7　切线长定理

7　切线长定理第PAGE页*7　切线长定理关键问答①切线与切线长是同一个概念吗？如果不是，有什么区别吗？切线长定理的内容是什么？1.①如图3－7－1，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，如果∠P＝60°，PA＝2，那么AB的长为(　　)图3－7－1A．1B．2C．3D．42．如图3－7－2，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，假设∠A＝70°，那么∠BOC的度数为(　　)图3－7－2A．130°B．120°C．110°D．100°3.如图3－7－3，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，那么BD的长度为(　　)图3－7－3A．23B．22C．21D．无法确定命题点　利用切线长定理进行计算　[热度：87%]4.②如图3－7－4，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2eq\r(3)，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，那么CD的长为(　　)图3－7－4A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3知识链接②假设圆心到某条直线的距离等于圆的半径，那么该直线是圆的切线.5．如图3－7－5，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，与PA，PB分别交于点C，D，假设PA＝5，那么△PCD的周长为________．图3－7－56.③如图3－7－6，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，那么△ADE的面积为__________cm2.图3－7－6解题突破③由切线长定理可得AE＝AB＋CE，设EF＝CE＝xcm，在Rt△ADE中由勾股定理可构造方程求得x.7．如图3－7－7，假设△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，AC＝6，△ABC的内切圆O分别切AB，BC，AC于点D，E，F，那么AF的长为________．图3－7－78.④如图3－7－8，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，⊙O的半径是r，△PCD的周长为4r，那么tan∠APB＝________.图3－7－8解题突破④构造包含∠APB的直角三角形，依据三角函数的定义加以计算.9．如图3－7－9，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．图3－7－910．⑤为了探索三角形的内切圆半径r与三角形的周长L、三角形的面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究．如图3－7－10，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的边长，填入空格处，并计算出△ABC的周长L和面积S(结果均保存一位小数)；AC(单位：cm)BC(单位：cm)AB(单位：cm)r(单位：cm)L(单位：cm)S(单位：cm2)图甲图乙(2)观察图形，利用上表实验数据分析、猜想特殊三角形的内切圆半径r，三角形的周长L与三角形的面积S之间的关系，这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立？并进行证明．图3－7－10 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 点拨⑤三角形内切圆的圆心到三角形各边的距离相等，等于内切圆的半径，由此可借助三角形的面积解决内切圆问题．详解详析1．B　[解析]∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∴PA＝PB.∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝2.应选B.2．C　[解析]∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－∠A＝110°.应选C.3．A　[解析]∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴AF＝AD＝13，CF＝CE，BD＝BE.∵AC＝25，∴CF＝AC－AF＝25－13＝12，∴CE＝12.∵BC＝35，∴BE＝BC－CE＝35－12＝23，∴BD＝BE＝23.应选A.4．C　[解析]在Rt△BCM中，tan60°＝eq\f(MB,BC)＝eq\r(3)，得到BC＝eq\f(2\r(3),\r(3))＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.应选C.5．106．6　[解析]∵AE与半圆O相切于点F，显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC.设EF＝EC＝xcm，那么DE＝(4－x)cm，AE＝(4＋x)cm，在Rt△ADE中，由勾股定理，得(4－x)2＋42＝(4＋x)2，解得x＝1，∴CE＝1cm，∴DE＝4－1＝3(cm)，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝eq\f(1,2)×4×3＝6(cm2)．7．5　[解析]设AF＝x，根据切线长定理，得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝6－x.∵BE＋CE＝BC＝5，∴9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.8.eq\f(4,3)　[解析]连接BO并延长交PA的延长线于点F，连接OA，∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB，CE＝CA，DE＝DB，∴PA＋PB＝PC＋PD＋CD＝4r，∴PA＝PB＝2r.∵PA，PB切⊙O于点A，B，∴∠FAO＝∠FBP＝90°.又∠AFO＝∠BFP，∴△FAO∽△FBP，∴eq\f(FA,FB)＝eq\f(OA,PB)＝eq\f(1,2)，∴FB＝2FA，∴FA2＋r2＝(2FA－r)2，解得FA＝eq\f(4,3)r，那么FB＝eq\f(8,3)r，∴tan∠APB＝eq\f(FB,PB)＝eq\f(4,3).9．解：如图，连接OF，根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.(1)∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理，得BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝10cm，∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10cm.(3)∵OF⊥BC，∴S△OBC＝eq\f(1,2)·BC·OF＝eq\f(1,2)OB·OC，∴OF＝eq\f(OB·OC,BC)＝4.8cm.即⊙O的半径为4.8cm.10．解：(1)AC(单位：cm)BC(单位：cm)AB(单位：cm)r(单位：cm)L(单位：cm)S(单位：cm2)图甲1.7(或1．8)图乙(2)由图表信息猜想，r＝eq\f(2S,L)(或者2S＝Lr)，并且这种关系对任意三角形也成立．证明：在任意三角形ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，OD，得S＝eq\f(1,2)BC·r＋eq\f(1,2)AC·r＋eq\f(1,2)AB·r＝eq\f(1,2)Lr，∴r＝eq\f(2S,L).[关键问答]①不是，切线是与圆有唯一公共点的直线；切线长是过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长．切线与切线长的区别：切线是直线，不能度量；切线长是切线上的一条线段的长度．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．