二倍角、三角
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数典型例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
例1．已知的值．解：由已知得：由已知条件可知例2．如图，在四边形中，，·＝1，．DCBA⑴求的长；⑵求四边形的面积；⑶求的值。解：⑴由条件，得。∵·＝1，∴。∵，∴。 ∴。故。 ⑵由⑴得。∴。 ∴。∵，∴。∴。故。⑶在中，，∴。又∵，故。例3.已知函数f(x)＝2coseq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))).(1)设θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且f(θ)＝eq\r(3)＋1，求θ的值；(2)在△ABC中，AB＝1，f(C)＝eq\r(3)＋1，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，求sinA＋sinB的值．解：(1)f(x)＝2eq\r(3)cos2eq\f(x,2)－2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\r(3)(1＋cosx)－sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\r(3).由2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\r(3)＝eq\r(3)＋1，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).于是x＋eq\f(π,6)＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以x＝－eq\f(π,2)或eq\f(π,6).(2)因为C∈(0，π)，由(1)知C＝eq\f(π,6).因为△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)absineq\f(π,6)，于是ab＝2eq\r(3). ①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b.由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,6)＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7. ②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝2.))于是a＋b＝2＋eq\r(3).由正弦定理得eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,1)＝eq\f(1,2)，所以sinA＋sinB＝eq\f(1,2)(a＋b)＝1＋eq\f(\r(3),2).例4.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0＜α＜x＜π.(1)若α＝eq\f(π,4)，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为eq\f(π,3)，且a⊥c，求tan2α的值．解：(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋eq\r(2)(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx(0＜x＜π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t≤eq\r(2).则y＝f(x)＝t2＋eq\r(2)t－1＝(t＋eq\f(\r(2),2))2－eq\f(3,2)，－1＜t≤eq\r(2).∴t＝－eq\f(\r(2),2)时，ymin＝－eq\f(3,2)，此时sinx＋cosx＝－eq\f(\r(2),2).由于0＜x＜π，故x＝eq\f(11π,12).所以函数f(x)的最小值为－eq\f(3,2)，相应x的值为eq\f(11π,12).(2)∵a与b的夹角为eq\f(π,3)，∴coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝eq\f(π,3).∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋eq\f(π,3))＋2sin2α＝0.∴eq\f(5,2)sin2α＋eq\f(\r(3),2)cos2α＝0，∴tan2α＝－eq\f(\r(3),5).
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