2004年全国高中数学联赛模拟试卷

2004年全国 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学联赛模拟试卷2004年9月上中学生数学数学竞赛之窗?'^,^'^V'??^'.^'?.?'?.,^'造t金牌学校模拟试卷≥.?..^...?..?.,.?.?.^.,?..?.?.?.?.^.?.?.,,蓐国高中数学联赛模拟试卷嘏露湖北省黄冈中学(438000)肖平安数学奥林匹克在黄冈中学黄冈中学始创于1904年,是湖北省教育厅直属的重点中学,是一所在国内外都享有盛誉的学校.该校素以名师云集,治学严谨,人才辈出而着称.董必武,詹大悲,董毓华,胡风,严士健,舒德干等蜚声中外的政治家,革命家,文学家和科学家均先后在此执教和就读.多年以来,黄冈中学一直把培养素质全面,特长显着的创新人才作为办学目标,取得了显着成绩,就数学奥林匹克而言,已有46人次入选冬今营,18人入选国家集训队,6人入选国家队,荣获IM()4金2银1铜共7枚奖牌.作者简介肖平安,1970年12月生,湖北麻城市人,现为黄冈中学高级教师.数学奥林匹克竞赛主教练,教学教研成绩突出,曾荣获"黄冈中学教坛新秀","黄冈市劳动模范","全国优秀教练员"等荣誉称号,已累计发表论文8篇,出版竞赛用书两部,他指导的学生有4O人获国家一等奖,5人入选全国冬今营,其学生杨诗武入选2004年中国数学奥林匹克国家代表队,赴雅典参加第45届IMO,并取得金牌.-第一试一,选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (每小题6分,共36分)1.曲线for)一5sin(2z4-)与直线—z的交点个数是().(A)5(B)6(C)7(D)82.两条不垂直的异面直线口,b上,有4个不同的点A,B,C,D,其中AE口,BE口,CEb,DEb,对于下列两个命题:①直线AC与BD总是异面直线;②点A,B,C,D总是不能成为1个正四面体的4个顶点.其中,正确的命题是().(A)①(B)①②(C)②(D)①和②均不对3.用S与口分别表示区间[O,1)内不含数字9的位小数的和与个数.则limun的值一..J为().(A'3(B)5(c'7(D)导4.双曲线手一一1的一个焦点为F,顶点为A,A,P是双曲线上任意一点.则分别以线段PF,AA.为直径的两圆一定().(A)相交(B)相切(C)相离(D)以上情况均有可能().(A)口<(B)<口<(c)<口<(D)口>6.[(十)]的个位数字是().(其中[z]表示不超过z的最大整数).(A)6(B)7(C)8(D)9二,填空题(每小题9分,共54分)7.不等式1十2<3的解集是.8.如图,对A,B,C,D,E,F6块区域进丽文学竞赛之窗中学生数学2004年9月上行染色,每块区域只染1种颜色,相邻的区邻不同色,若共有4种颜色供选择,则共有种不同染色 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 .9.以O为球心,4为半径的球与三条相互平等的直线分别切于A,B,C三点,已知S△一4,S△加(,>16,则BAC等于.1O.若2+.y≥1,函数"一Y一2y+z.+4x的最小值为.11.已知函数厂(z),g()在R上有定义,且f(x一.y)二==厂()g(.y)一g(z)厂(.y),若厂(1)一厂(2)≠0,则g(1)+g(一1)一——.12.若0<a<sin0,0E[手,],求f(a,0)一sin.+——的最小值是5as1n一一a三,解答题(每小题2O分,共6O分)～2.213.椭圆f:+旨一1与直线z:x+2y一7相交于P,Q两点,点R的坐标为(2,5),当A,B为何值时,△PQR为等边三角形.3n(∈N)所确定的数列a.,a,a:…是递增的.15.已知函数f(x)一ax一1(n∈R,ER),集合A一{zl厂():z},B一{J厂(厂())一},且A=B≠0,求实数a的取值范围.加试试题(每题50分.合计150分)一,凸四边形ABCD内接于圆,其中A一60.,BC—CD一1,射线AB,DC相交于E,射线BC,AD相交F于F.已知:△BCE,△CDF的周长都是整数.求四边形ABCD的周长.二,已知a,b,C为实数,且三次方程.一圈ax.+bx—C一0有三个实根,试用a,b,C给出使三个实根为某三角形三边长的一个充要条件,并证明你的结论.三,某国学生参加城市联赛,每份试卷由6题组成,每题恰有1000个人做出来,若找不到两个人,使任何一题至少被两个人中的一个答出.试求参加比赛的人数的最小值.答案或提示第一试1.(C).看以下示意图:注意到的是5>百J.I丌,5>丌≈4.97,所以厶1厶有标出的7个交点.2.(B).①正确.假设直线AC与BD不是异面直线,则A,B,C,D四点共面,从而AB与CD不是异面直线,与题设相违.②正确.假设四面体ABCD为正面体,对棱AB与CD垂直,与题设异面直线a,b不垂直相违.3.(D).易知a一9,其中小数的第i位(i:1,2,…,n)上分别出现0,1,2,…,8的数各1有9个,则S=9一(1+2+…+8)×(+击+…+而1)一4×9一(1一面1).故蚤一一4(1一面1)FMOM线上一点,为左焦点,\取PF中点,则{l—_if—_;为圆心距,,.为两/I\2004年9月上中学生数学数学竞赛之窗÷lPF21.当P在双曲线的右支上时,lPFl—lPFl+2.,则loMl一上一..可见,以PF为直径的圆与以AA为直径的圆相内切;当P在双曲线的左支上时,由lPFl—lPF}一2a知两圆相外切.5.(C).显然a≠0,a≠1,有a+1一(a+1)(口ra2+1)一(口+1).—a5--a—3-~-a一(口291+1)?兰一2(a+).由上式易见口>0,故口+1>4,口>.另一方面由已知等式可导出+1一a2+>2,所以"<.6.(B).[+]一(+)+(一)一1—2∑c5.2一1—2(5+c:?2∞+10M)一1(M∈N一)■一10M+2一1(M∈N一).'.'2舢一24-3,末位数字为8..'.[(+)]的末位数字为7.7.{z【z>1}.不等式等价于(I)+(詈)<1,令厂()一(告)+(詈),则厂(z)为R上的减函数,又厂(1)一÷+号一1,故厂(z<厂(1)的解为37<1.4×3×2—24种染法.对其中任一种(不妨设A—aB—bC—C.另一颜色为),则D可染b,d,E可染C,d,F可染a,d.而D,E,F两两相邻,至多1个染d色,所以共有1+3—4种染法,所以不同染法有4×24—96种.9.57r.显然三个切点A,B,C在球0的同一个大圆上(如图).由s△肼一1×4×4sinBOC=4,1得sin~BOC一专?幽.?.B0C=Boc一.O若B0c一詈,则BAc一或BAc一_TIDr.这时,s△邶一AB?ACsin~BAC<Ix8x8xI一16,与已知矛盾..?.~BOC=/=6,则只有B0c一,从而BAc一57r或77r.~BAC=,则△ABc为钝角三角形,Szx~c<Bc?0lA<×8×4—16,与已知矛盾.故,只有BAc一.10.一÷.由"J一_y一2y+z+4x配方得(z+2)+(y一1)一"+5.因(z+2)+(_y一1)可看作点+y='¨_lGc4(_2J1).E∈O--1j2EP(x,_y)与定点(一2,1)的距离的平方.约束条件为2z+_y≥1表示P点在直线z:2x+_y一1的右上方区域G.于是,问题转化为求点A(一2,1)到区域G的最近距离.由图可知,点A到直线z的距离为A到区域G中点的距离的最小值.d—l:.一.√2+1√5.?.dz一,即盯5一16.oJ田数学竞赛之窗中学生数学2004年9月上qQ..."一一÷.即"的最小值为一÷.uLJf()g(")一g()厂(")一一If(u)g()一g(")_厂()]一--f(u--)一--f(x),...f(2)一厂[1一(一1)]一_厂(1)g(一1)一g(1)f(-1)一厂(1)g(一1)+g(1)厂(1):_厂(1)[g(1)+g(一1)]...._厂(1)一f(2)≠0,.'.g(1)+g(一1)一1.√(3sin.0一√Z～)一丽≤去sin2)√2√2+2n]导一2sin.O.~fiI)Af(n,)≥sin.+.由06[手,]得吉≤sin30~1,又由于函数—z+在[o,,/]内单调递减,从而f(a,)≥sins+≥3.当一号,n一1时等号可以取到.13.A一百77.设R在PQE的射影为H,则PH一1×2+2×5—7l,JRPI—IPQI一.+(一5)一().与z联立,解得P(,9-~s),Q(3+2d~-,),代入椭圆方程得A一,B===百77.一告.令一an,则+一一_耋_+专,两边减去告,得6一一1一一36+1一1一一3(易一i1),即数列{一}是公比为一号的等比数列,所以6一1一(bo--1)(一号)一(&.———一)(———i一),盘==2?6==2"(盘.———一)(一号)+÷?2,即n一(n.一1)c—s"+告?2(≥0),从而n一n一『(n.)c一号"+].设A一(一1),则n一一=2n[A(一3)+1].若n.>1,则A>o.对充分大的奇数有(号)>1,于是n<a,l1;若n.<1,则A%0?对充分大的偶数有(号)>一1,于是n<n一,综上所述,当a.≠时,n一--an_1一>0?n">nn一,即{nn}单调递增.15.A元素是方程a3~一1一z的实根,由A≠得n一.或l【△a~一=Ol+4≥.,即n≥一丢.设t∈A,则厂(￡)一t,所以厂(f(t))一厂(￡)一t,所以t∈B,从而AB.B中元素是方程a(ax一1)一1—32的实根,整理得a.32一2a32一32+a一1—0.①由AB知此式可因式分解,其中一个因—1,故有(ax一32—1)(a232+nz—a+1)一0,因此,要A—B,则方程a32+nz—a+1—0.要么没有实根,要么实根是nz一32—1一O②的实根.若①没有实根,则△一a一4a(1一a)<0,解得n<丢(当n一0时,式①也没有实根,这种情况包含在n<丢中).若式①有实根且式①的实根是式②的实根,则由式②有a.一nz+n(n≠0),代入式①有2ax+1—0,z一一,这时,式①的实根为z一zz一一号,2004年9月上中学生数学数学竞赛之窗式②的实根为一2,一一,满足A—B,综上所述,实数a的取值范围是一1,导].加试题答案一,由ABC+ADC一180.EBC+FDC一180.,易断EBC≠90.,否则若EBC一9O.,而ECB一A一6O.,BC=1,则ABCE周长一1+2+,/g一3+√3,与已知矛盾.从而可断EBC,FDC一为锐角,一为钝角.不妨设EBC<90.,作BK一-BC,K在射线CE上.易得RtAKBC的BK+KC=2+,fi.在ABCE中,EBC一EBF>A一6O.,BCE一A一6O.,.../BEC<●●/…6O.,从而有BE>KBC一1,EC>BC一1,.'.BE+EC>2;又易断BE+EC<BK+Kc一2+,/g,.'.2<BE+EC<2+,/g.'.'ABCE周长为整数,而BC一1,.'.BE+EC必为整数,可断BE+EC一3,设EC=m,则BE一3一m,注意ECB一6O.,...(3一m).=BE一BC.+EC一2?BC?EC?COSECB一1+一2?1??1=1+m一,解得Ec—一_詈_,BE=3一—7,此时一8sinCDF—sinCBE—EC一5—8sinDCFsinBCEBE77'5令CF=8n,则DF=7n,再用余弦 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 列方程:(7n).=DF=CF.+CD一2?CF?CD?COSDCF=(8n)+1一2?8n?1?1一(8,2)+1—8,2,解得,2一1或1..?.CF=8,2一詈或8,若CF=8=CE,9o.,与已知矛盾..?.CF=8,DF=号.设AD=,AB=,由△EcB∽△EADEC一8棚—=..?._8一;+①?'—十由△FcD∽△FAB一,即—一.+工.?.8=7+②解①,②联立方程:8=7.+37+)837.74991i——十一'.一91—13一一一'代人①一8b1,,3_b7+,.?.一11..'.四边形ABCD周长=AD+AB+BC+CD:++1+1:++2一.二,设已知三次方程的三个实根为,,.,则由根与系数关系得+:+.一a,l2+23+31b,123C.1,2,3是某三角形三边长铮1,2,3f+z>3j∈R一,且{z+xs>【3+1>2.显然1,2,3∈R—a,b,C∈R.卜.下用反证法证明a,b,C∈R1,2,3∈R一.首先,由123一C>0知,1,2,3∈R或1,2,3一正二负.若,:,.一正二负,由对称性,不妨设嘲数学竞赛之窗中学生数学2004年9月上1>0,2<0,3<0.'.'I+2+3一n>0,..1>一2～3,进而l(2+3)<一(2+3)..于是b—I(2+3)+23<一(2+3)+23一一i—2一i一一(2+)一4i<0,导致矛盾.只能1,2,3∈R一.f1+2>3fa一2x3>02+3>I舒&一2x1>0l3+l>2la一2x2>0=>(a～2x1)(a一2x2)(a一2x3)>0.下用原证法证明(a～2x)(a一2x)(a—f&一23>O2x3)>0a一2xl>0lla一2x2>0.由条件可知"一2x1,a一2x2,a～2x3∈R一或一正二负.若一正二负,由对称性不妨设a一2x>0,a一2x<0,a一2x.<0,将后两个不等式相加,得2&一2(.+.)<O,即2x<O,矛盾.于是断言得证:(a一2x)(a一2x.)(a一2x3)一a.一2(1+2+3)a+4(1dC2+2+31)a一8x123=一a.+4ab一8c,.'.综上所述,给出的充分条件是",b,C∈R一.且一n.+4口6—8f>O.三,最少有2000人参加比赛.(1)首先证明2000个人参加比赛是可以的,定义三元数组(,J,志)表示答对第i,J,k题(1≤,J,志≤6).考虑10个三元数组(1,2,3),(3,5,6),(1,2,5),(3,4,5),(1,3,4),(2,4,6),(2,3,6),(1,4,6),(1,5,6),(2,4,5)满足:①任两个数恰出现5次.②每个数恰出现5次.将每个三元数组对应于200个人的答题情况,则可知满足题目所有条件恰有2000人.(2)证明不能少于2000人.设答对题最多的人为A,设A答对k题.①k:6,则A全部答对,与条件矛盾!②k一5,不妨设A答对1,2,3,4,5,则由题知存在B答对第6题,则A与B答对所有题,矛盾!③k=4,不妨设A答对1,2,3,4,则不存在B既答对5,又答对6,又'.答对5,6的共2000人,再加上A,至少有2001人!④k一3,则每人至多答对3题,而每题有1000人答对,.?.至少有一2ooo()k).0.'.2000人为所求最小值.口◆『III◆IIII◆】II●II◆IIII◆ll◆II,◆I¨I●iI『◆II◆…◆II◆『…◆I『◆◆I『◆◆●II●I◆…◆i◆◆◆◆●I…◆◆◆◆I¨◆¨◆I◆II◆?II◆II◆I◆I●◆Ii◆¨◆I◆◆(上接第20页)量为20库仑,现将小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电量,使其恢复为100库仑,求小球能获得最大电量.解析小球与大球接触后,两球所带电量91,之比为一而兰=_一寺,其中是由两球的形状 决定 郑伟家庭教育讲座全集个人独资股东决定成立安全领导小组关于成立临时党支部关于注销分公司决定 的.设q,q,…,q和Q,Q2,…,Q分别表示第1,2,…,次接触后,小球与大球的带电量,则有q=20,Q1—100～20==80.所以qn:qn1:…一一一1,解得:一1=~[100一(一q一)],圜即一÷q4-20,1所以q=2511一(÷)].所以q…=litnq=lim2511一(÷)]==25(库仑).(责审张思明)欢迎给《数学谜语》撰稿31.谜面或谜底与数学有关;33本刊编辑部g