第15讲导数的概念及运算2小若f(x)=x2-2x—4lnx,则f'(x)>0的解集为(C)A.(0,+s)B.(—1,0)U(2,+s)C.(2,+s)D.(—1,0)42x—2x+1x>0,f'(x)=2x—2—-=x>0,x—所以xq2,+g).已知函数y=f(x)的图象如图所示，贝yf'(xa)与f'(xb)的大小关系是(B)A.f'(XA)>f‘(xb)B.f'(xA)kA，即f'(xA)1，即tano>1,nnn又%qo,2)，所以仏兀,2).(2017天津卷)已知a€R，设函数f(x)=ax—Inx的图象在点(1,f(1))处的切线为I,则I在y轴上的截距为1.1CO因为f'(x)=a—-,所以f'(1)=a—1.x又因为f(1)=a，所以切线I的斜率为a—1,且过点(1,a),所以切线I的方程为y—a=(a—1)(x—1).令x=0,得y=1,故I在y轴上的截距为1.(2015新课标卷I)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=1.因为y'=3ax?+1,所以y'|x=1=3a+1,所以匕土=3a+1，所以a=1.2—1"—Inx,0vxv1,(2016四川卷改编)设直线11,12分别是函数f(x)—图象上点Inx,x>1P1,P2处的切线，I1与I2垂直相交于点P,且11,12分别与y轴相交于点A,B,求△PAB的面积的取值范围.£3显由图象易知P1,P2位于f(x)的两段上，不妨设P1在f(x)=—Inx,xq0,1)的图象上，P2在f(x)=Inx(x>1)的图象上，设Pg—InX1),X1q0,1),P2(x2,InX2),X2^1,+m),山11贝UI1:y+InX1=——(x—X1),12：y—InX2=—(x—x2).X1X211由h血知，一一•-=—1，所以X1X2=1.X1X2又I1,I2分别与y轴交于点A,B,所以A(0,1—InX1),B(0,—1+InX2).y+InX1=—Xx—X1,由y—InX2=-x—X2,2得P点的横坐标x=X1+X212所以Szabp=|1—InX1+1—InX2|x2X1+X2122TOC\o"1-5"\h\z=|2—InX1X2IX==.X1+X2X1+X2x1+丄X112因为X1€(0,1),所以禺+■丄>2,所以0<<1.*丄丄X1+X1即△PAB的面积的取值范围是(0,1).8(2016山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(A)A.y=sinxB.y=Inxx3C.y=eD.y=x若y=f(x)的图象上存在两点(X1,f(X”),(X2,f(X2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f，(X1)•(X2)=—1.对于A,y，=cosx,若有cos治cosX2=—1，则当X1=2kn,X2=2kn+n^k^Z)时，结论成立；111对于B,y，=1,若有一L=—1，即X1X2=—1，因为x>0,所以不存在X1,X2，使得XX1X2X1X2=—1；对于C,y，=ex，若有ex1ex2=—1,即卩e*+X2=—1,显然不存在这样的X1,X2；对于D,y‘=3X2,若有3x13x2=—1,22>.x1,显然不存在这样的X1,X2.综上所述，选A.设函数f(x)=x3—3ax+b(a^0).若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切，贝Ua,b的值分别为4,24.CISf，(x)=3x2—3a.因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切，所以f(2)=8,f，(2)=0,即8—6a+b=8,3(4—a)=0，故a=4,b=24.已知函数f(x)=x3+(1—a)x2—a(a+2)x+b(a,b€R).若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为一3,求a,b的值；若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.C39f，(x)=3x2+2(1—a)x—a(a+2).f(0=b=0,由题意得If0=—aa+2=—3,解得b=0,a=—3或1.因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f，(x)=3x2+2(1—a)x—a(a+2)=0有两个不相等的实数根，所以△=4(1—a)2+12a(a+2)>0,即即4a2+4a+1>0,1所以—夕11所以a的取值范围是(一8,—1q—2+m).
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