第8章欧氏空间

第8章欧氏空间8.1向量的内积8.2正交基8.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵8.5酉空间8.6酉变换和对称变换欧氏空间第八章8.1向量的内积解析几何中的内积内积的定义内积的简单性质、向量的长度柯西施瓦兹不等式、向量的夹角有关长度与距离的几个性质习题退出本节解析几何中的内积空间V3的两个非零向量x,h的内积:xh=|x||h|cosq反之,向量的长度和夹角也可以由内积表示:问题：能否把内积的概念推广到实数域上的一般的向量空间上，从而使一般的向量空间里也有向量的长度和夹角的概念？退出本节本节首页内积、长度、夹角先定义谁呢？显然...

8.1向量的内积8.2正交基8.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵8.5酉空间8.6酉变换和对称变换欧氏空间第八章8.1向量的内积解析几何中的内积内积的定义内积的简单性质、向量的长度柯西施瓦兹不等式、向量的夹角有关长度与距离的几个性质习题退出本节解析几何中的内积空间V3的两个非零向量x,h的内积:xh=|x||h|cosq反之,向量的长度和夹角也可以由内积表示:问题：能否把内积的概念推广到实数域上的一般的向量空间上，从而使一般的向量空间里也有向量的长度和夹角的概念？退出本节本节首页内积、长度、夹角先定义谁呢？显然有了内积长度和夹角都可以由内积定义。内积都有哪些性质呢？退出本节本节首页内积的定义定义1设V是实数域R上的向量空间。如果对于V中任意一对向量x,h,有一个唯一的记为的实数与它们对应，叫做x与h的内积，并且下列条件被满足：这里x,h,zV,aR,那么V叫做对于这个内积来说的欧几里得空间,简称欧氏空间.退出本节本节首页例1在Rn里对于任意两个向量x=(x1,x2,...,xn),h=(y1,y2,...,yn),规定=x1y1+x2y2+...+xnyn容易验证Rn对此内积构成一个欧氏空间.退出本节本节首页例2在Rn里对于任意两个向量x=(x1,x2,...,xn),h=(y1,y2,...,yn),规定=1x1y1+2x2y2+...+nxnyn容易验证Rn对此内积也构成一个欧氏空间.例1,例2说明在同一向量空间中引入不同的内积可以构成不同的欧氏空间.退出本节本节首页例3令C[a,b]是定义在[a,b]上的一切连续实函数构成的向量空间.设f(x),g(x)C[a,b],根据定积分的基本性质可知C[a,b]对此内积构成一个欧氏空间.规定退出本节本节首页例4令H是一切平方和收敛的实数列所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和数量乘法:设x=(x1,x2,...),h=(y1,y2,...)H,aR规定x+h=(x1+y1,x2+y2,...),ax=(ax1,ax2,...),再规定内积那么可以证明 H是一个欧氏空间.退出本节本节首页证明:首先由不等式其次等式因此，对于任意x,hH,aR，x+hH,axR.即H是向量空间收敛(内积有意义).收敛(加法数乘有意义).推出级数表明级数和容易验证H是欧氏空间.称此H为希尔伯特空间(Hilbert)．退出本节本节首页内积的简单性质、向量的长度设V为一个欧氏空间.xV,<0,x>==0hV,有=0=0x=0即=a1b1+a1b2+a2b1+a2b2退出本节本节首页定义2设xV,称非负实数的算个数平方根为x的长度,记为|x|.例5例1的Rn中向量x=(x1,x2,...,xn)的长度为xV,aR,有把长度为1的向量叫做单位向量.所以向量x的长度为:x／|x|.退出本节本节首页柯西施瓦兹不等式、向量的夹角定理8.1.1在欧氏空间里,对任意向量x,h,有2≤当且仅当x与h线性相关时上式等号才成立.退出本节本节首页证明1)若x与h线性相关,则或h=0或h=ax,都有2=,2)若x与h线性无关,则tR,tx+h0,所以>0即t2+2t+>0上式中判别式一定小于0，即2-<0或2<.证毕.退出本节本节首页例6在例1的欧氏空间Rn中,不等式为(柯西不等式):对a1,a2,…,an,b1,b2,…,bnR,(a1b1+…+anbn)≤(a12+…+an2)(b12+…+bn2).例7在例3的欧氏空间C[a,b]中,不等式为(施瓦兹不等式):对f(x),g(x)C[a,b],注意柯西不等式和施瓦兹不等式虽然形式不同,但实质是一样的，在欧氏空间中没有本质的区别.退出本节本节首页定义3欧氏空间的两个非零向量x,h的夹角由以下公式定义注意夹角的定义是合理的，因为由柯西施瓦尔兹不等式有这里约定：0≤≤退出本节本节首页定义4欧氏空间的两个向量x,h说是正交的，如果=0若夹角为2,称两个向量是正交的，补充规定:0向量于任何向量正交.则有定义例如在欧氏空间Rn里，向量组i=(0,...,0,1,0,...,0),i=1,2,...,n是两两正交的.退出本节本节首页定理8.1.2在欧氏空间里,如果向量x与向量组h1,h2,...,hr中的每一个都正交,那么向量x与向量组h1,h2,...,hr的任意一个线性组合也正交.证明:因为=0,i=1,2,...,n,所以=k1+k2+...+kr=0退出本节本节首页对x,h欧V，有有关长度与距离的几个性质|x+h|2==+2+≤+2|x||h|+=|x|2+2|x||h|+|h|2=(|x|+|h|)2由于|x+h|和|x|+|h|都非负，所以|x+h|≤|x|+|h|退出本节本节首页容易验证距离的性质：1)当xh时,d(x,h)>0;2)d(x,h)=d(h,x);3)d(x,z)≤d(x,h)+d(h,z).(三角不等式)一个说明:欧氏空间V的子向量空间W也是对V中的内积来说的欧氏空间.欧氏空间中，向量x与h的距离是指x-h的长度|x-h|,记为d(x,h)=|x-h|.退出本节本节首页8.2正交基正交基标准正交基施密特正交化方法正交补正射影(最佳逼近)正交矩阵欧氏空间的同构习题退出本节正交基标准正交基空间解析几何中,通常取彼此正交的单位向量作为V3的基(有何优点?).在一般的n维欧氏空间中能否作的这一点?定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组.如果正交组的每一个向量都是单位向量,就称其为规范正交组(或标准正交组).例1退出本节构成R3的一个规范正交组,这是因为:|a1|=|a2|=|a3|=1,===0.例2在欧氏空间C[0,2p]中,函数组1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…构成C[0,2p]的一个正交组.这是因为：退出本节即退出本节将正交组1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…单位化就得到C[0,2p]的一个规范正交组：定理8.2.1设{a1,a2,...,an}是欧氏空间的一个正交组,那么a1,a2,...,an线性无关.证明:设k1,k2,...,knR,使得k1a1+k2a2+...+knan=0因为ij时,=0,所以0=<0,ai>==k1+k2+...+kn=ki但0,所以ki=0,(i=1,2,…n),即a1,a2,...,an线性无关.退出本节设{a1,a2,...,an}是n维欧氏空间V的一个正交组,则{a1,a2,...,an}也是V的一个基,称为正交基.如果正交组还是规范正交组，那么就称其为规范正交基（标准正交基）.例3欧氏空间Rn里的基i=(0,...,0,1,0,...,0),i=1,2,...,n是的一个规范正交基.退出本节设{a1,a2,...,an}是n维欧氏空间V的一个规范正交基.则xV,x=x1a1+x2a2+...+xnan退出本节则则==x1+...+xi+...+xn=xi结论：向量x关于一个规范正交基的坐标的第i个分量等于x与第i个基向量的内积.再令hV,h=y1a1+y2a2+...+ynan=x1y1+x2y2+...+xnyn规范正交基的好处本节首页先看:设{a1,a2}是V2的任一基,能否得到一个正交基{b1,b2},进一步得到一个规范正交基{g1,g2}.退出本节问题:在n维欧氏空间中,是否一定有规范正交基?施密特正交化方法先取b1=a1,为求b2,考虑a2+ab1,使a2+ab1与b1正交.再取得a2b2=a2+ab1a1ab1b1=即=+a=0,又b10,又因为a1,a2线性无关,所以aRb2=a2+ab1=a2+aa10,所以{b1,b2}是V2的一个正交基,单位化后就能得到一个规范正交基{g1,g2}.退出本节那么定理8.2.2设{a1,a2,...,am}是欧氏空间V的一个线性无关向量组,那么可以求得V的一个正交组{b1,b2,...,bm},使得bk可由a1,a2,...,ak线性表示,k=1,2,...,m.退出本节证明:因为a1,a2线性无关,所以b20,所以b1与b2正交其次取则b2可由a1,a2线性表示,假设10)维欧氏空间一定有正交基，因而有规范正交基.使得bk可由a1,a2,...,ak线性表示,k=1,2,...,m.例4在欧氏空间R3里,对于基a1=(1,1,1),a2=(0,1,2),a3=(2,0,3)施行正交化方法,求规范正交基.注意在上述正交化过程中，将每一步所求得的向量bi直接单位化，可使计算简化.第一步，取解：退出本节第二步，取然后令第三步，取然后令这里｛g1,g2,g3｝就是R3的一个规范正交基.本节首页正交补正射影(最佳逼近)Dx与W正交:设W是欧氏空间V的非空子集.若对xV，x与W的每一个向量都正交,就称x与W正交，记为=0.DW┴={xV|=0}.显然0W┴,故W┴非空.又设a,bR,x,hW┴,则对aW,=a+b=0因而ax+bhW┴，所以W┴是V的一个子空间.退出本节先看:设W是V3里过原点的平面，对xV3都可以分解为x在W上的正射影与一个垂直于W的向量之和.WOxhz退出本节定理8.2.4令W是欧氏空间V的一个有限维子空间.则V=WW┴,即xV,x可唯一的写成:x=h+z(hW,zW┴).证明1)当W={0}时,定理显然成立.这时W┴=V.2)当W{0}时,因W是有限维的,可取其一个规范正交基{g1,g2,…gs},s=dimW.设xV.令h===-=-=0,i=1,2,...,s.退出本节由于{g1,g2,…gs}是W的基，所以z与W正交,即zW┴.从而V=W+W┴.若aW∩W┴.则=0,从而a=0,所以这个和是直和.证毕.定理8.2.4的几点说明：1.称V的子空间W┴为子空间W的正交补.2.在等式x=h+z(hW,zW┴)中,称h为x在子空间W上的正射影.3.对x欧V,x都可以分解为x在任意一个有限维子空间W上的正射影和一个与W正交的向量之和,且这种分解是唯一的.4.称z的长度|z|=|x-h|为x到子空间W的距离.也称正射影h为子空间W到向量x的最佳逼近.退出本节与最佳逼近相关的定理.定理8.2.5设W是欧氏空间V的一个有限维子空间,x是V中的任意向量,h是x在W上的正射影.那么对于W中的任意向量h’h,都有|x-h|<|x-h’|.证明对h’W,有x-h’=x-h+h-h’.这里h-h’W,x-hW┴,所以=0.于是|x-h’|2===+=|x-h|2+|h-h’|2.若h’h,则|h-h’|>0,则|x-h’|2>|x-h|2,即|x-h’|>|x-h|.退出本节与最佳逼近相关的例子.例5考虑C[0,2p].设W=L(1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx).可以求得W的规范正交基为：对Pn(x)W,Pn(x)具有如下称为n次三角多项式的形式Pn(x)=a0/2+a1cosx+b1sinx+…+ancosnx+bnsinnx.＊设f(x)C[0,2p].求一个Pn(x)使最小.用欧氏空间的语言说：求Pn(x)W,使f(x)C[0,2p]到W的距离最近.或说：求f(x)到W的最佳逼近.Pn(x)=a0+a1+b1+…+an+bn＊＊比较＊式和＊＊式，得退出本节从而这里k=1,2,…n.注意到cos0x=1,所以系数a0,a1,b1,…,an,bn,叫做函数f(x)的傅里叶(Fourier)系数.本节首页正交矩阵设{a1,a2,...,an}和{b1,b2,...,bn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基,设U=(uij)为{a1,a2,...,an}到{b1,b2,...,bn}的过渡矩阵.即又两个基都是规范正交基,故所以则退出本节等式表明:矩阵U的第i行与第j列对应元素乘积之和当i=j时等于1;当ij时等于0.因此U’U=I.又因为U作为过渡矩阵是可逆的,所以U-1U=I.于是UU’=U’U=I.定义2若n阶实矩阵U满足UU’=U’U=I,则称U为正交矩阵退出本节本节首页定理8.2.6n维欧氏空间一个规范正交基到另一个规范正交基的过渡矩阵s是正交矩阵.欧氏空间的同构退出本节定义3设V和V’是两个欧氏空间,若1)作为实数域上的向量空间,存在V到V’的同构映射f.2)对任意的x,hV,都有=.则称f是欧氏空间V到V’的一个同构映射，此时也称欧氏空间V与欧氏空间V’同构.退出本节定理8.2.7两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等.证明设V和V’是两个有限维欧氏空间,若作为欧氏空间同构,则作为向量空间同构.所以dimV=dimV’.设dimV=dimV’=n.1)若n=0,则V和V’显然同构,因为<0,0>=0.2)若n>0,则分别取V和V’的两个规范正交基:{g1,g2,…,gn}和{g1’,g2’,…,gn’}.规定映射f:V→V’,x=x1g1+…+xngn→f(x)=x1g1’+…+xngn’.退出本节本节首页a)显然,作为向量空间f是V到V’的同构映射.b)设x=x1g1+x2g2+…+xngn,h=y1g1+y2g2+…+yngn则f(x)=x1g1’+x2g2’+…+xngn’,f(h)=y1g1’+y2g2’+…+yngn’.所以=x1y1+x2y2+…+xnyn=所以作为欧氏空间V与V’同构.证毕.推论8.2.8任何n维欧氏空间都与Rn同构.8.3正交变换正交变换的定义和例子有关正交变换的几个定理正交变换与内积正交变换与夹角正交变换与规范正交基正交变换关于规范正交基的矩阵V2和V3上的正交变换的类型习题退出本节正交变换的定义和例子定义1(保持长度)若欧氏空间V上的线性变换s满足:xV,都有|s(x)|=|x|,则称s是一个正交变换.例1设s:V2→V2x→s(x)把x旋转角j.则s是正交变换.例2令H是V3的过原点的一个平面.设s:V3→V3x→s(x).s(x)是x对于H的镜面反射.则s是正交变换.(如图所示)OHxs(x)退出本节本节首页有关正交变换的几个定理退出本节定理8.3.1(正交变换保持内积)设sL(欧V),则s是正交变换x,hV,有=.推论(正交变换保持夹角)设sL(V),则s是正交变换x,hV,有x与h的夹角等于s(x)与s(h)的夹角.定理8.3.2(正交变换规范正交基的象是规范正交基)设sL(欧V),若s是正交变换,则s把V的任意规范正交基仍旧变为规范正交基;反之,若s把V的某一规范正交基仍旧变为规范正交基,则s是正交变换.定理8.3.3(正交变换关于规范正交基的矩阵是正交矩阵)设sL(n欧V),若s是正交变换,则s关于V的任意规范正交基的矩阵为正交矩阵;反之,若s关于V的某一规范正交基的矩阵为正交矩阵,则s是正交变换.问题(正交变换保持距离)设sL(欧V),则s是正交变换x,hV,有d(s(x),s(h))=d(x,h).退出本节本节首页V2和V3上的正交变换的类型V2的正交变换的类型以某过原点的直线为镜面的镜面反射，关于某一规范正交基的矩阵为：以原点为圆心的旋转,关于任意规范正交基的矩阵为：退出本节V3的正交变换的类型以L(a2,a3)为镜面的镜面反射,关于规范正交基{a1,a2,a3}的矩阵为：绕由a1所在的直线L(a1)轴的旋转,关于规范正交基{a1,a2,a3}的矩阵为：退出本节是1,2两种变换的合成,关于某一规范正交基{a1,a2,a3}的矩阵为：本节首页

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