§7.3 一元二次方程的整数(zhěngshù)根中考(zhōnɡkǎo)数学(北京专用)第一页，共19页。1.(2018北京东城一模,23)已知:关于x的一元二次方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0.(1)若m>0,求证:方程有两个不相等的实数(shìshù)根;(2)若m为大于12,小于40的整数,且方程有两个整数根,求m的值.好题精练第二页，共19页。解析 (1)证明:Δ=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4.∵m>0,∴8m+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)x1,2= =(2m-3)± .∵方程有两个整数(zhěngshù)根,∴ 为整数(zhěngshù).又∵12
0),因为a为整数,所以n为正奇数,且n≠3(否则a=0),所以a= .由求根MATCH_
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_1713922257580_0得x1,2= =-1+ =-1+ ,所以x1=-1+ ,x2=-1+ .要使x1为整数,则正奇数n=1,从而a=2;要使x2为整数,则正奇数n可取1,5,7,从而a=2,-4,-10.综上所述,a的值为2或-4或-10.第四页，共19页。3.(2018北京海淀一模,23)已知:关于x的一元一次方程(yīcìfānɡchénɡ)kx=x+2①的根为正实数,二次函数y=ax2-bx+kc(ac≠0)的图象与x轴的一个交点的横坐标为1.(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值;(2)求代数式 的值;(3)求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.第五页，共19页。解析 (1)由kx=x+2,得(k-1)x=2.依题意(tíyì)得k-1≠0,∴x= .∵方程的根为正整数,k为整数,∴k-1=1或k-1=2,∴k=2或3.(2)依题意(tíyì)知,二次函数y=ax2-bx+kc(ac≠0)的图象经过点(1,0),∴0=a-b+kc,∴kc=b-a,∴ = = = =-1.(3)证明:方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.(i)若ac<0,则-4ac>0.故Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.第六页，共19页。(ii)若ac>0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).∵方程kx=x+2的根为正实数(shìshù),∴方程(k-1)x=2的根为正实数(shìshù).由x>0,2>0,得k-1>0.∴4ac(k-1)>0.∵(a-kc)2≥0,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0.此时方程②有两个不相等的实数(shìshù)根.综上,方程②有两个不相等的实数(shìshù)根.第七页，共19页。4.(2018北京西城二模,23)已知:关于x的一元二次方程-x2+(m+4)x-4m=0,其中0
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示);(2)设抛物线y=-x2+(m+4)x+-4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),若点D的坐标为(0,-2),且AD·BD=10,求抛物线的解析式;(3)已知点E(a,y1)、F(2a,y2)、G(3a,y3)都在(2)中的抛物线上,是否存在含有(hányǒu)y1、y2、y3,且与a无关的等式?如果存在,试写出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.第八页，共19页。解析 (1)将原方程整理,得x2-(m+4)x+4m=0,∵00,∴x1,2= ,∴x1=m,x2=4.(2)由(1)知,抛物线y=-x2+(m+4)x-4m与x轴的交点分别(fēnbié)为(m,0)、(4,0),∵A在B的左侧,00,b>0.(1)若方程有实数根,试确定a,b之间的大小关系(guānxì);(2)若a∶b=2∶ ,且2x1-x2=2(x1,x2为方程x2+2ax+b2=0的两个根),求a,b的值.解析 (1)∵关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实数根,∴Δ=(2a)2-4b2≥0,有a2-b2≥0,(a+b)(a-b)≥0.∵a>0,b>0,∴a+b>0,a-b≥0,∴a≥b.(2)∵a∶b=2∶ ,∴设a=2k,b= k(k>0).解关于x的一元二次方程x2+4kx+3k2=0,得x=-k或-3k.当x1=-k,x2=-3k时,由2x1-x2=2得k=2.当x1=-3k,x2=-k时,由2x1-x2=2得k=- (不合(bùhé)题意,舍去).∴k=2,∴a=4,b=2 .第十二页，共19页。1.(2018北京海淀二模)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个(liǎnɡɡè)不相等的实数根;(2)当m为何整数时,原方程的根也是整数.教师(jiàoshī)专用题组第十三页，共19页。解析(jiěxī) (1)证明:Δ=(m+3)2-4(m+1)=m2+6m+9-4m-4=m2+2m+5=(m+1)2+4.∵(m+1)2≥0,∴(m+1)2+4>0,∴无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.(2)解关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,得x1,2= .∵原方程的根是整数,∴(m+1)2+4是完全平方数.设(m+1)2+4=a2,则(a+m+1)(a-m-1)=4.∵a+m+1和a-m-1同为奇数或偶数,∴ 或 第十四页，共19页。解得 或 ∴m=-1.∴x1=-2,x2=0,符合题意.∴当m=-1时,原方程(fāngchéng)的根是整数.第十五页，共19页。2.(2018北京西城一模)关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0.(1)求证(qiúzhèng):方程有两个不相等的实数根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.解析 (1)证明:根据题意得m≠1,Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,∴方程有两个不相等的实数根.(2)由(1)知:Δ=4,∴x1= = =1+ ,x2= =1.∵方程的两个根都是正整数,∴ 是正整数,∴m-1=1或2,∴m=2或3,经检验(jiǎnyàn),满足题意.∴当m=2或3时,此方程的两个根都为正整数.第十六页，共19页。3.(2018北京东城一模)已知关于(guānyú)m的一元二次方程2x2+mx-1=0.(1)判定方程根的情况;(2)设m为整数,方程的两个根都大于-1且小于 ,当方程的两个根均为有理数时,求m的值.第十七页，共19页。解析 (1)Δ=m2-4×2×(-1)=m2+8.∵m2≥0,∴Δ=m2+8>0.∴无论m取何值,方程2x2+mx-1=0都有两个不相等的实数根.(2)设y=2x2+mx-1.∵2x2+mx-1=0的两根都在-1和 之间,∴当x=-1时,y>0,即2-m-1>0,当x= 时,y>0,即 + m-1>0,∴-
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(nèiróng)总结§7.3 一元二次方程的整数根。Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).。∴Δ=[-(m+4)]2-4×4m=m2-8m+16=(m-4)2>0,。=-3[(-a2+5a-4)-(-4a2+10a-4)]-4。解析(jiěxī) (1)证明:Δ=(m+3)2-4(m+1)第十九页，共19页。
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