(4)1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试
题
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一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把
答案
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填在题中横线上.)sin2x+e2ax—1x"^―0TOC\o"1-5"\h\z⑴若f(x)=]x''在(—8,+8)上连续，则a=.a,x=0(2)设函数y=y(x)由参数方程[x=t—呻+1)'所确定，则竽=Iy=13+12dx2(3)ddxJcos3xf(t)dt0(4)Jx3ex2dx=,⑸微分方程ydx+(x2—4x)dy=0的通解为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)ln(1+x)—(ax+bx2)(1)x2设lim=2，则xtO5(A)a=1,b=—-厶5(C)a=0,b=—一2(B)(D)a=0,b=—2a=1,b=—2(2)设f(x)=<2%3,x<13，则f(x)在点x=1处的x2,x>1(A)左、右导数都存在(C)左导数不存在，但右导数存在(B)左导数存在，但右导数不存在(D)左、右导数都不存在(3)(A)%的某个领域内单调增加(B)xo的某个领域内单调减少(C)%处取得极小值(D)xo处取得极大值x2+x+1曲线y=ex2arctan(x—1)(x+2)的渐近线有(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条xsinxx⑸设M二J2cos4xdx,N二J2(sin3x+cos4x)dx,P二J-X1+x2-X22则有(A)N
0时'方程kx+x=求函数的增减区间及极值；有且仅有一个解'求k的取值范围.五、(本题满分9分)x3+4设y=x2六、（本题满分9分）求微分方程y"+a2y二sinx的通解，其中常数a＞0."f(x)dx>J1f(x)dx.00七、（本题满分9分）设f（x）在［0,1］上连续且递减，证明：当0＜九＜1时,八、（本题满分9分）求曲线y二3-1x2-11与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二
试题
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解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】—2sin2x+e2ax—1【解析】在x丰0时是初等函数，因而连续；要使f(x)在(-©+8)上连续，f(x)在x_0处也连续，这样必有limf(x)_f(0).xt0由极限的四则混合运算法则和等价无穷小，xt0时，sin兀口x；ex-1口x.sin2x+e2ax一1sin2xe2ax一1limxtOTOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark20"_lim(+)xt0xx2x2ax_lim丄+lim-ax_2+2a_a，xt0xxt0x从而有a_—2.⑵【答案】(t+1)(6t+5)解析】dydydxdtdxdtdtdx宁津_3t2+5t+2，(t+1)(6t+5)t_f(u)-gf(x)或dx(y)6t+5_—xxx：1丿1+t【相关知识点】复合函数求导法则：如果u_g(x)在点x可导,而y_f(x)在点u_g(x)可导，则复合函数y_f[g(x)]在点x可导，且其导数为dydydu•dxdudx⑶【答案】一3sin3xf(cos3x)【解析】原式_f(cos3x)-(cos3x):_f(cos3x)•(—sin3x)・3_—3sin3xf(cos3x).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若F(t)_严⑴f(x)dx，a(t)，卩(t)均一阶可导，则a(t)F：(t)_卩：(t)・f[P(t)]—a:(t)•f[a(t)].(4)【答案】2(x2—1)ex2+C，其中C为任意常数【解析】本题利用不定积分的分部积分法求解•显然是ex2先进入积分号,x2ex2-Jex2d(x2)=2(x2-i)ex2+c其中c为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来•在做题的时候应该好好总结，积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定u=u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数，则Juv'dx=uv-Ju'vdx,或者Judv=uv-Jvdu.⑸【答案】(x-4)-y4=Cx,C为任意常数解析】这是可分离变量的方程.dxdy分离变量得+二=0,两项分别对x和对y积分得到x(x-4)y4ln+ln|y|=C],x-4化简有•y4=C，即(x一4)-y4=Cx,C为任意常数.x二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】
方法
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1：将极限中的分子用泰勒—皮亚诺公式展开得x2ln(1+x)一(ax+bx2)=(x一T+o(x2))-(ax+bx2)=(1-a)x-(++b)x2+o(x2),由假设，应该有«fl-a=05J八小，故由此a=1，b=-入，故应选(A).一(一+b)=222方法2：用洛必达法则.limxt0ln(1+x)-(ax+bx2)x2型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，所以，1—a—2bx原式左边=lim1+xxtO2x=lim(1一a)一丫+2b)x一2加2(若1-a主0，则原式极限为工，必有1-a=0)xtO2x(l+x)1+2b5=—=2,na=1,b=——22故应选(A).(2)【答案】(B)2【解析】方法1：因f(x)=x3,(x<1)nf(x)左可导，/⑴=3-(2)—x313丿x=1又limf(x)=limx2=1丰f⑴nf(x)不右连续nf(x)在x=1的右导数不存在,xt1+xt1+故选(B).方法2：f(1)=3，而limf(x)=limx2=1丰f(1)，xt1+xt1+所以，f(x)在x=1点不连续,故不可导，但左，右导数可能存在,这只需要用左,右导数定义进行验证.—2广⑴=limf(x)—f(1)=lim3=+s,+xT1+x—1xt1+x—12—2f，(1)=limf(x)—f(1)=lim1——3=2.xT1-x一1xT1-x一1故f(x)在x=1点左导数存在，但右导数不存在,故应选(B).(3)【答案】(C)【解析】由于f(x)满足微分方程y〃+y'-esinx=0，当x=x0时，有八x0)+八x0)=esinx0.又由f'(x)=0，有f"(x)=esinx0>0，因而点x是f(x)的极小值点，应选(C).000(4)【答案】(B)【解析】用换元法求极限，令t=1，则当xT±a时，tT0，且有xt2+t+1兀limy=limet2arctan=,limy=—s，xt±8tT0(1—t)(1+2t)4xtO兀所以y轴和y=才是曲线的两条渐近线.兀e而x=1和x=一2并非曲线的渐近线，因当x=1和x=一2时，y分别趋向于±"2和兀e4土T•故应选⑻.【相关知识点】渐近线的相关知识:水平渐近线：若有limf(x)=a，则y=a为水平渐近线;xTg铅直渐近线：若有limf(x)=g，则x=a为铅直渐近线；xTaf(x)斜渐近线：若有a=lim—-,b=lim［f(x)-ax］存在且不为g，则y=ax+b为斜渐xxTg近线.(5)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故M=0，且由定积分的性质，如果在区间［a,b］上,被积函数f(x)>0，则Jbf(x)dx>0(a0,P=—2J2cos4xdx=一N<0.00因而P0,lim9(x)_-s,9(x)在x>0有xT+w唯一的零点；TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark106"2224HYPERLINK\l"bookmark127"当k>0时,9(x)在(0,)单调减少,在(万,+w)单调增加，9()_1—,而3k3k3k27k22HYPERLINK\l"bookmark130"9(0)_1>0,lim9(x)_+w,当且仅当最小值9(一-)_0时，9(x)才在x>0有唯一零点,xT+w3k这时应该有k_|J3.总之，当k<0或k_2<3时,原方程有唯一实根.五、(本题满分9分)【解析】求函数的增减区间一般先求出函数的不连续点和驻点,根据这些点将函数的定义域分成不同区间，然后根据y'在此区间上的正负来判断该区间上函数的增减性以及极值点；根据y〃的正负判定区间的凹凸性；求渐近线时除判定是否存在水平或垂直渐近线外，还要注意有没有斜渐近线.作函数图形时要能综合(1)、(2)、(3)所给出的函数属性,尤其注意渐近线、拐点、极值点和零点.TOC\o"1-5"\h\z824HYPERLINK\l"bookmark134"y二x+,y二1—,y二>0.x2x3x4无定义点：x=0，驻点：x=2.(—g,0)0(0,2)2(2,+g)yy+无定义—0+y“+无定义+++y上升无定义下降极小上升函数在(—g,0)U2+8)单调增加，在(0,2)单调减少,在(—8,0)U(°，+8)凹，在x=2取极小值y=3；x=2由于limy-8,所以x-0为垂直渐近线.xf04-1,lim(y—x)-lim一-0,所以y-x是斜渐近线.由于lim丄xfgxxf8xf8x2粗略草图如下：【相关知识点】渐近线的相关知识：水平渐近线：若有limf(x)二a，则y=a为水平渐近线；xfg铅直渐近线：若有limf(x)=g，则x=a为铅直渐近线；xfaf(x)斜渐近线：若有a二lim—,b二lim[f(x)-ax]存在且不为g，则y=ax+b为斜渐xf8xxf8近线.六、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程对应的齐次方程的特征方程r2+a2=0有两个根为r,r=±ai.12当a主1时,非齐次方程的特解应设为Y=Asinx+Bcosx.1sinx代入方程可以确定A=,B=0,Y=一a2—1a2—1当a二1时，应设Y=xAsinx+xBcosx,1x代入方程可以确定A=0,B=—Y=—-cosx.由此，所求的通解为sinx当a主1时，y=ccosax+csinax+12a2—1x当a=1时，y=ccosx+csinx一cosx.122【相关知识点】i.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y"+P(x)y，+Q(x)y=0的通解，则y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即y"+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y"+py'+qy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r,r12分三种情况：两个不相等的实数根r,r，则通解为y=Ce^+Ceqx;1212两个相等的实数根r=r，则通解为y=(C+Cx)erxi；1212一对共轭复根r=a±ip，则通解为y=e%(Ccos卩x+Csin卩x).其中C,C1,21212为常数.对于求解二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解y*(x)，可用待定系数法，有结论如下：如果/(x)=P(x)e儿,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)=xkQ(x)e儿mm的特解，其中Q(x)是与P(x)相同次数的多项式，而k按九不是特征方程的根、是特征方mm程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果/(x)=e九x[P(x)cos①x+P(x)sin①x],则二阶常系数非齐次线性微分方程lny"+p(x)y"+q(x)y=f(x)的特解可设为y*=xke九x[R(1)(x)cos①x+R⑵(x)sin①x]，mm其中R(i)(x)与R⑵(x)是m次多项式，m=max{l,n},而k按九+(或九—)不是特征mm方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.七、(本题满分9分)【解析】方法一：用积分比较定理.首先需要统一积分区间：换元，令x二九t，则nf(x)dx二九nf(kt皿,由此00Jkf(x)dx-kJ1f(x)dx=kJ1[f(kx)一f(x)]dx.000因为f(x)递减而kxf(x),上式的右端大于零,问题得证.方法二：用积分中值定理.为分清两中值的大小，需要分别在(0,k),(k,1)两区间内用积分中值定理:11f(x)dx=f(x)dx+f1f(x)dx,00k由此，Jkf(x)dx-kJ1f(x)dx=(1-k)Jkf(x)dx-kJ1f(x)dx000k二(1-k)・kf点)-k-(1-k)f点)12=(1-k)注(勺)一f(£)],其中，0fG).上式的右端大于零，问题得证.1212方法三：作为函数不等式来证明.令9(k)=Jkf(x)dx-kJ1f(x)dx,ke[0,1].00则0(九)二f(k)-J1f(x)dx.0由积分中值定理，有0(k)=f(k)-f(g)，其中ge(0,1)为常数.由f(k)递减，k=g为唯一驻点,且0(k)在k=g由正变负,k=g是申(k)的极大值点也是最大值点；由此，最小点必为端点k=0或1•从而有申(k)>9(0)=9(1)=0,0
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