初中数学二次函数综合题及答案

PAGE1二次函数题选择题：1、y=(m-2)xm2-m是关于x的二次函数，则m=（）A-1B2C-1或2Dm不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（）A在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2，则抛物线的解析式是（）Ay=—（x-2）2+2By=—（x+2）2+21—10xyCy=—（x+2）2+2Dy=—（x-2）2—25、抛物线y=x2-6x+24的顶点坐标是（）A（—6，—6）B（—6，6）C（6，6）D（6，—6）6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（　）个yx0-1　=1\*GB3①abc〈０　=2\*GB3②a＋c〈b　　　　=3\*GB3③a+b+c　〉０　　=4\*GB3④２c〈３bA１B２C３D　４7、函数y=ax2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0），则==的值是（）A-1B1CD-xyxyxyxy8、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）ABCD二填空题：13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2＋2mx＋m上的点的坐标是————————————。16、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝２，最小值为－２，则关于方程ax2+bx+c＝－２的根为————————————。17、抛物线y=（k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k＝—————————解答题：（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．（1）求此二次函数的解析式．（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．BxyO(第2题图)CAD2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，eq\f(9,2)）．（1）求抛物线的函数 表 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达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．BxyO(第3题图)CA3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝eq\f(4,3)x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（二次函数与四边形）4、已知抛物线．(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．（1）填空：OB＝_▲，OC＝_▲；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；COAyxDBCOAyxDBMNl:x＝n（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．7、已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（二次函数与圆）8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．9、如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。10、已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，)．（1）（3分）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。答案：1、解：（1）由已知条件得，（2分）解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣；（1分）（2）∵x2﹣x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）2、（1）∵抛物线的顶点为（1，eq\f(9,2)）∴设抛物线的函数关系式为y＝a(x－1)2＋eq\f(9,2)∵抛物线与y轴交于点C(0，4)，∴a(0－1)2＋eq\f(9,2)＝4解得a＝－eq\f(1,2)∴所求抛物线的函数关系式为y＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(9,2)（2）解：P1(1，eq\r(,17))，P2(1，－eq\r(,17))，P3(1，8)，P4(1，eq\f(17,8))，（3）解：令－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(9,2)＝0，解得x1＝－2，x1＝4∴抛物线y＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(9,2)与x轴的交点为A(－2，0)C(4，0)过点F作FM⊥OB于点M，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴eq\f(MF,OC)＝eq\f(EB,AB)又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝eq\f(EB,AB)×OC＝eq\f(2,3)EBBxyO(第3题图)CADE设E点坐标为(x，0)，则EB＝4－x，MF＝eq\f(2,3)(4－x)∴S＝S△BCE－S△BEF＝eq\f(1,2)EB·OC－eq\f(1,2)EB·MF＝eq\f(1,2)EB(OC－MF)＝eq\f(1,2)(4－x)[4－eq\f(2,3)(4－x)]＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x＋eq\f(8,3)＝－eq\f(1,3)(x－1)2＋3∵a＝－eq\f(1,3)＜0，∴S有最大值当x＝1时，S最大值＝3此时点E的坐标为(1，0)3、（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，∴A(－1，0)C(0，－4)把A(－1，0)C(0，－4)代入y＝eq\f(4,3)x2＋bx＋c得∴eq\b\lc\{(\a\al\co(eq\f(4,3)－b＋c＝0,c＝－4))解得eq\b\lc\{(\a\al\co(b＝－\F(8,3),c＝－4))∴y＝eq\f(4,3)x2－eq\f(8,3)x－4（2）∵y＝eq\f(4,3)x2－eq\f(8,3)x－4＝eq\f(4,3)(x－1)2－eq\f(16,3)∴顶点为D（1，－eq\f(16,3)）BxyO(第3题图)CAPMN设直线DC交x轴于点E由D（1，－eq\f(16,3)）C(0，－4)易求直线CD的解析式为y＝－eq\f(4,3)x－4易求E（－3，0），B（3，0）S△EDB＝eq\f(1,2)×6×eq\f(16,3)＝16S△ECA＝eq\f(1,2)×2×4＝4S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12（3）抛物线的对称轴为x＝－1做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3易求AB的解析式为y＝－eq\r(,3)x＋eq\r(,3)∵D3E是BC的垂直平分线∴D3E∥AB设D3E的解析式为y＝－eq\r(,3)x＋b∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－eq\r(,3),∴y＝－eq\r(,3)x－eq\r(,3)把x＝－1代入得y＝0∴D3(－1，0),过B做BH∥x轴，则BH＝1eq\r(,11)在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝eq\r(,11)∴D1（－1，eq\r(,11)＋eq\r(,3)）同理可求其它点的坐标。可求交点坐标D1（－1，eq\r(,11)＋eq\r(,3)）,D2（－1，2eq\r(,2)）,D3(－1，0),D4(－1,eq\r(,11)－eq\r(,3))D5（－1，－2eq\r(,2)）4、(1)====，∵不管m为何实数，总有≥0，∴=＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．(2)∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴，抛物线的解析式为=，顶点C坐标为（3，－2），解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．(Ⅰ)设直线CD向右平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），又N在抛物线上，∴，解得（不合题意，舍去），，（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），又N在抛物线上，∴，解得（不合题意，舍去），，(Ⅱ)设直线CD向左平移个单位（＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x－1交于点M（3，2），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），又N在抛物线上，∴，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3，），又N在抛物线上，∴，解得，（不合题意，舍去），综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．5、解：（1）OB＝3，OC＝8COAyxDBE（2）连接OD，交OC于点E∵四边形OACD是菱形∴AD⊥OC，OE＝EC＝eq\f(1,2)×8＝4∴BE＝4－3＝1又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(CE,AE)∴AE2＝BE·CE＝1×4∴AE＝2∴点A的坐标为(4，2)COAyxDBMNl:x＝nE把点A的坐标(4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－eq\f(1,2)∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(11,2)x－12（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M∴点M的坐标为(n，－eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－12)由（2）知，点D的坐标为（4，－2），则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝eq\f(1,2)x－4∴点N的坐标为(n，eq\f(1,2)n－4)∴MN＝（－eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－12）－（eq\f(1,2)n－4）＝－eq\f(1,2)n2＋5n－8∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝eq\f(1,2)MN·CE＝eq\f(1,2)（－eq\f(1,2)n2＋5n－8）×4＝－(n－5)2＋9∴当n＝5时，S四边形AMCN＝96、解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，设直线BG的解析式为，则，解得，∴，∴，解得，，∴点P（）或P（），（3）∵，∴对称轴，令，解得，，∴E（，0），故E、D关于直线对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，要使|QE-QC|最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴，当时，，故当Q在（）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=．7、解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，∴C（0，-3a），又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a），∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，∴-a=1，∴a=-1，∴C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3；（3）存在．由（2）得，E（-3，0），N（-，0）∴F（，），EN=，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=-m，EF==，MQ=OM=由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴=，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m=，m2+9m+=+（m+）2=m+=±∴m1=，m2=-，∴点M的坐标为M1（，），M2（，-）．8、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，∴，解得：，y=x+；（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2，∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，∴△ABC∽△CBM，∴，∴，∴PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）．9、解：（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m．∴直线ED的解析式为y=mx+m．将y=﹣（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣（x+m）2+m．∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠FDC=90°∴直线ED与⊙C相切．（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=m（3﹣m）S=﹣m2+m．当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m（m﹣3）．即S=m2_m．10、解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为。（2）①令，解得∴B（3,0）当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1,0），代入求得。∴直线AP的解析式为解方程组，得∴点当点P在x轴下方时，如图1设直线交y轴于点，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，∴综上所述，点P的坐标为：，②∵∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°α∵∠PCB=∠BCA∴∠PCB=45°α∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴，∴，∴OQ=9，∴∵直线CP过点，∴∴∴直线CP的解析式为。