成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修2-2导数及其应用第一章章末归纳
总结
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第一章知识结构1知识梳理2随堂练习4专题探究3知识结构知识梳理一、导数的概念、求法及其应用1．导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般地方法．如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题．2．对于求导数，要熟记公式，掌握
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，灵活运用．3．导数的应用主要体现在以下几个方面：(1)切线斜率：根据导数的几何意义，函数f(x)在点x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率．因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数．(2)求函数的单调性、极值、最值．(3)利用导数研究实际问题的最值关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较．二、定积分的求法和应用1．求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数，为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．2．利用定积分求平面图形的面积将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积分变量，积分上限、下限．一般步骤为：(1)画图；(2)确定要素(找到所属基本型，确定被积函数和积分上、下限)；(3)转化求值．要注意当所围成的图形在x轴下方时面积为负，因此，需对其定积分取绝对值．专题探究确定函数y＝f(x)在点x0处的导数利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．常见类型有两种：一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”；这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程求一个函数的导数的基本方法有三种：一是利用定义，二是利用基本初等函数的导数公式，三是把函数分解成为基本初等函数的和、差、积、商的运算，再利用导数的运算法则进行计算，其中以第三种较为常见．在第三种运算中，对不具备求导法则所要求的结构形式的函数要进行适当的变形，比如(1)函数中有两个以上因式乘积的形式，可利用多项式的乘法展开后再求导．(2)利用代数恒等变形，避开商的求导，简化运算．(3)利用三角恒等变形简化求导过程等等．导数的运算问题求复合函数的导数，一般是利用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．①分析清楚复合函数的复合关系，它是由哪些基本函数(存在求导公式)复合而成，适当选定中间变量；②分步求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别注意的是中间变量的系数；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转回原自变量的函数；④复合函数的求导程序熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接使用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．复合函数的求导把脉函数单调性，注意三关系1.函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．2．若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数，即区间上的单调函数没有极值．3．可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．准确理解函数极值，把握极值与导数的关系1.与函数的极值不同，函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．2．一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值最多只有一个，且函数的最值必在下列点中取得：导数为0的点，区间端点和导数不存在的点．对比函数极值，深入理解最值概念利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．(3)比较导函数x的各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．[分析] 根据题意可直接列出日利润y关于产量x的函数关系式，然后利用导数求解模型，要注意函数的定义域．定积分的概念及其几何意义和物理意义定积分的计算——微积分基本定理的应用随堂练习4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )[
答案
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] C[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f(x)在x＝－2处取极小值知f′(－2)＝0且在2的左侧f′(x)<0，而2的右侧f′(x)>0，所以C项适合．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．二、填空题5．(2015·天津理，11)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．6．设P为曲线cy＝x2－x＋1上一点，曲线c在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是____________．三、解答题7．(2015·山东理，21)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围．
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