弦长|AB|=|F1A|+|F1B|=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2).特别地当AB过焦点F且与长轴垂直时称线段AB为椭圆的通径,通径长22b为|AB|=.a焦点弦往往与韦达定理联合起来使用.典例对对碰题型一待定系数法求椭圆的标准方程例1.已知椭圆中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点M(-2,3)和N(1,23),求椭圆的方程.解析由题设,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵M(-2,3)和N(1,23)在椭圆上,??4m+3n=1,∴???m+12n=1.x2y2∴所求椭圆方程为+=1.51511解得m=,n=.515点评运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a、b的方程组,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出m、n即可.变式迁移1已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2),求椭圆的方程.解析设椭圆方程为mx+ny=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆经过P1、P2,∴P1、P2点的坐标适合椭圆方程,则??6m+n=1,①???3m+2n=1,②22?m=1,?9①②两式联立,解得?1?n=.?3x2y2∴所求椭圆方程为+=1.93题型二椭圆性质的应用22xy例2方程2+求实数m2=1表示焦点在y轴上的椭圆,m?m-1?的取值范围.x2y2解析方程2+2=1表示焦点在y轴上的椭圆,m?m-1?122则(m-1)>m>0.∴m<且m≠0.21∴所求实数m的取值范围为(-∞,0)∪(0,).22222点评在椭圆方程中a>b>0,∴a=(m-1),b=m,这里m和m-1不一定为正值,故应为|m-1|>|m|>0,而不能把a看作m-1,b看作m.因此在解题过程中要仔细推敲每一步的理由是否充分,变形是否等价,这样才能保证解题的准确性.变式迁移222xy椭圆+=1的长轴垂直于x轴,则m的取值范围是3m+12m()A.m>0B.0<m<1C.m>1D.m>0且m≠1答案C解析由题意可知焦点在y轴上.?2m>3m+1,?∴?3m+1>0,??2m>0.??m>0,即?2??4m-3m-1>0.m>0,??∴?1.∴m>1.m>1,或m<-?4?题型三利用椭圆的定义解题x2y2例3.P为椭圆+=1上任一点,F1、F2分别为左、右焦点,2516如图.1(1)若PF1的中点为M,求证:|MO|=5-|PF1|;2(2)若∠F1PF2=60°,求|PF1|·|PF2|的值.解析(1)证明:在△F1PF2中,MO为中位线,|PF2|2a-|PF1|∴|MO|==22|PF1|1=a-=5-|PF1|.22(2)∵|PF1|+|PF2|=10,22∴|PF1|+|PF2|=100-2|PF1|·|PF2|,在△PF1F2中,222|PF1|+|PF2|-|F1F2|cos60°=2|PF1|·|PF2|∴|PF1|·|PF2|=100-2|PF1|·|PF2|-36.64∴|PF1|·|PF2|=.3变式迁移3xy已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上任一10064π点,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.3解析设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2a=m+n,由椭圆的方程易求2a=20.∴m+n=20.又b=8,∴c=6.如图所示,在△F1PF2中,由余弦定理,得22πm+n-2mncos3=|F2F1|2=122,即m2+n2-mn=144.∴(m+n)2-3mn=144.202-3mn=144.256∴mn=.31∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin60°212563643=××=.232322题型四求椭圆的离心率x2y2例4.椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,A(-a,0)、B(0,b)abb是两个顶点,如果F到直线AB的距离等于,则椭圆的离心率为7________.分析写出直线AB的方程,由点到直线的距离的条件得到a、b、c的关系式;也可以利用△ABF的面积得到a、b、c的关系式.解析解法一:因为直线AB过点A(-a,0)、B(0,b),得直线AB的方程为xy+=1,-ab即bx-ay+ab=0.点F(-c,0)到直线AB的距离为|-bc+ab|bd=,22=7a+b222整理得a+b=7(a-c).①22222将b=a-c代入①,得8c-14ac+5a=0,22两边同除以a,得8e-14e+5=0.15解之,得e=(e=>1舍去).24解法二:如图所示,已知|AF|=a-c,|OB|=b,|AB|=a2+b2.1∴S△ABF=|AB|·|FD|21=|AF|·|BO|,222b∴a+b·=(a-c)b.722222即a+b=2a-c=7(a-c)225a+8c-14ac=0,152∴8e-14e+5=0,∴e=,或e=(舍去).241∴所求椭圆的离心率为.21答案2点评要求椭圆的离心率,即是建立待定系数a、b、c的关系,因此要把握好椭圆的有关几何性质.变式迁移4已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.22xy22解析设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),F1(-c,0),c=aab22cb2-b,则P(-c,b1-2),即P的坐标为(-c,).aa∵AB∥PO,2b-b∴kAB=kOP,即-=.aac∴b=c.22又∵a=b+c=2b,cb2∴e===.a2b2题型五与弦中点有关的问题例5.已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的方程.解析解法一:设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y=k(x-1)+1,代入椭圆方程,整理得(9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0.设A、B的横坐标分别为x1、x2,则x1+x2-18k?1-k?==1.222?9k+4?4解之得k=-.94故AB的方程为y=-(x-1)+1.9∴所求方程为4x+9y-13=0.解法二:设A(x1,y1).∵AB中点为M(1,1),∴B点坐标是(2-x1,2-y1).22将A、B点坐标代入方程4x+9y=36,得224x1+9y1-36=0,①22及4(2-x1)+9(2-y1)=36,2化简得4x2+9y11-16x1-36y1+16=0.②①-②得16x1+36y1-52=0,化简得4x1+9y1-13=0.同理可推出4(2-x1)+9(2-y1)-13=0.∵A(x1,y1)与B(2-x1,2-y1)都满足方程4x+9y-13=0,∴4x+9y-13=0即为所求.解法三:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是弦的两个端点,代入椭圆方程得224x1+9y1=36,①224x2+9y2=36.②①-②得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0.∵M(1,1)为弦的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2.∴4(x1-x2)+9(y1-y2)=0.y1-y24∴kAB==-.9x1-x24故AB的方程为y-1=-(x-1).9即4x+9y-13=0.变式迁移5x2y22椭圆2+2=1(a>b>0)的离心率为e=,F1、F2分别是椭圆3ab的左、右焦点,A、B是椭圆上两个不同的点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q(1,0).设线段AB的中点为M(x0,y0),求x0的值.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则设AB中垂线方程为y=k(x-1),?①?ab?22y2?x22+2=1;②?ab?x1+x2=2x0;③??y1+y2=2y0;④?y2-y11-x0=.⑤?y0?x2-x122x1y12+2=1;?x2+x1??x2-x1??y2+y1??y2-y1?②式-①式得+=0.22ab21-x2x02y0a0将③④⑤式代入得:2+2·=0,∴x0+2(1-x0)=0.aby0b22a99∵e=,∴设a=3k,c=2k,则b=5k,∴2=,∴x0+(135b59-x0)=0,解得x0=.4方法路路通1.椭圆的定义中,椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为定值.一方面,可以使椭圆上的点到两焦点的距离相互转化;另一方面,可与正弦定理、余弦定理结合使用,求有关长度和角度、面积问题.2a2.在解有关椭圆性质问题时,应牢牢抓住a、b、c、e、这c222五个量和a-b=c的特征,确定某个量的取值范围时,常在转化思想指导下,设法构造出关于这个量的不等关系后,再逐步确定这个量的取值范围.3.椭圆的标准方程有两种表达式,但总有a>b>0,焦点在长轴上.4.参数a、b、c、e是椭圆固有的,与坐标系无关,它们之间c222有如下关系:a-b=c;e=∈(0,1).(决定椭圆的扁平程度)a5.掌握椭圆参数的几何意义,如图所示:(1)|PF1|+|PF2|=2a;(2)|A1F1|=|A2F2|=a-c,|A1F2|=|A2F1|=a+c;(3)|B2F2|=|B1F1|=a,|OF1|=|OF2|=c.6.根据不同的条件,确定椭圆的标准方程必须解决好以下两个问题:(1)正确判断所求的椭圆焦点位置;(2)依据条件正确列出两个关于a、b、c的方程.正误题题辨x2y21例.若椭圆+=1的离心率e=,则k的值为________.2k+89c122错解由已知a=k+8,b=9,又e==.a2222a-bk-11c2∴e=2=2==.aak+84解得k=4.点击由于所给椭圆焦点的位置不确定,即焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以应分两种情况求解.正解(1)若焦点在x轴上,即k+8>9>0时,a=k+8,b=9,222a-bk-11c2e=2=2==,aak+84解得k=4.22(2)若焦点在y轴上,即0<k+8<9时,a=9,b=k+8,222ca-b1-k152e=2=2==,解得k=-.944aa5综上,k=4或k=-.45答案4或-422THANKS
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