定积分与微积分大体定理

定积分与微积分大体定理一、选择题1．与定积分∫3π01－cosxx相等的是()．d3πx3πx∫0sin2dx∫0sin2dxD．以上结论都不对∵1－cosx＝2sin2x3π1－cosxdx＝解析2，∴∫0∫03π2|sinx|dx＝2∫03π|sinx|dx.22答案B2.已知f(x为偶函数，且6f(x)d＝，那么6－6f(x)d＝())x8x0A．0B．46C．8D．16解析6d＝2f(x)d＝×＝－6f(x)xx2816.0答案D3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，那么此物体达到最高时的高度为()．mmmm解析v＝－2＝，2－t2103210t＝，t(40)dt＝40t－t0＝×－×8401002103402031603(m)．答案A．一物体以v＝＋(单位：ms的速度自由下落，那么下掉队第二个4s内通过4/)的路程是()A．260mB．258mC．259mD．m解析8d＝＋8＋×－×－×＝＋－－＝＝×＋t46481645226.4答案D5．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()．B．4D．6解析由y＝x及y＝x－2可得，x＝，因此由y＝x及y＝x－2及y轴所围成44231216的封锁图形面积为(x－x＋2)dx＝3x2－2x＋2x|40＝3.0答案Cn1i2，n∈*12x，那么a，b的大小关系是．．已知a＝N，b＝x()6nndi＝10ab．a＝bA．>Bab．不确信C．<D答案A7．以下积分中e124－x2①xdx；②2－2xdx；③πdx；10cos2x④∫0x，积分值等于1的个数是()．22cosx－sinxdA．1B．2C．3D．4e1x1e＝1，解析①1xdx＝ln222－2xdx＝2x－2＝0，③4－x21122πx＝π(π2＝，0d4)1πcos2x1π④∫202cosx－sinxdx＝2∫20(cosx＋sinx)dx1π2(sinx－cos)|20＝1.答案C二、填空题8．若是10N的力能使弹簧紧缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，那么力所做的功为______．解析＝，得错误!d＝J．由F(x)kxk＝100，F(x)＝100x，100xx()答案J1所围成的图形的面积为．曲线y＝与直线y＝x，x＝2____________．9x3答案2－ln2．假设k(2x2d＝，那么k等于_________．10－3x)x00解析k2d＝kd－k2d＝2k3k2－3＝，2xx－x＝kk(2x－3x)xx3xx000000k＝0或k＝1.答案0或111．2|3－2x|dx＝________.132x＋3，x≤2，解析∵|3－2x＝|3x－，x＞，232233∴|3－2x|dx＝∫21(3－2x)dx＋22(2x－3)dx1x－x23231＝3|21＋(x－3x)|22＝2.答案1212．抛物线y＝－x2＋x－3及其在点A和点B处的切线所围成图形的4(1,0)(3,0)面积为________．解析如下图，因为y′＝－2x＋，y′|x＝1＝，y′|x＝3＝－，两切线方程为y422＝2(x－1)和y＝－2(x－3)．y＝2x－1，由得x＝2.y＝－2x－3因此S＝2[2(x－1)－(－x2＋x－3)]dx＋3[－2(x－3)－－x2＋x－3)]dx4(412＝2x2－x＋1)dx＋3(x2－6x＋9)dx(212＝1x3－x2＋x12＋1x3－x2＋x2323339＝3.答案23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，若是落在每一个区域的豆子数与那个区域的面积近似成正比，试估量落在图中阴影部份的豆子数．解析区域Ω的面积为S1＝16.图中阴影部份的面积213232S2＝S1－2－2xdx＝16－3x－2＝3.设落在阴影部份的豆子数为m，mS2由已知条件＝，900S1900S2即m＝S1＝600.因此落在图中阴影部份的豆子约为600粒．14．如下图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部份，求k的值．解析抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，因此，抛物线与x轴所围图形的面积＝1－2＝x21x311(xx)dx2－30＝S6.0y＝x－x2，又y＝kx，由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，因此，S1－k22＝∫0(x－x－kx)dx1－k2131－k＝2x－3x016(1－k)3.1又知S＝6，因此(1－k)3＝12，313于是k＝－412＝1－2.．曲线C：y＝x3－x2－x＋，点P1，0，求过P的切线l与C围成的图形1523212的面积．解析设切点坐标为(x0，y0)y′＝6x2－6x－2，2则y′|x＝x0＝6x0－6x0－2，2100x－，切线方程为y＝(6x－6x－2)2则y0＝(6x20－6x0－2)x0－1，2即2x30－3x20－2x0＋1＝(6x20－6x0－2)x0－1.22整理得x0(4x0－6x0＋3)＝0，解得x0＝0，那么切线方程为y＝－2x＋1.y＝－2x＋1，解方程组y＝2x3－3x2－2x＋1，x＝，3得0或x＝2，y＝1y＝－2.由y＝x3－x2－x＋1与y＝－x＋1的图象可知2322S＝∫3－x＋－32－x＋x0[(1)(2x－x1)]d223230x3＋x2x＝27＝∫2(－23)d32.已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且00，得x0>1或x0<－1；由g′(x0)<0，得－10，g1<0，m＋，即4>0即－m4<<4.m－4<0，故实数m的取值范围是(－4,4)．