青岛版数学八年级上册专题突破讲练：利用三角形知识解决问题

年级八年级学科数学版本通用版课程标题利用三角形知识解决问题编稿老师董志臣一校吕丽娟二校黄楠审核郭莹一、综合掌握三角形各样性质、定理三角形中的重要性质、定理：作用：高垂直对边、角平分线平三种重要线段高、角平分线、中线分的角相等，中线平分对边随意两边之和大于第三边；任三角形中，两边长分别是3、5，三角形三边的关系意两边之差小于第三边。则周长的取值范围是多少？三角形的内角和、外角一内角为80度，请判断该三角形内角和180度，外角和360度和的形状？成立相应的数学 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 1）方程思想的应用。列方程解决三角形中有关的角和面积的问题。2）分类议论的思想。根据题目分类型议论可能发生的不同情况。3）转变的思想。将复杂图形转变成简单图形求解。4）由特殊到一般的思想。总结规律性的内容。二、对于协助线的运用当前所学增添的协助线主要有两种：作平行线，利用平行关系求角度。如三角形内角和定理的证明。2.结构三角形，利用内、外角关系解题。如图，∠A=α，∠B=40°，∠C=20°，∠O=4α，则α=度。可延伸BO与AC相交，将问题转变为三角形的问题。 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 概括：内、外角关系的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 应注意以下几点：（1）使用方程和不等式协助解题的时候，以下注意计算的正确性以及根据比率或倍数所设的未知数间的倍数关系。（2）各个性质及定理在使用的时候要抓住定理的重点点，比方外角关系中重要的是“不相邻”、多边形的定义要强调“在同一平面内”。（3）数学思想的成立也不是一两节课、一两道题所能形成的，要经过不断的练习和总结，同学们才能形成这种基本思想。技巧概括：第1页总结：总结规律类习题注意探究前面所形成的数字或图形的规律，找到相同点，此为规律中1.认的共同内容，不同点则要寻找变化规律。真审分类议论类习题多方位考虑问题，画出明确图形，选择正确结果，题，充总结结论类习题注意研究前面含有详细数据的结论是否有变化，再总结最终结论。分理求较复杂图形中多个角的度数和的问题。解各定义、性质、定理，经过已知条件寻找与所学知识的联系。灵活运用协助关系，适合增添协助线，将复杂图形转变为所学内容进行解题。例题1如图，平原上有A、B、C、D四个乡村，为解决当地缺水问题，政府准备投资修筑一个蓄水池，不考虑其他因素，请你绘图确定蓄水池H点的地点，使它与四个乡村的距离之和最小。解析：水池只有建在四边形ACBD对角线的交点处才切合要求，取随意一点Ｐ，由三角形任意两边之和大于第三边可推导出结论。答案：解：连结AC、BD交点即为所求Ｈ点，任取一点Ｐ，连结AP、CP、DP、BP，则AP+CP>AC，BP+DP>BD，当Ｐ在AC、BD交点时，到四个极点距离和最小。即H点在AC、BD的交点时，它与四个乡村距离之和最小。点拨：此题是三角形三边关系在实际生活中的应用，注意最小距离和的条件。例题2已知a，b，c是△ABC的三条边，化简下列式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|=。解析：要化简式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|的值，就要知道它们的绝对值里的数是正数仍是负数，根据三角形三边的关系：随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边可知。答案：解：∵a-b-c＜0，a+b-c＞0，a-b+c＞0。|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|=-（a-b-c）-（a+b-c）+（a-b+c）=3c-a-b。故答案为：3c-a-b点拨：此题考察了三角形的三边关系，随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边，难度适中。由特殊值总结结论型习题总结结论类的习题一般题当前面会给我们一定的特殊值进行计算，然后根据多个不同数值的计第2页算，总结出一般性的结论。注意掌握：1）利用所学知识点经过数据进行基本计算，将不同数据的计算结论相比较，从中寻找一般性的结论；2）结论的 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 过程，也就是将前面的计算过程中数据的详细值变换成字母表示。3）总结出的一般性结论，能够用来作为公式或定理使用，推广到同类习题的填空、选择习题中使用。例题如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点。PE⊥AD交直线BC的延伸线于点E。（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，则∠ADC=度，∠E=度；（2）若∠B=58°，∠ACB=102°，则∠ADC=度，∠E=度；3）若∠B=m°，∠ACB=n°，且n＞m，请用含m、n的式子表示∠ADC、∠E的度数。（写出结论即可，不需要证明）解析：（1）由AD平分∠BAC，获得∠BAD=∠CAD=1∠BAC，根据三角形的内角和定理求出12∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，根据三角形的外角性质获得∠ADC2的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠E的度数；（2）和（3）的解法与（1）的求法近似，即可求出答案。答案：解：AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∠BAC，21）∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠CAB=80°，∴∠BAD=1×80°=40°，2∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+40°=70°，PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°-70°=20°，第3页故答案为：70，20。（2）∵∠B=58°，∠ACB=102°，与（1）解法近似求出∠ADC=68°，∠E=22°，故答案为：68，22。（3）∠ADC的度数是180mn，∠E的度数是nm。22运动变化型习题本类习题是将习题的图形进行不同地点的改变，图形本身所拥有的基本已知条件发生一定的改变，但结论不随图形的变化而变化，不要被图形的地点变化所影响，应做到以下几点：仔细读题，弄清习题的条件和要求。充分联想回想所学过的知识和题型，看和我们掌握的哪部分内容有关系。从各个不同的角度剖析题意，不要被运动变化所影响。适合的增添协助元素。例题（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰巧三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、△ABC中，∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=度，∠XBC+∠XCB=度；（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ的地点，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，恳求出∠ABX+∠ACX的大小。解析：（1）在△ABC中，利用三角形的内角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出∠ABC+∠ACB；同理，在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=180°-∠BXC，即可求出∠XBC+∠XCB的值；（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=40°，进而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于140°，同理，在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，即等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值也不变，等于140°-90°=50°；答案：（1）140，90。解：（2）不发生变化。∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，（三角形内角和等于180°）∵∠YXZ=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，（三角形内角和等于180°）∴∠ABX+∠ACX=140°-90°=50°。（答题时间：45分钟）第4页一、1.在一个三角形中（）A.一定有一个角等于60°B.一定有一个角大于60°C.一定有一个角小于60°D.起码有一个角不小于60°2.如方形中的阴影部分，左的面（）右的面.A.＞B.＜C.=D.无法确定*3.如，把△ABC片沿DE折叠，当点A落在四形BCED的外部，∠A与∠1、∠2之保持一种数量关系始不，着找一找个律，你的律是（）A.∠A=∠1-∠2B.2∠A=∠1-∠2C.3∠A=2∠1-∠2D.3∠A=2（∠1-∠2）4.三角形内部有2019个点，将2019个点与三角形的三个点接，将三角形切割成互不重叠的三角形共有（）个。A.2019B.4026C.4027D.40285.如，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，PO⊥CD，∠ABO＝40°，下列：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF。其中正确的有（）A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④二、填空*6.如，∠ABD、∠ACD的角平分相交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，∠P的度数。*7.如，在△ABA1中，∠B=20°，∠A=∠AA1B，在A1B上取一点C，延AA1到A2，使得∠A1A2C=∠A1CA2；在A2C上取一点D，延A1A2到A3，使得∠A2A3D=∠A2DA3；⋯，按此做法行下去，∠An的度数_________。8.将中三角形片按照虚方向折叠，原三角形面是个形面的1.5倍。已知中三个阴影三角形面之和1，那么原来三角形的面是。三、解答如，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点。将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC上的B′，求∠ADB′是多少度？*10.探究：（1）如①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？什么？第5页（2）把①△ABC沿DE折叠，获得②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C（填“＞”“＜”“）=”，当∠A＝40°，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝_________。（3）如③，是由①的△ABC沿DE折叠获得的，如果∠A＝30°，x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝，猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系。11.如，O是△ABC的三条角平分的交点，OG⊥BC，垂足G。1）猜想：∠BOC与∠BAC之的数量关系，并明原因；2）∠DOB与∠GOC相等？什么？12.如1，在平面直角坐系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜AB与y交于点C。1）若∠A=∠AOC，求：∠B=∠BOC；2）如2，延AB交x于点E，O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分交FO的延于点P，∠A=40°，当△ABOO点旋（斜AB与y正半始相交于点C），∠P的度数是否生改？若不，求其度数；若改，明原因。1.D解析：A.不一定，比如：90°，45°，45°；B.有可能是两个，比如：70°，70°，40°；C.不一定，比如：60°，60°，60°；D.正确。故D。C解析：两个阴影部分加上下面的空白三角形是同底等高的两个三角形，面相等。3.B解析：接AA'∠DAE=∠DA'E（它是同一个角），∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠BAA'+∠DA'A=∠DA'E+∠EA'A+∠DAE+∠EAA'=2∠DAE+∠2=2∠A+∠2，即2∠A=∠1-∠2。C解析：因此点数多，就要求我找律，能够通画来找律：通画，当点数1，三角形的个数3；当点数2，三角形的个数5；当点数3，三角形的个数7，⋯⋯，当点数n，三角形的个数2n+1。画如下：1）①中，当△ABC内只有1个点，可切割成3个互不重叠的小三角形。（2）②中，当△ABC内只有2个点，可切割成5个互不重叠的小三角形。（3）③中，当△ABC内只有3个点，可切割成7个互不重叠的小三角形。（4）根据以上律，当△ABC内有n（n正整数）个点，能够把△ABC切割成（2n+1）个互不重叠的三角形。因此，三角形内部有2019个点，可将三角形切割成互不重叠的三角形的个数：2n+1=2×2019+1=4027（个）。故C。第6页5.B解析：根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数，即可对①②③④进行判断。解：①∵AB∥CD，∴∠BOD=∠ABO=40°，∴∠COB=180°-40°=140°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∠COB=1×140°=70°。22②∵PO⊥CD，∴∠POD=90°，又∵AB∥CD，∴∠BPO=90°，又∵∠ABO=40°，∴∠POB=90°-40°=50°，∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，∠FOD=40°-20°=20°，∴OF平分BOD。③∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°，∴∠POE=70°-50°=20°，又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，∴∠POE=∠BOF。④由②可知∠POB=90°-40°=50°，FOD=40°-20°=20°，故∠POB≠2∠DOF。应选B。20°解析：利用角平分线的性质计算。延伸DC，与AB相交于点E。根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD-∠ABD=60°。设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+1∠ACD=∠A+1∠ABD，即∠P=50°-1222（∠ACD-∠ABD）=20°。7.解析：∵在△ABA1中，∠B=20°，∠A=∠AA1B，∴∠BA1A===80°，∵∠A1A2C=∠A1CA2，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠An=。故答案为：。3解析：设折叠后空白部分的面积是s，则折叠后图形的面积=s+s阴影，折叠前的三角形的面积=2s+s阴影，∵原三角形面积是折叠后图形面积的1.5倍，∴2s+s阴影=1.5（s+s阴影），∴s=1，∴s△=2s+s阴影=2+1=3。9.解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°。10.解：（1）根据三角形的内角和是180°，可知：∠1+∠2=180°-∠A，∠B+∠C=180°-∠A，∴∠1+∠2=∠B+∠C；（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，第7页∴∠1+∠2=∠B+∠C；当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140°×2=280°；3）如果∠A=30°，则∠BDA+∠CEA=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A。解：（1）∠BOC＝90°＋1∠BAC2AD、BE、CF是角平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝1（∠ABC＋∠ACB）＝1（180°－∠BAC）2290°－1∠BAC2∴∠BOC＝180°－（90°－1∠BAC）＝90°＋1∠BAC222）∠DOB与∠GOC相等，原因如下：∠DOB=∠EBA+∠BAD，DOB=1（∠ABC+∠BAC）（角平分线）2GOC=180°-90°-∠OCG，BOD＝∠COG12.（1）证明：∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°，∵∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC；2）解：∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，∴∠A=∠DOB，又∵∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，∴∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA，∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，∴∠A=30°；（3）∠P的度数不变，∠P=25°。原因如下：∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，又∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM=45°-1∠AOC①，∠PCO=1∠A+1∠AOC②，①+②得：222PCO+∠FOM=45°+1∠A，∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）2=180°-（45°+1∠A+90°）=180°-（45°+20°+90°）=25°。2第8页