-.--.可修编-.考研专业课大纲解析心理统计学心理统计大纲解析一、描述统计心理统计中常见的根本概念1.变量及其种类〔1〕变量变量又称随机变量，即不断变化的，可取不同值的量。如实验中出现的自变量、因变量与额外变量〔2〕变量与数据的区别心理统计学中，一旦对变量进展了观测，或者进展了取值，这个数值也就是这个变量的一个观测值，即数据，一个变量可以有无数多的数据值。〔3〕变量和数据的分类1.根据变量性质的划分①名称变量：如性别、颜色等，也称类目变量，假设属性只有两种结果，亦称二分名称变量。其所属数据是计数数据，即各类属的数量。②顺序变量：按事物的某一属性的大小或多少按顺序排列起来的数据，相邻两个等级的间隔是不等距的，只有等级上的差异，无单位又无绝对0点。③等距变量：这类数据只有相等的单位，而无绝对0点，如测验分数、温度等。④比率变量：又称等比变量，是一种既有相等单位，又有绝对零点的变量，如距离、时间、人的身高、体重等。后三种变量的数据都是用一定的测量工具或测量
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测量时所获得的数据，统称度量数据。2.根据变量的连续性划分①连续变量：即可无限划分的变量，如长度可划分为千米、米、厘米、微米等②离散变量：指测量单位间不能再细分的数据，常取整数，如名称变量3.根据变量间的关系划分：即自变量、因变量与额外变量的划分2.统计术语初步总体是指具有某些共同的，可观测特征的一类事物的全体个体是构成总体的根本单位或单元，又称元素或个案样本即从总体中抽出的一局部个体，一般30以上的样本称大样本，30一下的称小样本参数是总体的特征量数，一般只是理论假设时存在，实际无法测量，如μ〔总体平均数〕、σ〔总体标准差〕、ρ〔总体相关系数〕等统计量那么是直接从样本计算出的量数，代表的是样本的特征，如M〔样本平均数〕、S〔样本标准差〕、r〔样本相关系数〕等〔一〕统计图表统计表和统计图都是对数据进展初步整理，以简化的形式加以表现的两种最简单的方式。在制定统计图表之前，一般首先要对数据进展以下两种初步整理：〔1〕数据排序：按照某种标准，对收集到的杂乱无章的数据按照一定顺序标准进展排列，其具体方法一般有如下三种：①顺序分布法：将数据按大小排列，后用频数f表示一样数据的出现次数②等级分布法：先按顺序排列数据，后以事物本身的性质标上相应的等级R，假设有重复等级时，应在划分等级时根据其实际的排序位置求平均等级③次数分布法〔2〕统计分组：根据被研究对象的特征，将所得到数据划分到各个组别中去1.统计图统计图：用点、线、面的位置、升降或大小来表达统计资料数量关系的一种列形式组成：坐标轴、图号、图题、图目、图尺、图形、图例、图注图形的种类：直条图〔条形图〕和圆形图〔饼图〕都是用于绘制离散型数据的统计图次数多边形图〔线性图〕与直方图是用于绘制连续型数据的统计图散点图那么是用于表示对事物相互关系的统计图此外还有茎叶图、测量中用来表示结果的剖面图等2.统计表统计表：将要统计分析的事物或指标以表格的形式列出来，以代替烦琐文字描述的一种表现形式组成：隔开线、表号、名称、标目、数字、表注分类：简单表、分组表、复合表次数分布表的编制过程与方法：〔1〕求全距〔Range,R〕〔2〕定组数和组距经历法是根据经历将数据分为10～20组，其中10～15组为最正确，组距一般选择2、3、4、5、10等当数据来自于一个正态分布的总体时，可以用计算法：；或；其中i为组距，k为组数〔3〕定组限组限是指每一组的起止点表达界限：即根据第二步人为确定的上下限准确界限：上限or下限分别+/-0.5〔或0.05、0.005〕所得的界限〔4〕登记与汇总即写出各组频数f与总数∑f〔二〕集中量数集中量数即表示集中趋势的一种参数或统计量，反映的是频数分布量数据向某一点集中的情况。1.算术平均数〔1〕定义算数平均数：即所有观察值的总和与总频数之商，简称为平均数或均数。〔2〕特点①在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于零：②在一组数据中，每一个数都加上一个常数C，所得的平均数为原来的平均数加常数C：③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C：〔3〕意义算数平均数是应用最普遍的一种集中量数，它在大多情况下是真值最好的估计值。2.中数〔1〕定义：中数：按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，在这组数据中，有一半数据比它大，一半数据比它小，以Md或Mdn表示。〔2〕算法：①数列总个数为奇数时，第(N+1)/2个数就是中数②数列总个数为偶数时，可取位于中间的两个数的平均数作为中数③分布中有相等的数时，将重复的数字看成一个连续体，利用中间分数的准确上下限使用插值法注：有相等数数列的中数计算不容易，要自己好好摸索，我通常是采取如下方法：总个数为奇时取第(N+1)/2个数的组中值；总个数为偶时取第N/2个数的准确上限与第(N+1)/2个数的准确下限的均值3.众数众数：在次数分布中出现次数最多的那个数的数值，以Mo表示。众数可能不只一个。均数、中数、众数的关系与应用比拟：〔1〕关系当数据分布呈正态时：M=Mdn=Mo呈偏态分布时，众数位于峰值最高点上，中数位于均值与众数之间，且有Mo=3Mdn-2M即正偏态分布时Mo
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中i>j格中的择优分数。注：U系数的取值围在0～1之间，为1时，意味着评分者的意见完全一致；当U为〔奇数〕或〔偶数〕时，意味着评分者意见完全相反，而U取值的正负并不表示一致的方向。4.点二列相关与二列相关〔1〕点二列相关适用于一列数据为正态等距变量，另一列为离散型二分变量的情况，可用于计算二分计分题目的区分度。是与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数是与二分称名变量的另一个值对应的连续变量的平均数p与q是二分称名变量两个值各自所占的比率，st是连续变量的标准差〔2〕二列相关适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列变量被人为地分成两类。y为标准正态曲线中p值对应的高度，查正态分布表能得到5.Φ相关适用于两个变量都是二分变量的情况，不管是真正的二分变量还是人为的分为两类。其中a、b、c、d分别为四格表中左上、右上、左下、右下的数据〔详见卡方检验一章〕补充：r的取值围为-1≤r≤1，一般认为0～±0.40为低度相关；±0.40～±0.70为中度相关；±0.70～±1.00为高度相关对事物关系的解释和说明并非纯粹依据所计算出的相关系数来进展，因此在解释相关关系时应慎重对待：首先，要从逻辑上判断事物之间是否真正存在关系；其次，要注意随着样本容量的增大，到达相关显著的相关系数数值会变得越来越小；此外，还应注意要在一定的时空围解释相关系数。〔假设样本量足够大，无论什么样的两组数据间都必定会出现相关显著，故应用时应考虑清楚〕二、推断统计〔一〕推断统计的数学根底1.概率〔1〕事件与概率事件是一种数学语言，通俗地说就是事情或现象。大致分为确定事件、模糊事件和随机事件三类。随机事件虽然在每次试验中可能发生也可能不发生，但是当试验次数很大时又会表现出统计的规律性。一种随机事件的发生次数与总试验次数的比值就成为频率，而概率那么是随机事件在试验中发生可能性的程度或可能性的大小，以P表示，概率的定义有统计定义和古典定义之分。概率的统计定义是指通过实际试验所得频率来计算的概率，由于它是由实际经历得到的，又称经历概率；而根据问题本身所具有的理论特点直接计算的概率，那么是概率的古典定义，又称先验概率。小概率事件是指在一次试验中发生的可能性极小，但在大量重复试验下终究会发生的事件，一般认为概率小于或等于0.05的随机事件为小概率事件。〔此概念是区间估计与假设检验的根底〕〔2〕概率分布及其类型经历分布是根据观察或试验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布，它往往是一个总体的样本，故又称样本分布；理论分布或指数学模型，或指按某种数学模型计算出的总体的资料分布，故又称总体分布。2.正态分布〔1〕正态分布与标准正态分布正态分布就是中间量数次数分布多，两端分布少，呈对称型的概率分布。其中，平均数μ和标准差σ决定着曲线的位置和形状：σ越大，曲线越是“低阔〞；σ越小，曲线越是“高窄〞。标准正态分布那么是σ为1，μ为0的正态分布。〔2〕特点①正态曲线的形状就像一口挂钟，呈对称分布，其均值、中数、众数实际上对应于同一个数值。②大局部的原始分数都集中分布在均值附近，极端值相对而言比拟少。③曲线两端向靠近横轴处不断延伸，但始终不会与横轴向交。④正态分布曲线转化为z分数后人以z分数与零点对应曲线下面积固定。〔3〕用法①依据Z分数求概率，即标准分数求面积。②从概率求Z分数，即从面积求标准分数值。③概率或Z值，求概率密度，即正态曲线的高。3.二项分布二项分布：对于一个事件有两种可能A和B，但我们对这一事件观察n次，事件A发生的总次数的概率分布就是二项分布〔是一个离散型分布〕性质：①当p=q=n时，不管n的大小如何，二项分布曲线都是对称的；②p≠q，且n相当小时，图形显偏态；③当n相当大〔n≥30〕时，二项分布曲线会逐渐接近正态分布〔计算上可以简化为pq且nq≥5时，二项分布接近正态分布〕。二项分布的均值为方差公式为标准差的公式为4.t分布一、抽样分布理论及其定理注意：此标题下各概念都极其重要，是以后学习统计推论的理论根底〔1〕总体分布、样本分布与抽样分布总体分布：总体个体数值的频率分布样本分布：总体中一局部个体数值的频数分布抽样分布：总体中可抽取的所有可能的特定容量分布的统计量所形成的分布〔就是说如果我们从总体里面进展很屡次抽样，每次抽样都能得到一个分布，那么所有的每一个这样的分布的均值凑在一块也会构成一个上下错落有致的分布，这就是抽样分布。其他统计量如方差、相关系数等亦是如此〕〔2〕几个重要概念①随机样本：即从总体中经随机抽取所得的样本②抽样误差：以样本均值为例，那么是样本均值与总体均值间的差异。其取值围为：最大允许抽样误差是评价抽样结果准确度的一个指标，用d表示，通常为：。③标准误：由于抽样研究中存在抽样误差，需要估计其大小，而所用的量便是抽样分布的标准差，称为标准误，可用或表示。标准误越小，说明样本对总体的代表性越好。同样以样本均值为例，便等于与间的标准距离。④自由度〔Degreeoffreedom〕：用df或n’表示，是一组数据中可以独立自由变动的数目。〔这个概念我们放到实验中来理解可能更清晰些，例如有一个实验要我们分配4名被试，那么我们在分配前3名被试时，他们的位置都可以是自由的，比方第一位被试可以放在1234任何一个位置上，但最后一名被试那么是没得选择，只能放在最后那个位置，因此他是“不自由〞的，于是自由度便等于n-1了。自由度的计算中，n是原有的样本容量，而减去的那么是受限制的数目，此处乍看好似是最后一名被试受到限制了，但实际上是全体被试受到了可分配数目的限制，也就是说自由度总是受到一些参数或统计量的限制，涉及的参数或统计量越多，往往可以自由变动的数目，也就越少〕〔3〕中心极限定律∵〔我不知道这公式怎么来的，有兴趣的同学可以询问高人或查阅其他统计资料〕由此可得以下定律：大数定律：样本容量n越大，标准误越小；总体方差越大，标准误就越大中心极限定律：对于任何均值为，标准差为的总体，样本容量为n的样本均值分布，会随着n趋近无穷大时趋近均值为，标准差为的正态分布。〔2〕常用抽样分布常用的抽样分布包括正态及渐进正态分布〔样本平均数分布〕、t分布、卡方分布、F分布等<一>t分布t分布〔学生氏分布〕是由小样本统计量形成的概率分布，其分布形态与方差无关而与自由度有关，很类似正态分布，我们可以将正态分布看作t分布当自由度为正无穷时的特例。统计定义：假设一样本X为标准正态分布，另一样本Y为自由度为n的卡方分布，那么随机变量服从自由度为n-1的t分布。总体分布为正态，方差未知时，样本平均数的分布为t分布：其中特点：①对称，均值为0；②形状随自由度改变，是一簇曲线；③理论上n趋于无用时，t分布以标准正态曲线为极限；n逐渐减少时，分布离散程度变大，其峰顶逐渐下降，尾部抬高④t分布t值均有对应的p值。应用：①总体正态，总体方差未知，且n<30时，样本均值分布呈t分布；②总体呈非正态，总体方差未知，n>30时，样本均值分布呈t分布或渐进正态分布；③总体方差未知时，两样本均值之差的分布、样本相关系数的分布、回归系数的分布在一定条件下也服从t分布。<二>χ2分布χ2分布的构造是从一个服从正态分布的总体中每次抽去n个随机变量，计算其平方和之后标准化的一个分布。统计定义：几个相互独立的，均服从正态分布的随机变量的平方和的分布。特点：①正偏态，自由度趋近无穷大时，χ2分布为正态分布；②具有可加性〔是一个服从的χ2分布〕；③χ2值都是正值④>2时，χ2分布平均数，方差；⑤χ2分布是连续性分布，但有些离散性分布也服从χ2分布。应用：计数数据的假设检验，样本方差与总体方差的一致性检验等。5.F分布如果有两个正态分布的总体，我们从其中各自取出两个样本，各自计算出χ2，那么：统计定义：设有两个总体X、Y，分布符合自由度分别为n1和n2的χ2分布，且X与Y相互独立，那么随机变量服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布将χ2公式代入以上定义式，分析可知F比率其实为样本方差各除以其总体方差的比率，而如果我们所计算的F两样本取自一样总体，即，那么上式可化简为：特点：①正偏态，随与的增大而趋向正态分布；②F总为正值；③当分子自由度为1时，F值与分母自由度一样t值〔双侧〕的平方相等，即④应用：总体方差齐性检验、多组之间均值差异检验等6.样本平均数分布样本平均数分布是一种抽样分布，服从正态或渐进正态分布根据中心极限定律，样本平均数分布的平均数和方差与母体的平均数和方差有如下关系：①；②；③应用于以下情形：1.总体呈正态，总体方差，那么样本均值分布呈正态分布；2.总体呈非正态，总体方差，样本容量n足够大〔n≥30〕，样本均值分布为渐进正态分布。样本的方差及标准差的分布也渐趋于正态分布，其分布的平均数与标准差和总体有如下关系：7.抽样原理与抽样方法〔1〕抽样原理抽取样本的根本原那么是随机性原那么，即在进展抽样时，总体中每个个体被抽选的概率应完全相等。由于随机抽样使每个个体有同等时机被抽取，因而有相当大的可能使样本保持和总体有一样的构造，或者说，具有最大的可能使总体的某些特征在样本中得以发现，从而保证由样本推论总体。〔2〕抽样方法<一>概率抽样方法①简单随机取样法：对整个总体进展完全随机抽样，通常有抽签法与随机数字法两种缺点：1.总体很大时无法使用；2.常忽略总体已有信息，降低了样本代表性。②系统随机取样法〔等距抽样〕：把总体中所有个体按一定顺序编号，后依固定间隔抽样缺点：1.假设总体有周期性变化，那么效果不好；2.也容易忽略已有信息。③分层随机取样法：根据需要将总体分层，再从各层中分别随机抽样，在每层中抽样数目可以是不同的，应适当考虑总体比例抽取，分层原那么是层与层间变异越大越好。分层抽样最正确抽取人数计算：或其中ni为所求该层应抽数目；n为样本容量；Ni为i层的总人数；N为总体人数；σi为i层标准差；σ为总体标准差。④多段随机取样法〔整群抽样〕：先在第一层总体中抽取样本群体，再在抽得的各群体中进展随机抽样，适用于大规模调查。<二>非概率抽样方法方便抽样：随便抽，想怎么抽怎么抽；判断抽样：通过某些条件过滤后再抽。〔二〕参数估计1.点估计、区间估计与标准误参数估计就是根据样本统计量去估计相应总体的参数。〔1〕点估计点估计是直接以样本统计量作为总体参数的估计值，良好点估计量有一定前提条件：1．无偏：即样本容量固定，统计量的分布的均值和被估计的参数相等；2．一致：指样本容量无限增多时，估计量趋于被估计参数〔即所谓的数学期望〕；3．有效：当总体参数的无偏估计量不只一个时，抽样分布方差小者较为有效；4．充分：指一个容量为n的样本统计量不充分地反映了总体的信息。〔2〕区间估计由于我们永远无法排除抽样误差的存在，因此点估计不能提供正确估计的概率，因此就需要区间估计。区间估计是根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间围，它是用数轴上的一段距离来表示未知参数可能落入的围。总体参数可能所在的这个围便是置信区间，上下端点为置信界限。置信区间说明过了区间估计的准确性。估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率为显著性水平，用α表示，1-α为置信度或置信水平。置信度说明了区间估计的可靠性。区间估计的原理是样本分布理论。进展区间估计的计算及解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及其样本分布的标准误。分布提供概率解释，而标准误的大小决定了区间估计的长度。标准误越小，置信区间的长度就越短，估计就越准确，总体参数就越应该落入样本统计量所界定的区间中，而不落在其中的概率即为显著性水平α。置信度与置信区间长度有一代偿关系，即置信度越高，置信区间就越宽，反之，我们的估计要求越是准确，置信区间越窄，置信度就越小，正确估计的把握就越小。〔3〕估计的标准误标准误：即样本平均数分布的标准差，其平方，即样本均值分布的方差，那么称为变异误总体方差未知时用估算的总体方差计算标准误。参数估计的根本步骤：①分析条件，判断方法；②求标准误；③求置信区间；④结果解释。2.总体平均数的估计总体平均数的估计方法大致有三种，比照方下：正态法〔Z〕t分布法近似正态法〔Z’〕条件未知总体正态，n不管大小；或总体非正态，n≥30总体不管正态与否，n≥30标准误求得置信区间*注：未知，n<30时，必需用t分布法3.标准差与方差的区间估计〔1〕总体方差的估计由于样本方差与总体方差之比的分布呈χ2分布，因此有：〔df=n-1〕〔2〕总体标准差的估计根据抽样分布理论，n≥30时，样本标准差分布近似正态分布，且，那么有：在对标准差的总体进展估计时，可先对其方差进展估计〔用χ2〕，求得方差置信区间后，再开平方。〔三〕假设检验1.假设检验的原理〔1〕差异及差异显著性检验当两个事物之间出现差异时，有可能是抽样误差，也有可能是实质性的差异，如果经过统计检验发现差异超过了统计学所规定的某一误差限度时，那么表示差异已经不属于抽样误差了，统计上将这样的情况称为差异显著，反之即是差异不显著。由于在进展差异检验时需要先对事物是否存在差异做出假设，再作统计检验，因此这一过程便称为假设检验。〔2〕假设检验的统计学原理<一>假设与假设检验统计学中的假设一般专指统计学属于对总体参数所作的假定性说明。在进展任何一项研究时，都需要根据已有的经历和理论先对研究结果作出一种预想的希望证实的假设。这种假设叫科学假设，记作H1，又叫备择假设。由于证实远比证伪困难，在统计学中，不对H1的真实性直接检验，需要建立与其对立的假设，成为虚无假设，记作H0。假设检验的问题就是要判断虚无假设是否正确，因此虚无假设就是统计推论的出发点。注意：备择假设总是要假设比照两者间是有差异的，例如单总体检验样本均值与总体均值是否有差异时，我们的备择假设就是，对应备择假设，虚无假设总是假设两者并无差异，即表示为。<二>显著性水平显著性水平指的是拒绝虚无假设的小概率值，用α表示。也就是说，如果一件事情发生的概率小于我们设定的这么一个显著性水平，我们就将其归为“小概率事件〞，也就是认为它是一件“几乎不可能发生〞的事件。<三>小概率原理假设检验的根本思想是概率性质的反证法，基于统计学中广泛采用的小概率原理，该原理认为“小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的〞，由此假设检验首先假定虚无假设为真，在虚无假设为真的前提下，假设导致了违反常理或不合理的现象出现，那么说明“虚无假设为真〞的假定错误，必须拒绝虚无假设。而假设没有，那就认为“虚无假设为真〞是正确的，即要承受虚无假设。〔3〕差异显著性的检验方法<一>双尾检验双尾检验的实际意义是值推断差异是否存在，而不断言差异的方向。其显著性水平标记为：α=0.05/2或α=0.01/2<二>单尾检验单尾检验是研究者根据已有的资料事先能够预料到谁优谁劣，检验只是为了进一步确证而选择的方法。〔即是说研究者已经不只能够判断出“有差异〞，而且可以判断出“A比B好/优/大/快〞的情况下所采用的方法〕其中当预料到一个总体参数大于另一个总体参数时，采用右侧检验；而当预料到是小于时，那么采用左侧检验。单尾检验与双尾检验的区别在于：①问题的提法不同。双侧检验的提法是：μ与常数μ0是否有显著差异？单侧检验的提法是：μ是否显著地高于/低于常数μ0？②建立假设的形式不同。双侧检验的零假设和备择假设为：H0：；H1：；单侧检验的零假设与备择假设为：H0：；H1：或H0：；H1：。③否认域不同。如Z检验中双侧检验的否认域为Zα/2；而单侧检验为Zα。使用时一定要根据研究目的所规定的方向性来确定使用何种检验，假设该用单侧检验的问题使用了双侧检验，其结果不仅可能使结论由“显著〞变为“不显著〞，还会增大β错误。反之用单侧检验代替了双侧检验，虽然缩小了β错误，但却使得无方向性的问题人为地变成单方向问题，有悖于研究目的。差异是否显著，是由观测值和临界值〔如Z值、t值等〕相比获得的。观测值大于临界值，那么结果在相应的显著性水平上是显著的。〔4〕统计决策的两类错误承受H0拒绝H0H0为真正确决策I型〔弃真、α〕错误H0为假II型〔取伪、β〕错误正确决策之前已经介绍过，α其实就是用来定义小概率事件的一个概率值，在这里也就成了拒绝H0的概率，同时也就是会犯拒真错误的概率。如图，显著性水平α与犯II型错误的概率β间又存在密切关系：①减小了犯I型错误的风险，必定会增大犯II型错误的风险，反之亦然；②α+β不一定等于1，在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大；③可以通过增大样本容量和增大处理效应来同时减小两类错误。对于I型错误来说，可以通过控制显著性水平来减小犯错误的概率II型错误与I型错误不同，影响β值大小的因素主要有三：一、在参数检验中，β依赖于参数的实际值与假设值之间的距离，两者相差越大，β越小；二、α越小，β就越大；三、当α与n固定时，根据研究问题的性质选择适当的检验类型可以减少β。〔详见统计效果量一章〕〔5〕假设检验根本步骤①根据问题要求，提出虚无假设和备择假设②确定显著性水平，确定单尾还是双尾，确定自由度，查表求临界值③计算样本的实际观测值④比拟样本实际分数与临界分数⑤对H0作出结论⑥报告结果〔6〕假设检验与参数估计的联系与区别假设检验是当样本统计量超过一定标准时，就说统计显著，是检验两事物差异是否显著的一种方法；而参数估计是要找到总体值所可能落入的可靠围，是利用样本统计量对总体参数所作的估计。而作为两者的代表性指标——显著性水平和置信水平也是从不同角度答复了一样的问题。2.样本与总体平均数差异的检验由于样本均值分布服从正态分布、t分布或者渐进正态分布，因此检验与差异时，根据不同情况便有三种可选择的方法检验步骤：①确定单双尾②明确总体方差是否③分析总体分布是否正态④根据下表选择适当的检验方法检验方法总体情况标准误检验值Z检验正态t检验未知Z’检验非正态且n≥30未知3.两样本平均数差异的检验〔1〕检验逻辑与公式两个样本间的关系可以有如下两种：独立样本：即两个互不相关的样本，往往来自不同总体，即是不同组别间一样性质的比拟，如某校初三〔1〕班的语文成绩与初三〔2〕班的语文成绩。相关样本：即两个样本间是存在某些联系的，往往来自同一个总体，即是同一个组产生的两种不同类别的数据，例如初三〔1〕班学生的语文成绩与数学成绩。检验逻辑：用样本的均值估计总体均值，用相减后的值来作为两均值之差的分布的均值，由于这一分布在不同情况下符合正态分布、t分布或渐进正态分布，因此计算时也应根据不同情况慎重选择。是两样本平均数检验的通用公式，所不同的仅在于标准误的计算。实际上标准误的计算公式也是一样的，即：，不同的只是两独立样本情况下，样本间数据相关r=0，于是公式出现了差异。下面分两种样本详述计算公式。〔2〕独立样本间平均数差异的检验①两总体方差，用Z检验：②两总体方差未知，且方差齐性，用独立样本t检验：使用条件：1.观察间彼此独立；2.两总体均为正态；3.两总体方差齐性〔经齐性检验同质〕。公式：；〔〕③当n1和n2都是大样本〔大于等于30〕时，不管方差是否齐性，都可用近似Z’检验：〔3〕相关样本间平均数差异的检验①两总体方差，用Z检验：②两总体方差未知，用相关样本t检验：a.相关系数未知：其中D为每一对对应数据之差〔，n为对子数〕b.相关系数：，计算公式同上。4.方差齐性的检验〔1〕样本方差与总体方差当从正态分布的总体中随机抽取容量为n的样本时，其样本方差与总体方差比值服从χ2分布：由自由度查χ2表，依据显著性水平判断〔2〕多个总体间的方差齐性检验以方差最大的样本方差为分子除以方差最小的样本方差，所得比值与F表中临界值作比拟比值服从第一自由度为，第二自由度为的F分布，为单侧检验〔F大于2时多半就不同质〕。5.相关系数的显著性检验〔1〕积差相关①当ρ=0时：其中②当ρ≠0时：先通过查表将r和ρ转化为费舍Zr和Zρ然后进展Z检验。〔2〕点二列相关①与进展t检验②假设n>50；那么时，在0.05水平显著；时，在0.01水平显著〔3〕等级相关和肯德尔W系数在总体相关系数为零时：查各自的相关系数表，判定样本相关显著。〔四〕方差分析1.方差分析的原理与根本过程〔1〕方差分析的含义与前提在科学研究中，实验涉及的变量越多，便越能接近于现实情况，进而作出更加可靠有效的解释和预测，因此单纯的单因素两水平间的比照一般不能满足研究人员的需要，而假设运用用多个t检验来检验多个水平间均值的差异时，相当于从t分布中随机抽取了多个t值，这样落在临界围之外的可能将大大增加，犯Ⅰ型错误的时机也就大大增加。方差分析就是对多个平均数进展比拟的一种统计方法，又称变异数分析，即ANOVA。它既防止了增加犯错误的概率，又可以对多个变量间的差异进展分析，是社会科学研究中运用最广泛的一种方法。方差分析的使用前提：①总体分布的正态性〔总体非正态时可转换为正态或用非参数方差分析〕②各个实验组的方差齐性〔出自同一总体〕③变异的相互独立性〔保证变异的可加性〕〔2〕方差分析的根本原理<一>方差分析中的几个概念因素：实验中的自变量称为“因素〞水平：某一个因素的不同处理情况称为因素的“水平〞处理：包括量差和质别两种情况，按各个“水平〞进展的重复实验称为实验的各种处理。比方现在我们要区分小白和小黑哪个能比拟有效地吸收的能量，这样的一个实验中除开额外变量便只有一个因素，即“颜色〞；而小白和小黑那么是这一因素的两个不同水平；至于我们把他们抓到太阳地下晒，就是实验的“处理〞了。总差异组内差异组间差异个体差异随机误差<二>根本逻辑方差分析的理论根底即方差的可分解性〔详见描述统计局部〕。方差分析的目的是对多组平均数差异的显著性进展检验，看他们之间是否存在差异，实际也就是探测实验处理是否发挥了显著成效。假设研究数据的总变异是由处理效应造成的，那么组间变异便应占较大比例。具体操作时，以F检验来推断组间差异与组差异的比值，假设比值较大，那么各组均值的差异就越显著。〔3〕方差分析的过程<一>各变异的容与表达根据各变异关系及方差分析的可加性，有：总变异=组间变异+组变异总变异的数学意义是每一个原始分数〔〕与总平均数〔〕的离差：；组间变异的数学意义是每一组的平均数〔〕与总平均数的离差：；组变异的数学意义是每一组部的各原始分数与该组平均数的离差：。<二>总变异的分解及各局部的计算方差分析的容很多，因此我们将方差的分子和分母分别计算，然后再合成。1.平方和的分解与计算①平方和的定义式根据变异的可加性，对于任何一个原始分数，有：把某组的n个数据的平方和相加，得：那么对于总共k组而言：∵平均数离差和为0，即∴原式为：即：②平方和的计算式总平方和：组间平方和：组平方和：2.自由度的分解总自由度：组间自由度：组自由度：3.变异的分解总变异：组间变异：组变异：<三>变异率与F分布变异率即是一类提醒组间变异所占比例的统计量，以F表示：假设实验处理未产生影响，那么F=1。F检验就是检验F值中分子大于分母的一种检验方法，属单尾检验，假设计算得F≤1，那么无需查表即可直接做出差异不显著的结论；而假设F远大于1，那么需查F临界值表，查；假设采用双尾检验的方法，那么查。自此方差分析告一段落，方差分析完毕后，需将其步骤和结果归列成一方差分析表，由变异来源、平方和、自由度、均方、F值和p值构成。〔4〕方差分析根本步骤总结①建立假设，述H0和H1；②确定显著性水平α；③计算并确定自由度；④查表找出临界F值；⑤计算统计量；⑥比拟与决策：进展F检验，作出判断，假设是多因素方差分析，还应作交互作用分析；⑦列方差分析表；⑧假设有需要，还应进展事后检验。2.完全随机设计的方差分析〔1〕完全随机设计完全随机设计就是随机地抽取研究对象并随机将其分配至各种实验条件进展实验的设计形式，每一随机组承受一种实验处理，所以也成独立组设计或被试间设计。假设实验结果出现组与组之间差异显著，就可以认为实验处理的效应显著。〔2〕完全随机设计的方差分析分为样本容量相等与不等两种情况，应注意不同情况下N值的计算，其余均与上一节所述一致。陈述假设确定显著水平确定检验自由度确定F临界值计算F观察值比拟F值得出结论〔3〕特殊数据的方差分析有时欲分析的资料只有各组的、及等样本特征值，也可以按方差分析根本思想与概念进展推导：①求总体均值：②；3.随机区组设计的方差分析〔1〕随机区组设计随机区组设计是指每个区组均随机地承受全部实验处理或因素水平的实验涉及类型，又称相关设计。〔详见实验局部〕〔2〕随机区组设计方差分析的原那么与原理在方差分析根本原理中，我们把组变异笼统地视为一种误差，而实际上却是实验误差与个体误差同时造成的。根据完全随机区组设计的思想，将个体差异再从中别离，剩余的误差那么成为一种较纯的随机误差，由此提高了分析的精度。即：组变异=区组变异+误差变异；公式如下：〔n为区组数，k为组间数，R为各区组分数，X为各处理分数〕自由度也分成三局部：；〔3〕随机区组设计方差分析的过程其根本过程与完全随机设计一样，只是误差分解不同，F值的计算不同：4.协方差分析〔1〕协方差分析的性质在实验过程中，我们经常会遇到一些光靠实验操作难以控制额外变量的情况，如果这些变量与因变量之间存在共变关系，我们就可以运用协方差分析对数据进展统计控制。协方差分析本质上可以视为线性回归与方差分析的综合使用，即在原有的方差中减去那些与因变量呈线性关系的变量与因变量的协方差，从而消除这些额外变量的影响，以达完善实验的目的。〔建议扎实学习完方差分析与线性回归后再来学习这一节〕〔2〕协方差分析的一般步骤①经过线性回归的显著性检验，得到x确实向y回归，且意义显著；②在假定各组的回归与总体回归一致的前提下，分别求出组、组间及总的均积〔均积是样本统计量，其对应的总体参数为协方差，记作σxy或COV(x,y)〕；即：③算出未经调整的组、组间、总体和方；④算出三种经过调整的和方；∵；∴〔〕〔〕〔〕⑤用已矫正的方差值进展F检验。经过处理，假设原先y的差异是由x造成的，那么矫正后y之间将没有显著差异；反之假设y的变异除掉x造成的变异后仍存在不同处理间的显著效应，那么可以认为y’间确实存在显著差异。注意：矫正后由于y’与x已不再相关，y’和原y各值的大小顺序可能也会不一致。由此可见，协方差分析能够提高实验的准确性和准确性，从而使数据更真实地反映实验实际。5.多因素方差分析〔1〕多因素实验设计多因素实验设计是实验者同时操纵两个或多个自变量的一类设计的总称。一个多因素实验设计与单因素实验设计最重要的区别在于前者可以估价交互作用的影响，从而可获得比单因素实验更加丰富的信息。交互作用的估价对于研究的深入是非常重要的，在几个因素同时作用的时候，经常会出现这样的情况：一个因素的各水平在另一个因素的不同水平上变化趋势不一致，以致如果只区分每个因素单独的作用，并不能提醒因素水平之间的复杂关系。多因素方差分析即是多因素实验中所用到的统计方法，包括对主效应的检验，对交互作用的检验以及对因素各水平间差异的显著性检验等。鉴于离开实验来表达多因素方差分析并没有什么实际意义，且此局部计算过程繁杂，研究生入学考试一般来讲不可能出现那么费时的题目，以下我便只结合各种实验设计，简单分述各种多因素方差分析的一般特点。〔参考资料：?心理与教育研究中的多因素实验设计?——舒华〕〔2〕二因素完全随机实验设计<一>根本方法随机分配被试承受两个因素的实验处理的结合，每个被试承受一个实验处理的结合。假设A因素有p个处理水平，B因素有q个处理水平，n为每个处理组合中承受处理的被试人数，那么总共需要N=npq个被试。<二>被试分配示意图a1a1a1a2a2a2b1b2b3b1b2b3S1S2…………S6S7S8…………S12S13S14…………S18S19S20…………S24<三>平方和与自由度分解图<四>各平方和的含义SS处理间：指所有由实验处理引起的变异。在两因素实验中它包括A因素、B因素及其交互作用引起的变异。SSA：A因素的处理效应。SSB：B因素的处理效应。SSAB：AB间的交互作用。SS处理：指所有不能由实验处理解释的变异。完全随机设计中不对处理平方和做进一步分解。SS单元：指实验中承受一样实验处理的被试之间的变异之和，其均方可用作该实验设计中所有F检验的误差项。注意：当方差分析说明两个因素的交互作用是显著时，研究者常常需要进一步了解交互作用的含义是什么，这就需要作进一步的检验；另外，方差分析只能提供几个变量之间是否存在显著差异的结果，而各水平两两之间，或各因素对其他因素的影响作用却无法表达出来，因此在一些情况下便需要做进一步的检验。这些检验方法将在这一节的最后一并详细阐述。〔3〕二因素随机区组实验设计二因素随机区组设计使用了区组技术，在估价两个因素的处理效应及其交互作用的同时，还可以别离出一个无关变量的影响，大大减小了残差变异，使得F检验更加敏感。但使用时要注意，这个无关变量与自变量之间不可以有交互作用。<一>根本方法事先将被试在无关变量上进展匹配〔如果这个无关变量是被试变量〕，然后将选择好的每一组同质被试随机分配，每个被试承受一个实验处理的结合。假设A因素有p个处理水平，B因素有q个处理水平，n为每个区组中承受处理的被试人数，那么总共需要N=npq个被试。<二>被试分配示意图a1a1a1a2a2a2b1b2b3b1b2b3区组1区组2区组3区组4S11S12S13S14S15S16S21S22…………S26S31S32…………S36S41S42…………S46<三>平方和与自由度分解图<四>各平方和的含义SS处理间：指所有由实验处理引起的变异。SSA：A因素的处理效应。SSB：B因素的处理效应。SSAB：AB间的交互作用。SS处理：随机区组设计中，处理平方和被进一步分解为区组效应和残差平方和两局部SS区组：区组效应；SS残差：即误差变异，其均方用作其他均方F检验时的误差项。〔4〕二因素混合设计当每一个实验中，每个被试仅承受一个实验处理时，叫非重复测量实验设计或者被试间设计，完全随机设计与随机区组设计都属此类。在这种设计中，误差变异的一个重要来源是被试的个体误差。由于承受不同处理水平的是不同的被试，因此处理效应与被试之间的个体差异混淆在一起，很难区分处理效应中是否包含有被试个体差异引起的变异。一种更好的控制被试个体差异的方法是让每个被试只承受一个变量的所有的处理水平，这就是重复测量设计。在两因素实验设计中，当有一个因素是重复测量的，而另一个因素是非重复测量的时，叫做混合设计。当两个因素都是重复测量的时，就叫被试设计。混合设计是现代心理与教育实验中应用最广泛的一种设计〔也是考研考察的重点，几乎每年都有几个连在一起的选择题，08年更是以此出了最后一道分析题〕，下面介绍几种需要运用混合设计的情况：①当研究中的两个变量中有一个是被试变量时；②当研究中的一个自变量的处理会对被试产生长期效应，如学习效应时；③有时选用混合设计是出自对实验的可行性的考虑，如当实验中两个因素的水平数都较多，使用完全随机设计所需要的被试量很大，而选用被试设计，每个被试重复测量的次数很多，会带来疲劳、练习等效应，这时混合设计便可能是一个很好的选择。<一>根本方法首先确定研究中的被试变量和被试间变量，将被试随机分配给被试间变量的各个水平，然后使每个被试承受与被试间变量的某一水平相结合的被试变量的所有水平。假设被试间因素B有p个水平，那么二因素混合设计共需被试N=np个，比一个二因素完全随机设计〔N=npq〕少，而比一个二因素被试设计〔N=n〕多。<二>被试分配示意图b1b2b3a1S1S1S1S2S2S2S3S3S3S4S4S4a2S5S5S5S6S6S6S7S7S7S8S8S8<三>平方和与自由度分解图<四>各平方和的含义SS被试间：两因素混合实验中，被试间平方和包括被试间因素引起的变异和与被试间因素有关的误差变异。SSA：被试间A因素的处理效应。SS被试(A)：与被试间因素有关的误差变异，其均方用作A因素F检验的误差项。SS被试：在两因素混合实验中，被试平方和包括被试因素的处理效应、被试与被试间因素的交互作用，以及与被试因素有关的误差变异。SSB：被试因素B的处理效应。SSAB：AB间的交互作用。SSB×被试(A)：与被试因素有关的误差变异，其均方用作B因素及AB交互作用的误差项。<五>SS被试(A)和SSB×被试(A)的实质SS被试(A)实质上类似于一个完全随机实验中的SS组，它相当于嵌套在a1和a2水平的两个单因素完全随机实验的组误差之和。而SSB×被试(A)类似于一个随机区组实验中的SS区组，在一个单因素重复测量或随机区组实验中，由于实验设计假设自变量与被试〔区组〕之间有没有交互作用，交互作用的残差平方和是随机误差，因此，我们用它做实验误差变异的估价。在混合实验中，它相当于嵌套在a1和a2水平的两个单因素重复测量〔或随机区组〕实验的残差平方和之和。由于在一般情况下，MSB×被试(A)要比MS被试(A)小得多，所以被试因素及其交互作用的F检验一般要比被试间因素的F检验敏感的多，因此在可行的情况下，研究者通常会把较为重要的变量放在组变量中。〔5〕两因素被试设计采用重复测量的两因素被试设计时，实验中只有两个被试因素。在实验条件允许的情况下，被试设计能别离出所有由被试个体差异引起的变异，到达减少实验误差，提高结果精度的目的，是一种很好的设计。<一>根本方法每个被试都承受所有的实验处理的结合。实验刺激呈现给被试的先后次序是随机的，或按拉丁方排序的。<二>被试分配示意图a1a1a1a2a2a2b1b2b3b1b2b3S1S1S1S1S1S1S2S2S2S2S2S2S3S3S3S3S3S3S4S4S4S4S4S4<三>平方和与自由度分解图<四>各平方和的含义SS被试间：两因素被试实验中，被试间平方和包含了所有由被试个体差异引起的变异。SS被试：两因素被试实验中，被试平方和包括所有由实验处理引起的变异及误差变异。SSA：被试间A因素的处理效应。SSA×被试：残差，其均方用作A因素的F检验的误差项。SSB：被试因素B的处理效应。SSB×被试：残差，其均方用作B因素的F检验的误差项。SSAB：AB间的交互作用。SSB×被试：残差，其均方用作B因素的F检验的误差项。SSA×B×被试：残差，其均方用作AB交互作用的F检验的误差项。SSA×被试、SSB×被试和SSA×B×被试虽然在计算上略有不同，但实质上都是残差平方和。〔6〕对交互作用的进一步检验当方差分析说明一个两次交互作用显著时，应进一步做图解和简单效应检验，以确定交互作用的实质。当一个三次交互作用显著时，应进一步做简单简单效应检验或者简单交互作用检验。简单效应检验与主效应检验大不一样，主效应检验
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