2.5函数的连续性温度计一种是连续变化的情况4080120160x分y分20406080例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等.另一种是间断的或跳跃的ox0xy如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点x0处是连续的。一、函数的连续性:(在某一点处)3、（1）在x=1处有定义；（3）函数f（x）的极限不存在.12oxy2.54、（1）在x=1处有定义；（2）函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f（1）.21-101xy导致函数图象断开的原因：1、函数在处没有定义；2、函数在时极限不存在；3、函数在处的极限值和函数值不相等.21-101xy12oxy2.521-101xy一般地，函数f（x）在点x0处连续必须同时具备三个条件：1、存在，即函数在点x0处有定义；2、存在；3、.ox0xy定义：设函数f(x)在处及其附近有定义，而且则称函数f(x)在点处连续.“连续必有极限，有极限未必连续”例1、讨论下列函数在给定点处的连续性：(3)f(x)=x+1(x≥0)X-1(x<0)在x=0处；（4）f(x)=在x=2处，x=3处.练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：xyOaxyOaxyOaxyOaxyOaxyOa连续不连续连续不连续不连续不连续（1）（2）（3）（4）（5）（6）axyo（7）不连续axyo（8）连续二、函数的连续性：(单侧)并且,则称f(x)在点处右连续.如果函数在点处及其右侧附近有定义,xyOa并且,则称f(x)在点处左连续.如果函数在点处及其左侧附近有定义,xyOa类似地：例如:函数xyo-11如图，在点x=0附近，因而函数在x=0处是右连续，而非左连续.结论：函数在一点处连续的充要条件是既左连续又右连续.ox0xy三、函数的连续性:(区间)1、开区间内连续：如果f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b内连续，或f（x）是开区间（a，b）内的连续函数.2、闭区间上连续：如果函数在开区间内连续，在左端点处右连续，在右端点处左连续，就说函数在闭区间上连续.例如:函数在闭区间[-1，1]上连续，而函数在开区间（0，1）内连续，在闭间[0，1]上不连续，因为它在左端点x=0处不是右连续.练习2：利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续.不连续xyo连续连续连续从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低.对于任意，这时我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）.ox2x1baxy四、闭区间上连续函数的性质：性质:(最大值最小值定理)如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值.ox2x1baxy注:函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得.如函数在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值-1.xyo1-1-11再如:对二次函数y=ax2+bx+c来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值.本节小结：1、设函数f(x)在处及其附近有定义，而且则称函数f(x)在点x0处连续.2、f(x)在点x0处右连续:f(x)在x0处左连续:3、开区间内连续与闭区间上连续：4、结论：函数在一点处连续的充要条件是即左连续又右连续5、会用数形结合思想解某些数学问题
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