页眉PAGE\*MERGEFORMAT#/111求多元函数极限的方法【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言，极限是一道很难过的关，因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习，习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说，在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础，不管是函数连续性的验证，亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节，它就相当于一条线惯于始终，所以说学好极限是学好高等数学的一个起点。【1】【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设a0,a10,an1曳(a—a)求liman的3anan问题题目尽给出了第n项和第n+1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则nk!lim及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常nn!见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。1利用极限定义的思想观察函数的极限TOC\o"1-5"\h\z一、一，1一一211…例1、讨论当x—时函数y=xx的极限。我们列出了当x—时某些函数值，考祭22函数的变化趋势，如下
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所示。x0.4930.4960.4980.499…0.5010.5020.5030.505y0.7570.7540.7520.751…0.7490.7480.7450.7451121从列表可以看出，当x趋向于一时，y,就趋向于0.7,即x—时，y=xx的极限是22TOC\o"1-5"\h\z0.75。2、利用四则运算法则求极限cc2c例2(1)求lim(4xx)x1(2)limx22x解(2)lim22x1jjm(x21)1-lim(2x1)3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限例3求lxm0xSin解因为砰犯且.1Sin—x1，—-，1即sin—有界，所以xlimxx0.1Sin—x=04、利用两个重要极限求极限一,、1例4求hmxsin-lim(1-)x.1(sin—1,斛limxsin-=limx=1(因为xxxx-x令ux则当x时u所以lim(11x1—)x=lim(1-)xxulimu11-(11)uxTOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark142"\o"CurrentDocument"111也可以直接计算lim(1—)x=lim[(1-)x]1e1—xxxxe5、利用初等函数的连续性求极限例5求limlnsinxx一2解：点x05是初等函数f(x)lnsinx的一个定义区间(0,)内的点，所以limlnsinxxx一2lnsin—026、利用等价无穷小代换求极限例6求limx01cosxln(12x)解：当x0时，1cosx12-x,ln(12x)2x12x1cosx2所以limlim--0x0ln(12x)x02x7、利用罗比达法则求极限例7求limlnsin2xx0lnsin3x解:lnsin2xlim=limx0lnsin3xx0cos2x20n2j=limcos3xx03sin3xsin3xsin2xcos2x2cos3x38、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限3x2(x0)f(x)x21(0x1)求ljmf(x),l[mf(x)2(x1)x解：因为limf(x)=lim(3x2)limx0f(x)=lim(x02x1)=1limx0f(x)limx0f(x)所以limx0f(x)不存在因为lxmf(x)21利用极限的定义来验证极限的存在极限定义并未给出求极限的具体方法，但却可以验证极限的存在，而且它是研究理论问题的基本方法，用极限定义验证极限存在，一般需经过变形放大，由xnA或f(x)去寻找满足条件的充分大的正整数N或充分小的正数8或充分充分的正数X。比如：证明lim证明对0,要使x21x244x24|x2|因为xx2x2412min{min{1,12},时,总有x24xlim—2x2x22利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形比如求limx1x2x2此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式解：limF^lim(x32Mx32)=limx1xx2x1(x1)(x2)(“x32)x1(x2)(.x-^2)1123利用极限运算法则和无穷小的性质求极限比如求！im(Jx2xx)本题是“8-8”型的极限，先对分子有理化，可转化为一型将分子分母同时除以x的最高次哥变形后求解。2(.x2xx)(..x2xx)x斛lim(.xxx)=lim==lim—=xx(vx2xx)x(,xxx)在无穷小量的诸多性质中，常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极限。比如求limsne..一1sine解注意到sinen且lim^L0所以由无穷小的性质得limsn上0xn2xn2又比如求limx05x3ln(13x),2arctanx解当x0时，ln(13/x),3/x,arctanx2,x2所以limx05x3ln(1Vx)arctanx2=lxm05133xx2~"x4.2重要极限1lim(1-)1e，xm0(1~)e,lim(1xXq1f(x)严lim(1-^)f(x)exXqf(x)特征:①“1”型②底数中要转化为有“1”的形式逡1”的后面的变量与哥指数互为倒12比如求lim(cosx)xx01斛lim(cosx)x(cosx1))^11cosx1cosx1x2=e25利用极限存在准则（夹逼定理、5.1利用夹逼定理求极限单调有界原理）来求极限比如求limn(x1n2112n，k=1，2n-2nnn(n21n214)nn2nn2122i而lim-4^——1,lim-^-1所以limn(^——xnnxn1xn11n21L4)nn5.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限特点：①能出现关系式；②可转化为关系式解题方法：一是利用数学归纳法证有界，二是证单调。比如设XJ2Xn1J2Xn,(n1,2,L),试证数｛Xn｝列极限存在，并求此极限。显然0x1J22,X252夜2假设Xn2因xn1J2xn52-22由数学归纳法知对n,0
xn,所以｛%｝单调增加。\2xnxn因此limxn存在。x不妨设limxn=a,由xn1械~xn-得aJ2—a,从而a=2即［imxn26利用洛必达法则求极限用洛必达法则时要注意：①要注意洛必达法法则条件②有时要用多次洛必达法则③无限次循环型号不能用洛必达法则，如limx0④每次用洛必达法则前，要先化简，⑤x—0(或x一0°)时，极限中含有sin—,cos—(或sinx,cox)不能用洛必达法则。xx⑥“0goo”，“8-8”，“1”，“0"，“°”，“0。”型未定式，通过变形、通分、有理化分子、取对数等方式转化为0”或“一”未定式极限后再用洛必达法则。0比如求limx1exxelnxxx加exeee斛limlim-x11xlnxx111xlim^^x11xxxeexelimex117利用连续性求极限比如求lim里通x1arctanx解注意到f(x)ln(1e)在x=1处连续，所以arctanxlimx1ln(1x1e)ln(1e)4ln(1e)arctanxarctan18利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某些特殊函数在一些点处的极限时，可用此方法。如求lim1e，1ee、解lim1ex1exexlimx021ex2exlimx01exex1exexlim2ex~2ex所以lim1ex1exex不存在。9利用导数求极限比如设f'(0)1,f(0)0求limf(x)x0x解limg=limfxf(0)x0xx0x010利用泰勒公式求极限=f'(0)特点①“0”型;②0f1(x)g1(x)或f1(x)g1(x)f2(x)g2(x)f2(x)g2(x)③用洛必达法则较复杂或根本不可能用。解题的关键是展开到含xn项，或相互抵消后的后一项。比如求(cosxx2、.e)sinlim—2—x0(cosx2—11x22=lime)sinxx02x~L22x1(1-_____240(x4))(1--+—+0(x4))(24!6x2—-+0(x4))3!limx04x83x420(x4)0(x4)11211利用定积分和积分中值定理求极限(n1)(n2)L(nn)比如设xn=*,(n1,2,L),求limxn1ni斛因为lnxnln(1)niin所以limxnnlim1nnni1ln(1-)=n101ndx)dx21n2112利用函数极限与数列极限关系求极限1n2比如求lim(nsin)j1H2斛lim(nsin)=lim(nnno1sinxx2)x=lim(10sinxxsinxx1x\sinxx-x3_-6一)=e13利用级数收敛的必要条件求极限比如求limn3nn!，考察级数3nn!而limnun1unlimncn1n3(n1)!n(n1)n13nn!limn31(1」)nn3-<1e由正项级数比值判别法知3nn!nn收敛，再由级数收敛的必要条件知lim邛！=0nn14利用哥级数的和函数求极限TOC\o"1-5"\h\z一，,、1111比如求lim(1—一一L一)n1!2!3!n!由于—xnex,(,)non!，.一11当x1时，一=e=enon!1111、11因止匕lim(1L一)==e=en1!2!3!n!non!以上是求极限常用的一些方法，在求极限白过程中，先要用观察极限属于什么类型，才能去采取相应的方法。同学们在求二元函数极限时，常出现错误。我们将其归纳为一下三种，今写于此，以供参考。I第一种错误是把沿在平面上过(xo,yo)点的射线方向，代替沿任何方向趋向于(xo,yo),求limf(x,y)2X例1求lim丁2x0x2yy0在同学们的解题过程中常出现的错误做法是令xcos;ysin于是有当(x,y)3■2sincos2(0,0)时,20,由夹逼定理即得lim/2=0x0x2y2y0欲指出此种解法的错误，只需注意二元函数极限的定义:设函数f(X,y)在平面的某一个点集D上有定义，P0(x0,y0)是D的一个据点(P0不一定属于D),A为一定数，如果对于任意给定的正数，总存在相应的正数，使得定义域D上满足不等式0J(xx0)2(yy0)2的一切点P(x,y),能都恒有不等式f(x,y)A成立，则称定数A为函数当(x,y)(x0,y0)时的极限，记为lim0f(x,y)=A由极限的定义可以看出，若y0lim^f(x,y)=A则必须是动点P(x,y)沿定义域y0内的任何曲线趋向于聚点P(x0,y0)时，都得有不等式f(x,y)A成立。而在例1的解法中，即便是取遍了0〜2之间的所有值，都有不等式3-2sincos2成立，这也只能说明动点P(x,y)沿过原点的直线族y(tg)x趋向于点(0,0)时,2x都有lim1—2x0x2y2y00。本题的正确解法是，由x2y22xy有02xy22xy2xy0,0)是，对于任意给定的正数，只可见，动点P(x,y)不论沿平面上任何曲线趋于点要取时，就能使当J(x0)2(y0)2时，永远有2xy22xy=0立。这即得证例2求lim—x0xy02xy中所有用过的法，有xcos;ysinlimx(y(2xy2lim02.2cossin224~~4cossinlim0.2cossin2cos22sin论上式右端0时，就有limx0y02xy=lim0.2cossin2cosb=°但实际上lim2xy2x是不存在的，这只要取动点P(x,y)沿曲线x.2.ky趋向于点(0,0)时则有limx0y02xy2xylim224xkyxyy0limyky4kk21由于不同的k值对应着不同的极限值,即得证DRy02xy-4是不存在的。xy例3求xm0y02xy本题的正确解法,是由x24y2x2y4y22xyc222xy2(2_1)22)yx2由夹逼定理便有lim2xy4X0x2y4y00而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有2x~4x2y4y/4(cos.4.sin)1222(1sincos)1~2121邑并由此得出12limx0y02x4x2y4ylim1——44-0其结果虽然也是对的，但其理论根据却是错误4(cos4sin4)的。n第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。例4limx0y0xylimx(y(I-^—00110——yx页眉PAGE\*MERGEFORMAT#/11101111这种解法很明显是错误的，因为lim—,iim-但lim(――)并不一定是无穷大，这x0xy0yx0xyy0道理虽然很明显，但在做题时却常被疏忽而导致得出错误的结论。x趋向于点事实上，本例所给的极限是不存在的，这只有注意，若动点P(x,y)沿直线y(0,0)时，原式均无意义就行了，就是避开这条使函数无意义的直线也就不行的，这只要取动点P(x,y)沿曲线ykx2趋向于点(0,0)时，就有..xy..xy..x(kx2x)limn——lim——=lim2——x0xyx0xyx0kxy0ykx2xm第三种错误是由于忽视开方时应去算数跟,而造成的错误。..xylim,x02y0-.x丫2limx0y0 =0J)2J2xy1,什，一，，…-,k可以取关于零的任何值。k即得lim_xy_是不存在。；0xy此题的解这个恒等变形只有xy>0时成立，而当xy<0时22xyxy22xy22xy本例的正确解法应该是由x2y22xy有法是错误的，因为将分子及分母同除xy,它的恒等变形详细过程如下1~22xy22xy可见不论动点P(x,y)沿什么曲线，趋向于点(0,0)时，总有此不等式成立。由夹逼定理元函数极限时也常发生。知l>im)/2xy2=0忽视算数跟所造成的错误，在求例9limxx21x1页眉PAGE\*MERGEFORMAT#/1111例10lim(\x―1x)Jm这两个例子的错误均是由于忽视了x7x2例9的正确解法是limxx21时二x1一x21,,,1所以x是不存在的。x1例10的正确解法是lim(Vx21x)xlimx可见xx时x(jx^―1x)121所以lim(西1x)是不存在的。x【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【J】中国科教创新导刊，2007(23)【2】姜伟.对求极限方法的探究［J］中国科教创新导刊2008(28)
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