首页 高中数学思想专题讲座形结合的思想方法(1)应用篇

高中数学思想专题讲座形结合的思想方法(1)应用篇

举报
开通vip

高中数学思想专题讲座形结合的思想方法(1)应用篇数形结合的思想方法(1)---应用篇知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法,简言之...

高中数学思想专题讲座形结合的思想方法(1)应用篇
数形结合的思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (1)---应用篇知识要点概述数与形是 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法,简言之,就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法,称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。解题方法指导1.转换数与形的三条途径:①通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。②转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 等。2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法:①“由形化数”:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的数量关系,反映几何图形内在的属性。②“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征。③“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。数形结合的思想方法的应用解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的. 1.与斜率有关的问题【例1】已知:有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(-1,1),Q(2,2).若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交,求实数m的取值范围.  解:直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式:y+1=-(x-0),易知直线l过定点M(0,-1),且斜率为-. ∵l与PQ的延长线相交,由数形结合可得:当过M且与PQ平行时,直线l的斜率趋近于最小;当过点M、Q时,直线l的斜率趋近于最大.  【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后,可看出交点M(0,-1)和斜率-.此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围. 2.与距离有关的问题【例2】求:y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最大(小)值.【分析】可看成求两动点P(cosθ,sinθ)与Q(cosα-3,sinα+2)之间距离的最值问题. 解:两动点的轨迹方程为:x2+y2=1和(x+3)2+(y-2)2=1,转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图:  3.与截距有关的问题【例3】若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,求k的取值范围. 解:曲线x=是单位圆x2+y2=1的右半圆(x≥0),k是直线y=x+k在y轴上的截距.  由数形结合知:直线与曲线相切时,k=-,由图形:可得k=-,或-10,且f(x)·g(x)有最小值-5.则函数y=f(x)·g(x)在区间[-b,-a]上( ). A.是增函数且有最小值-5     B.是减函数且有最小值-5     C.是增函数且有最大值5     D.是减函数且有最大值5 【解析】f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)·g(x)]′>0. ∴y=f(x)·g(x)在区间[a,b](aax的解集是{x|0ax的解集是{x|01.  y1=(x-1)2过(2,1)点,当y2=logax也过(2,1)点,即a=2时,恰有y10),那么不等式xf(x)<0的解集是( ). A.{x|0a}     C.{x|-a0),可得到f(x)图象,又由已知xf(x)<0,可知x与f(x)异号,从图象可知,当x∈(-a,0)∪(a,+∞)时满足题意,故选B.【例12】设函数f(x)=2,求使f(x)≥2的取值范围.  【解法1】由f(x)≥2得2≥2=2.   易求出g(x)和h(x)的图象的交点立时,x的取值范围为[,+∞). 【解法3】由的几何意义可设F1(-1,0),F2(1,0),M(x,y),则,可知M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的右支,其中右顶点为(,0),由双曲线的图象和x+1-x-1≥知x≥.【点评】本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义,让不等式的解集直观地表现出来,体现出数形结合的思想,给我们以“柳暗花明”的解题情境.(四)运用数形结合思想解三角函数题 纵观近三年的高考试题,巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题,可以简化计算,节省时间,提高考试效率,起到事半功倍的效果. 【例13】函数f(x)=sinx+2sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点,则k的取值范围是   . 【分析】本题根据函数解析式,画出图象,可以直观而简明地得出答案,在有时间限制的高考中就能大大地节约时间,提高考试的效率.  解:函数f(x)=由图象可知:1.再令α=,则sin+cos=≈1.366,tan=≈1.732>1.367,由图象知xP应小于.故选C. 【点评】本题首先构造函数f(x),g(x),再利用两个函数的图象的交点位置确定α>,淘汰了A、B两选项,然后又用特殊值估算,结合图象确定选项C,起到了出奇制胜的效果.【例16】已知函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当01时,关于x的方程ax=logax无实解.”正确与否. 错解:在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax的图象(a>1)(如图1),可见它们没有公共点,所以方程无实解,命题正确.  【评析】实际上对不同的实数a,y=ax和y=logax的图象的延伸趋势不同.例如当a=2时,方程无实数解;而当a=时,x=2是方程的解.说明两图象向上延伸时,一定相交,交点在直线y=x上.2、注意图象伸展“速度”【例20】比较2n与n2的大小,其中n≥2,且n∈N+. 错解:在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2的图象(如图2). 由图可知,两图象有一个公共点. 当x=2时,2x=x2; 当x>2时,2x2,且n∈N+时,2nn2.错因是没有充分注意到两个图象在x≥2时的递增“速度”!要比较两个图象的递增速度,确实很难由图象直观而得.本题可以先猜想,后用数学归纳法证明.本题的正确答案是 当n=2、4时,2n=n2; 当n=3时,2nn2. 证明略.3、注意数形等价转化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有两个实数在-1与3之间,求k的取值范围.  错解:令f(x)=x2+2kx-3k,结合题意画出图象3中的(1),再由图象列出不等  解略.【评析】事实上,不等式组(*)并不与题意等价,图象3中的(2)也满足不等式组(*),但两实根均大于3,还可以举出两实根均小于-1的反例.若不等式组(*)与图3中的(1)等价,需加上条件-3b>0)有四组实数解,求a、b、m应满足的关系. 错解:已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程,原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点.由图4知,m<-b,且0时的示意图.  视角二:由m≠0,先将原方程变形,得x-1=x,再视方程x-1=x两边的代数式为两个函数,分别画出函数y=x-1,y=x的图象(如图2),由图易看出:  当0<<1或-1<<0,即m<-1或m>1时,图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根. 视角三:用分离参数法,先将原方程化为=m. 分别作出函数y=,y=m的图象(如图3),由图易看出,当m<-1,m>1时,两函数的图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根.  视角四:用分离参数法,先将原方程化为. 当x>0时,得1-=,当x<0时,得-1-=. 分别作出函数y=,y=的图象(如图4),由图易看出,当0<<1或-1<<0,即当m>1或m<-1时,两函数的图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根.  可见,例1的各解虽同是数形结合,但大有简繁之分,视角二优于视角一,视角一中两函数中的都含有m,因而他们的图象也是变化的,虽可以通过讨论而获得结论,但讨论时容易因考虑不周而产生漏解,视角三虽看图直观明了,但图象不易作出,而视角四既比视角三作图方便,又比视角二简单,不用讨论,这是因为视角二还有一个函数中含有m,而视角四中已不含m,所以这里以视角四为最理想. 【例24】已知函数f(x)=ax2+bx且2≤f(1)≤4,1≤f(-1)≤2,求f(-2)的取值范围.这是我们常出错的题,其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等,而众所周知的数形结合法是线性规划法. 这类问题可看作一个条件极值问题,即变量a、b在 2≤a+b≤4   ① 1≤a-b≤2   ② 这两个约束条件下,求目标函数y=4a-2b的最大(小)值问题.约束条件2≤a+b≤4,1≤a-b≤2的解集是非空集,在坐标平面上表示的区域是由直线:a+b=4,a+b=2,a-b=2,a-b=1所围成的封闭图形(图5中的阴影部分).  y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小,从图中易知当直线b=2a-y经过A(,),C(3,1)时截距分别为最小f(-2)=5和最大f(-2)=10. 所以5≤f(-2)≤10. 其实还可有如下数形结合法:  要求f(-2)的取值范围,只要确定f(-2)的最大(小)值,即找到f(x)的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标,为此只要确定f(x)经过E、F时的函数表达式,由于f(x)=ax2+bx是经过原点(c=0)的抛物线系,所以只要再有两点就可确定,由已知2≤f(1)≤4,1≤f(-1)≤2,知f(x)在x=1时的最高点B(1,4),最低点A(1,2),f(x)在x=-1时的最高点D(-1,2),最低点C(-1,1),(如图6),由抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过O、B、D的图象C2,经过E点的图象就是经过O、A、C的图象C1,于是: 将B(1,4),D(-1,2)坐标代入f(x)=ax2+bx得  解得a=3,b=1. 故图象经过O、B、D的函数为C2∶f(x)=3x2+x,所以 fmax(-2)=10. 将A(1,2),C(-1,1)的坐标代入f(x)=ax2+bx得  故图象经过O、A、C的函数为C1∶f(x)=x2+x,fmin(-2)=5. 所以5≤f(-2)≤10.【例25】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k,求证:aB+bC+cA
本文档为【高中数学思想专题讲座形结合的思想方法(1)应用篇】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享,如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服,我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
下载需要: 免费 已有0 人下载
最新资料
资料动态
专题动态
is_598372
暂无简介~
格式:doc
大小:454KB
软件:Word
页数:13
分类:企业经营
上传时间:2018-11-18
浏览量:0