三角恒等变换与解三角形7讲第主要考查利用各种三角函数公式进行求考情分析[]三角恒等变换是高考的热点内容，值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．正(2)弦定理、余弦定理以及解三角形问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
是高考的必考内容，主要考查：(1)边和角的计算；有关边、角的范围问题；(5)实际应用问题．三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)热点题型分析1三角恒等变换及求值热点三角恒等变换“四大策略”：22θθ＝tan45°等；1＝sin＋cos(1)常值代换：特别是“1”的代换，(2)项的分拆与角的配凑，如：22222αααααcos，＋cossin)＋2cos＋＝(sinββαα)等；＝(＋－(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．2ππ1????αα????2－＋)的值为sin1.若(，则cos＝????36371BA.－．－9371D.C.93B
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
π2ππππ1??????????α??ααα??????－??2＋－＋－＝cos＝解析∵sincos＝cos＝，∴????????6363??23π17????22α????＋.－1－1＝2×2cos＝－????339105βαββαα))＝，则cos＝＝(，sin(cos2.若，都是锐角，且－10522A.B.1022222D.C.或－或102102．A答案ππβαβα，都是锐角，∴－，<－解析∵<22510ααβ)＝，，sin(又cos＝－51025310ααβ)＝cos(，－∴sin＝，510βααβααβααβ)sin(cos(－∴cos－＝cos[)－(－＋)]＝cossin531025102×＋×＝＝.故选A.5105102研究三角函数式的求值问题，解题的关键是找出条件中的角与所求角的联系，依据函数ππα与1题易错点有二：一是不善于发现－＋名称的变换特点，选择合适的公式求解．第63α两角的互余关系；二是二倍角公式的正确记忆及应用．第2题易忽略角的配凑技巧，而利22θθC.而错选用两角和与差公式直接展开，结
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角基本关系式1＝sin＋cos2正弦定理、余弦定理热点1.利用正、余弦定理解三角形的思路(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到；(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．2.利用正、余弦定理判断三角形形状的两种常用途径(1)角化边：通过正弦、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；(2)边化角：通过正弦、余弦定理化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．3.与三角形面积有关问题的解题思路先转化：根据条件，利用三角变换公式化简已知条件等式，再利用正、余弦定理化(1)．边或化角；11BabSCacsin＝(2)再选面积公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积sin＝221Abc＝；sin2后求值：若求值可根据条件直接求出，若求最值，注意根据条件常利用基本不等式(3)求最值．ABCAABCBCcab的面积为的对边分别为1.(2018·全国卷Ⅲ，若△)△，的内角，，，222cba－＋C)＝(，则4ππA.B.23ππC.D.46C答案222cab－1＋CSabsin，由题可知＝＝解析ABC△42222Cababc.所以2＋sin－＝222CCabcabC.＝，所以－sin＝2cos由余弦定理＋cosπCCC.，π)，所以，故选因为＝∈(04AbBaabccaABCABC，，＝，(2，若)cos2.在△中，内角－，cos，－所对的边分别是ABC)的形状为则△(B．直角三角形A.等腰三角形．等腰或直角三角形DC.等腰直角三角形D答案BACCABABcaabcos＝π－(－＋－))cos，，由正弦定理得，∵解析sin－cossin＝(2AAABcos，－sin＝2sincosAABAABAB，cos－∴sin(＋sin)－sincos＝2sincosAABA2sin得2coscossin，＝πABCABAAABBA为等腰或直角∴sin0∴cos＝或＝sin，＝或＝或＝π－(∴△，舍去)2D.三角形．故选．acCabBABCA，所对的边分别为＝，，中，内角，7，，若在△3.(2018·浙江高考)BAbc＝________.________＝＝60°，则2sin，，＝213答案7ab7221B＝.，所以sin由正弦定理＝，得＝解析ABBsinsin7sin322222cbac－＋7＋1－4Ac＝3.，所以＝，得由余弦定理，cos＝bcc4221.第1题易错在三角形面积公式的选择和余弦定理的正确运用上．A＝0cos的情应用正、2.余弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，如第2题易忽略况而错选A.c时，如果选用正弦定理易由于运算量过大而导致出错，题在求边恰当的选择余3.第3弦定理可简便求解.热点3正、余弦定理的实际应用解正弦、余弦定理的实际应用问题的步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与所求，画出示意图．尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的
数学
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模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出实际问题的解．AOBC是该小区的一个出入口，，某住宅小区的平面图呈圆心角为1．如图，120°的扇形AOCDOODDDDC走到沿走到用了2分钟，从且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿C米．________米，则该扇形的半径为50分钟．若此人步行的速度为每分钟3用了．750答案ODOCCDOCODCD中，由余弦＝60°.在△＝100解析＝150连接米，米，∠，由题意知222OCODCDODOCCD7.－2＝定理得·＝50＋·cos60°，即ACA35°走向的公路，在目标出发有一条南偏东．某观测站的南偏西25°方向，从2DBACC，此处有一个人正沿着此公路向到达走去，走在20处测得与km相距31的公路kmACDD处，则此人的最小速度为21km，若此人必须在处到达20时测得分钟内从距离为________km/h.答案45CABBCCDBDB＝cos2021由已知得∠，＝25°＋35°＝60°，，可得＝31，＝＝解析222CDBCBD－＋BCBD×22223212312＋3120－B＝，＝＝，那么sin312×31×2031BCBsinABCAC＝＝24，于是在△中，CAB∠sin222222ABABABACABCBCABACAB35，解得＋24在△－中，＝＝＋－224·cos60°，即31＝BDABABAD15.20，因此或＝－11(舍去)＝＝－－＝351AADD处，分钟，即小时内从处到达2015km故此人在处距处还有，若此人必须在3145(km/h).15÷则其最小速度为＝3.题易概念不清楚而导致出错2理解题中方向角的概念，第真题自检感悟1αα)＝1.(2018·全国卷Ⅲ)若sin(＝，则cos2378B.A.9987D．－C．－99B答案722ααB.解析由公式可得cos2.＝1－2sin故选＝1－＝99ABCbABCABCac为锐角三，，若△的对边分别为2.(2017·山东高考)在△中，角，，.CBCAAC)，则下列等式成立的是＋cossinsin(1＋2cos＝)2sin(cos角形，且满足bbaa．B2A.＝2＝BABA2＝＝2．C.DA答案CCACAA)cos(sinsincossin解析∵等式右边＝＋cos＋BACCACAcossin＋sin(＋＋)＝sinsin＝，cosCBBcos等式左边＝sin2sin＋，BCABBC.＋sin＝sincos∴sin＋2sincosBCA.，得0sin2sincos由＝＞baA.＝2.根据正弦定理，得故选BbbAABCBCacac，＝2，若.)3.(2019·全国卷Ⅱ△，的内角，＝，的对边分别为6，πABC________．＝，则△的面积为336答案222Bacacb.－2cos由余弦定理得解析＝＋1π222cBabccc36＝，∴＝－2×2×，42又＝6，＝，＋23ac＝34，∴3＝2，311BacS3.×＝3sin＝×4×236＝∴ABC△222BDBCABACABABCD，2延长线上一点，点，4已知△)4.(2017·浙江高考，＝＝＝2.为＝BDCCDBDC________.，________，则△连接的面积是＝cos∠1015答案42．解法一：依题意作出图形，如图所示，解析ABCDBC.∠sin∠sin＝则BDACBCAB2＝由题意知，＝＝4，＝由余弦定理得222ACBCAB－＋ABC∠＝cosBCAB·222214＋42－＝，42×4×215ABCDBCsin＝∠，sin则∠41DBBCBDS＝所以·sin∠BDC△215115.×2×2×＝2421ABCDBC因为cos∠＝－＝－cos∠42222CDCDBDBC－－8＋，＝＝BCBD8·2CD10.所以＝4－10104＋BDC.∠＝＝由余弦定理，得cos4102×2×151SABC.cos解法二：同解法一得∠＝＝，BDC△241ABCBDCBCBD＝因为∠＝，所以∠＝2，则2ABC10∠1＋cosBDC＝cos∠＝.24专题作业一、选择题．1)1.(下列各式中，值为的是2ππ22．sincos－A.sin15°cos15°B1212πcos＋16tan22.5°D.C.2－tan2122.5°答案D11π3ππ22解析sin15°cos15°＝sin30°＝，排除A；cos－sin＝cos＝，排除B;24121262π3＋1＋cos1262＋32tan22.5°，排除C；由tan45°＝＝1知＝＝222.5°－2tan221tan22.5°1＝，故选D.21－tan22.5°2πfxxφφx＝<π)在)(0<(＝)sin(2时取得最大＋2.(2019·山师大附中模拟)设函数6gxxφ)的图象(＋()＝cos(2)值，则函数ππ????????00，，对称A.关于点B．关于点对称????36ππxx＝对称对称．关于直线C.关于直线D＝36A答案ππxfxxφφφ＝，则＋因为当＝时，<π)取得最大值，所以()(0<)＝sin(2解析66kkπππππ????x????kxxgk0＋＋2，∈)＝cosZ，，故选∈，对称中心为Z，对称轴A.＝－，(????266122π2π????xωωxfxφ，－∈＋，)()＝2sin(已知函数3.(2019·重庆铜梁一中月考)>0)(??312fxfxxxfxx)的值为((，且)≠，则()＋＝的图象如图，若()222111A.3B.20．1C．DC答案．Tπ2π32π????ωT－，由图象得＝－＝π，＝＝，∴2解析??T12344π2π2π3π4π??????φφ??????φ＋，－2×2＋＝＝－＝，∴2sin2sin∵图象过点2，得＋??????33323kk，Z＋2π()∈πkφk＝＋2π(，∈Z∴)6ππ????xxk????xfxf＋π2＋＋22的一条对称轴为)(由图象可知，∴，(函数)＝2sin＝2sin????66Tπππππ????fxxfxfxxfxx＝)(＝)＝(()，∴由＋＋＝×2＝，得＝－＋＝，又221211??3361246ππ????＋×2C.1，故选2sin＝??633244θθθθ)＝＋|cos|＋cos|(＝，则sin4.(2019·晋城一模)若|sin3175B.A.18628D.C.39B答案32θθ|cos＝|解析将|sin两边平方得，|＋314θθ|sin2，|1＋|sin2＝|＝，∴3317124422θθθθθB.cos＝1－2sin＝cos，故选＝1－sin∴sin2＋1822TxfxxxfxA，则)∈R，设5.函数的最大值是()＝(1－cos2()·cos，，最小正周期为fAT)的值等于(()11B.A.24D．1．0CB答案x11＋cos2122xfxxxx＝)－cos2)＝(1－cos)cos2＝(1－cos2)＝∵解析(1(222xcos4＋111????x－1.cos4＝－＋??24412ππxAfxT＝＝，时，＝.(＝)∴当cos4＝－1max242π111????ffAT＝－cosπ＋＝.故选B.＝∴()??4244．C5ABACABCBC)＝(＝1，＝6.(2018·全国卷Ⅱ)在△5中，cos＝，，则52302B.A.45D292．C.A答案C??3522222??CcbabaC251－1＝－，所以cos＝＋＋－解析因为cos＝2cos－1＝2×2＝52??53????c－A.2＝－2×1×5×32，所以，故选＝4??53π??α??－cos??10πα)7.若tan＝2tan，则＝(π5??α??－sin??54A.1B．2C．3D．C答案3π3π3π??ααα??sinsin－coscos＋cos??101010由已知，＝解析πππ??ααα??－－sincoscossinsin??555ππππααα3tantan＋cossin＋sintancos5555C.，故选＝＝＝＝3ππππαααtansintansincos－－costan5555cbaπ＋＋32AAABCBCabc，＝＝8.在△，中，角，，，，的对边分别为若，CBA3sin＋sin3sin＋ABCb)的面积为1＝，则△(33B.A.4211D.C.42B答案cab3＋＋2R，＝由正弦定理得解析＝2CAB3＋sinsinsin＋aa3322a1，∴＝，即＝，＝A33sin32πABCAb，∴△为等边三角形，∵，＝1＝331SabC＝.故选∴＝sinB.42．π????????θθωfxωx，0，＞0)9.(2019·重庆巴蜀中学期中)已知(，)＝sin(其中＋∈????2πππ??x??xfxfxxxfxff－个－，将|的最小值为，)(＝0，|(′())＝＝′(的图象向左平移)2211??362xgxg)单位长度得)(的单调递减区间是)，则((π??kk??kπ＋π，)A.Z∈(??22ππ??kk??kπ＋π＋，)ZB.∈(??365ππ??kk??kπ＋π＋，)C.∈(Z??637ππ??kk??kπ＋，π＋)D.(Z∈??1212A答案π????????θωxωxθf，0)∈其中sin(，＋＞解析∵0(，)＝????2xxxfxf＝由0′(可得)＝是函数的极值点，′(，)2121π1ππTxx＝的最小值为，∴∵|，－＝|21ω222θxxωfsin(2，＝2，∴＋())∴＝π??x??ffx－)＝又，(??3πxxf)的图象的对称轴为∴，(＝6πππ????θkkθ，0∈，∈∴2×＋＝Zπ＋，，又??226ππ??x??xθf＋2.)∴＝＝，∴(sin??66πxf将的图象向左平移(个单位长度得)6ππ????x??＋??xxg＋2(的图象，)＝sin＝cos2??6??6πkkkkxxkk∈π≤Z≤令2π≤2，≤2π＋π＋π，，∴∈Z，2π??kk??kxgxπ＋π，A.)＝的单调递减区间是)(，故选cos2∈Z则(??2π3π105????????ααβααβπ，，π＋)＝，且∈，sin(－若10.sin2＝，则∈，????42105β的值是()7π9πB.A.44．9π5π5π7π或D.或C.4444A答案ππ????????αα，2π，π∈，∈，∴2解析∵????24π5????αα，π∈，>0∵sin2，∴2＝??25π3ππ52????????βααπ，，∈∈∴cos2，又∵，且＝－，????24255ππ????αβ，∈∴，－??2410αβ＝－∵>0，sin()10π103????αβαβ，π－，且∴cos(－，)∈＝－??210ααββααααβαβ)＋(－－)]＝cos2＝cos[2sin2·cos(－－·sin(∴cos()＋)??210255103??.－×＝－×＝－52510??10ππ????????ββααα，π，π，∴∈[π，2π]，，－∵2＋∈∈????227πβαA.∴.＋故选＝422BAbcaCbABCABCa，＋，若cos＝11.△＝的内角，，，cos的对边分别为cos，2，3ABC)则△的外接圆面积为(A.4πB．8πC．9πD．36πC答案BabA，由余弦定理可得，∵cos＝＋2cos解析222222baccab－＋＋－ab2，·＋·＝acbc2222Cc＝，＝2，又∵整理得cos312CC＝，－1cos∴sin＝3c2ABCRRRABCS＝3.∴△的外接圆面积设△的外接圆的半径为＝，则2＝＝6，∴＝C1sin32RC.π＝9π.故选之一的达芬奇的经意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰(2019·南关区校级期末12．))典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数．学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作ABBAC，一个圆弧，在嘴角点，测得如下数据：，6.9cm处作圆弧的切线，两条切线交于＝ACBC＝12.6cm＝7.1cm，，根据测量得到的结果推算：)(将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间πππ????，A.B.????3446ππ5π5??????，C.D.????212312B答案θABBCABC＝2取≈7，设∠，＝解析3π6.3π3θ≈0.866，sin≈0.924，≈＝0.9.又sin＝则sin87323π2ππ3π????????θθ，，.∈∈，∴2????3384αθαα∈∴2，则＝π，＋设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为ππ????，B.故选.??34二、填空题ααα________.，则cos2＝2cos)13.(2019·陕西四校联考已知sin＝3答案－522αααα由已知得tan＝2，cos2sin＝cos－解析222ααα34－tan1cos－－sin1.＝＝＝＝－222ααα5＋sin＋1costan1＋4ββαβαα＝，cos已知14.(2018·全国卷Ⅱ)sin＋＝1cos＋sin(，则＝sin0＋)________.1－答案2βααβ＝0＋sin，＋cos＝1，cos解析解法一：因为sin22αα，)＝sin)＋(－cos1所以(1－11βα＝所以sin，＝，cos22111122αβαβαβαα＋1因此sin(－＋1)＝sin＋cos＋cossinsin＝＝×－cos－＝442211.＝－2422βαβαβα，所以)＋(cos)＋sin1)＝解法二：由(sin，得＋cos2＋2sin(＝＋11βα.)sin(＋＝－2πCADBDABDABCADBCAB________.＝3＝.15.在△若中，＝是，则∠边上的中线，∠6ABCACAD＝2，则△＝2．的面积为________若π3答案3222BDBDmADABABBDmABmBC∠，根据余弦定理，cos＝·＋＝3－，＝解析设2＝，则222222ACDACABACBCmABABDmBCABDmADDC是正三角形，∴＝＝cos，∠＝＝＝＋，即△，∴－2·＝1πacCADABCBACABCACBabBD，，∠，所对的三条边分别为，则∠＝.记△，的三内角∠＝，∠2313??2222222a??aacBDBDABABDccABAD＋－24·cos∠－由余弦定理可得，＝，∴＋1＝＋＝，即4??222222222accaaABCABABacACBCBCcac3－－23，又2＝＋2－，于是，·cos∠4，∴＝4＋＋－312222acacaccaacacacS∠，∴＝sin34＝可得＝2，＝2＝＋－3，∴＝3，代入＋－3ABC△2ABC3.＝15°的看旗杆正好处在坡度为16.(2019·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，30°，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和台的某一列的正前方，第一排和最后一排的距离为106m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌的速度匀速升旗．______m/s，升旗手应以50s时长为0.6答案EACAECACE＝180°＝180°－60°－15°＝105°，∠∴∠解析依题意可知∠＝45°，－45°－105°＝30°.ACCE，＝由正弦定理可知CEAEAC∠∠sinsinCECEAAC20∴＝＝3m·sin∠EAC∠sin3ACBABACABC×＝·sin∠320Rt30＝．∴在△中，2，∵国歌时长为50s30∴升旗速度为＝0.6m/s.50
浙公网安备 33021202002483