概率论第一章

第一章随机事件与概率随机现象与随机事件概率的定义条件概率与独立性随机现象与随机事件试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面向上。试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。观察所出现的点数试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命这些试验具有如下特点：1）试验可以在相同的条件下重复进行。2）试验可能出现的所有结果种类已知3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试验结果必是所有可能结果中的某一个。具有这些特点的试验称为随机试验。随机现象与随机试验1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。2)随机试验今后简称为试验。3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性。说明：概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用Ω表示。样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。样本空间与随机事件试验２：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的点数。Ω＝{1，2，3，4，5，6}试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为有限样本空间。试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样本空间。试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命Ω＝[0，+∞)={x∈R∣0≤x<+∞}试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规定带有国徽图案的是正面。Ω＝{正面，反面}随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。在一次试验中，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中事件A发生。否则，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中事件A不发生。两种特殊的随机事件：必然事件：样本空间在每次试验中均会发生，故称为必然事件。不可能事件：空集Ø在每次试验中均不会发生，故称为不可能事件。不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。由基本事件组合而成的事件称为复合事件。注意：基本事件是相对的，不是绝对的。也可这样定义：基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或简单事件。例2：在下列试验中，试用集合表示下列事件。解：{出现偶数点}={2，4，6}。1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件，{出现偶数点}={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点}但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。{灯泡寿命大于100小时}的事件。解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝1、事件的包含如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为：ΩBA文氏图例如：B＝{出现偶数点}，A＝{出现４点}一、事件的关系2、事件的相等如果事件A与事件B互相包含，即则称事件A等于事件B。记为：A＝BΩAB3、事件的互斥如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。记为：A∩B＝Ø如事件A1，A2,…，An任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的,简称互斥。即有Ai∩Aj=Ø，1≤i＜j≤nΩAA4、事件的对立所谓事件Ａ与事件Ｂ为对立事件，就是指Ａ与Ｂ不同时发生，但必发生一个。由定义AB＝ØA＋B＝Ω记B＝A，则B＝A例如：Ａ＝{出现偶数点}，Ｂ＝{出现奇数点}；Ａ与Ｂ互为对立事件。二、事件的运算1、事件的和事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有一个发生。记为A∪B。例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则A∪B＝{出现偶数点}当A、B互斥时，A∪B可记为A＋B。n个事件A1，…，An的和是指这n个事件中至少有一个发生。如果事件A1，A2，…，An两两互斥,则如果事件A1，A2，…，An两两互斥,且Ω＝A1+A2+…+An，则称这n个事件构成互斥完备群。可列多个事件的和事件2、事件的积事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。记为AB或A∩B。当A、B互为对立事件时，有：A＋B＝Ω，AB＝Ø。可列多个事件的积事件例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则ＡＢ＝{出现2点}解：（１）（２）（３）例1：设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，写出下列事件的表达式：1)恰有二个事件发生。2)三个事件同时发生。3)至少有一个事件发生。或或3、事件的差事件Ａ与事件Ｂ的差Ａ－Ｂ，是指Ａ发生，Ｂ不发生。由定义Ａ－Ｂ＝A∩B，A＝Ω－A例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则Ａ－Ｂ＝{出现４点}对于任意三个事件Ａ、Ｂ、Ｃ，满足下列运算：1)、交换律A∪B=B∪AAB=BA2)、结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)3)、分配律A(B∪C)=AB∪ACA∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)4)、对偶律三、事件的运算法则概率的定义概率的统计定义概率的古典定义概率的几何定义概率的公理化定义频率的定义设事件Ａ在ｎ次试验中出现了ｒ次，则比值r/n称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。概率的统计定义概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件Ａ出现的频率总是在区间[0，1]上的一个确定的常数ｐ附近摆动，并且稳定于ｐ，则ｐ称为事件Ａ的概率，记作P(A)。古典概型的随机试验要求满足下两条件：有限性。只有有限多个不同的基本事件。等可能性。每基本事件出现的可能性相等。概率的古典定义在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总数为ｎ，事件Ａ所包含的基本事件（样本点）个数为r(r≤n)，则定义事件Ａ的概率P(A)为r/n。即古典概率概率的几何定义向某一区域Ω随机投点，则点M落入Ω的某一部分A的概率注意：随机投点是指M落入Ω内任一处均是等可能的。AMΩ几何概率古典概率：试验结果要求有限、互不相容、等可能几何概率：落入区域G内任一点是等可能的。统计概率：要求作大量重复试验。前面学了三种概率定义，各有其局限性。概率的公理化定义事件域事件域由样本空间的一些子集构成的集合F，如果满足如下条件：则称F为一个事件域。F中的元素称为随机事件，Ω为必然事件，Ø为不可能事件概率的公理化定义设Ω是样本空间，A∈F，P(A)是A的实值 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，且满足如下三条公理，则称P(A)是A的概率。公理1公理2公理3对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤1P(Ω)=1 对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)1)、非负性对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤12)、 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性P(Ω)=1           3)、可加性若事件Ａ与Ｂ互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)概率的性质对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)如果构成互斥完备群，则P(A1)+P(A2)+…+P(An)＝1对一列两两互斥的事件A1，A2，…，An，…有4)、P(Φ)＝0证明：对任一事件A，A＝A＋Ø则P(A)=P(A＋Ø)=P(A)＋P(Ø)∴P(Ø)=0证明：6)、对于任意事件Ａ，有P(A)=1－P（A）证明：7)、对于任意事件Ａ、Ｂ，有P(A－B)=P(A)－P(AB)证明：8)、对于任意事件Ａ、Ｂ，有P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)证明：∵A∪B=A+(B－AB)∴P(A∪B)=P(A+(B－AB))=P(A)+P(B－AB)=P(A)+P(B)－P(AB)条件概率与独立性条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式事件独立性独立试验概型条件概率也是概率条件概率满足概率性质说明：对事件A、B，若P(B)>0，则称为事件A在事件B发生下的条件概率。条件概率)()()(BPABPBAP=思考：利用条件概率的定义，推出P(A︱B)与P(A)的大小关系。乘法公式定理1类似地：一般地：证明；全概率公式定理设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且则对任一事件A都有(2)P(Bi)>0i=1,2,…，n；注意：１）P(Bi)>0(i=1,2,…,n)条件哪里用到？２）没有此条件，行吗？根据两两互斥事件的加法性质，得证明：定理可以推广到可列多个的情况例2袋中有大小相同的a个黄球、b个白球。现做不放回地摸球两次，问第2次摸得黄球的概率?解设A表示“第2次摸得黄球”B1={第1次摸得的是黄球｝B2={第1次摸得的是白球｝贝叶斯公式则对任一具有正概率的事件A，有定理(2)P(Bi)>0i=1,2,…，n；设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且证明：定理可以推广到可列多个的情况。定义1若两事件Ａ，Ｂ满足P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件Ａ、Ｂ(或Ｂ、Ａ)相互独立。简称独立。定义１即使在P(A)=0或P(B)=0时，仍然适用。必然事件及不可能事件与任何事件均是独立的。由定义可得：事件的独立性定理若对事件Ａ，Ｂ；Ａ，；，Ｂ；，中有一对是相互独立的，则另外三对事件是相互独立的（即这四对事件或者都相互独立，或者都不相互独立）。证明：(１)因为Ａ，Ｂ事件相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)。（２）（３）又（４）所以，A、B事件相互独立。事件的独立性概念可以推广到有限个事件的情形。定义２设A1，A2，…，An是n个事件，若对所有可能的组合1≤i1)个元件按图１及图２所示的两种联接方式构成两个系统，试求它们的可靠性，并比较两个可靠性的大小。图２系统２A1A2B1B2AnBn解：设A1A2AnB1B2Bn图１系统１计算系统１的可靠性：它有两条通路，在每条通路中，当且仅当该通路上所有元件都能正常工作时，该条通路才能正常工作，因为系统１由两条通路并联而成，因此，只要有一条通路能正常工作，则系统１就能正常工作。所求的系统１的可靠性为：因为各元件能否正常工作是相互独立的，得A1A2AnB1B2Bn则系统２中每对并联元件所组成的子系统的可靠性为下面计算系统２的可靠性：系统２是由n个子系统串联而成，所求系统２的可靠性为：B1B2BnAnA2A1注：我们可以证明R2>R1当0f(1)=0即R2>R1如n重独立试验还满足：每次试验只有两个结果。即只有两个可能事件Ａ与，且。则这n重独立试验又称为n重贝努利(Bernoulli)试验，或称为贝努利概型。独立试验概型做n个完全重复条件的试验，且满足两个条件：(1)每次试验条件相同。因此各次试验中同一个事件出现概率相等；(2)各次试验结果相互独立；满足这两个条件的n次重复试验，称为n重独立试验。n重独立试验定理（二项概率公式）设一次试验中，事件Ａ出现的概率为P(A)=p(0