小学奥数之容斥原理

....word.zl.容斥原理〔一〕【例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析】例1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？   分析与解：阴影局部是直角三角形，是两个图形的重叠局部，它的面积是：   〔平方厘米〕    方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一：〔平方厘米〕   方法二：〔平方厘米〕   方法三：〔平方厘米〕   答：盖住桌面的面积是67平方厘米。例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？   分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数〔人〕。   也可以这样解：〔人〕   或〔人〕   答：两组都参加的有5人。例3.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？   分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。   〔人〕   〔人〕   答：既不会骑车又不会游泳的有9人。例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？  分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的局部，图中的3人是三个重叠的局部，要从三个组的总人数中减去重复多余的局部。   〔人〕  答：这个年级参加课外小组的有60人。例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未到达优秀，其他人至少有一项为哪一项优秀，下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 是得优秀的情况，请你算出全班人数。短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项19212091063   分析与解：根据题意画出如下列图    要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项到达优秀的人数，加上三项都未到达优秀的，就是全班人数。   〔人〕   〔人〕   答：全班有42人。例6.分母是105的最简真分数有多少个？   分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105，只能是1—104中的自然数，而且分子与105要互质。因为，所以分母不能是3的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。   能被3整除的数：〔个〕   能被5整除的数：〔个〕   能被7整除的数：〔个〕   能同时被3和5整除的数：   能同时被3和7整除的数：   能同时被5和7整除的数：   〔个〕   〔个〕   答：分母是105的最简真分数有48个。【模拟试题】〔答题时间：30分钟〕1.有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？2.某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75名，既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名？3.某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人？4.六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？5.在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个？容斥原理〔二〕【例题分析】例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次到达优秀。第一次到达优秀的有10人，第二次到达优秀的有13人，第三次到达优秀的有15人，三次都到达优秀的只有1人。只有两次到达优秀的有多少人？   分析与解：“每人至少有一次到达优秀〞说明没有三次都没到达优秀的。要求只有两次到达优秀的人数，就是求重叠两层的局部〔图中阴影局部〕。   〔人〕   答：只有两次到达优秀的有11人。例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？   分析与解：根据题意画图。   方法一：〔人〕   方法二：〔人〕   答：共有10个小朋友去了冷饮店。例3.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。有8人没参加跑的工程，参加投掷工程的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？   分析与解：“每人至少参加两项比赛〞说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下列图中参加一项的区域用0表示。   〔人〕   答：只参加跑和投掷两项的有3人。例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。教师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。   分析与解：根据条件画出图。   三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：   整理后得：   由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。   答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。例5.某班同学参加升学考试，得总分值的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科总分值者8人，数学、语文两科总分值者7人，语文、英语两科总分值者9人，三科都没得总分值者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？   分析与解：根据题意画图。   设三科都得总分值者为x   全班人数   整理后：全班人数＝39＋x   39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得总分值的同学，因而x中的人数一定不超过两科得总分值的人数，即且，由此我们得到。另一方面x最小可能是0，即没有三科都得总分值的。   当x取最大值7时，全班有人，当x取最小值0时，全班有39人。   答：这个班最多有46人，最少有39人。【模拟试题】〔答题时间：30分钟〕1.六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订?少年报?，有的人订?数学报?，两种刊物都订的有多少人？2.小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表〔单位：平方米〕XX居室门厅厨房厕所总面积小明14128438小龙20128444   他们住的一套房子共有多少平方米？3.某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。4.某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？