2019-2020学年（新课标）最新浙江省宁波市九校联考高二下期末模拟数学试卷(有答案)-精品试题

最新浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷　一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|2≤x≤4}，则A∩（∁UB）=（　　）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4}D．{x|0≤x＜2或x＞4}2．已知a=（SHAPE\*MERGEFORMAT），b=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，c=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，则下列关系中正确的是（　　）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b3．函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT4．若（1﹣2x）5=a0+a1x+…+a5x5（x∈R），则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（　　）A．243B．﹣243C．81D．﹣815．已知离散型随机变量ξ～B（n，p），且E（2ξ+1）=5.8，D（ξ）=1.44，那么n，p的值分别为（　　）A．n=4，p=0.6B．n=6，p=0.4C．n=8，p=0.3D．n=24，p=0.16．设函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，记f1（x）=f（f（x）），f2（x）=f（f1（x）），…，fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，那么下列说法正确的是（　　）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=0B．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=0C．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=1D．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=17．把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有（　　）A．12种B．30种C．96种D．144种8．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT给出下列结论：①函数f（x）的值域为（0，8]；②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；③存在k∈（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n，2n+1）”其中正确命题的序号是（　　）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④　二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9．计算：（1）（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT﹣160.25=　　　　　　；（2）log93+lg3•log310=　　　　　　．10．若二项式（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）n的展开式共有7项，则n=　　　　　　；展开式中的第三项的系数为　　　　　　．（用数字作答）11．已知定义在R上的奇函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则f（1）=　　　　　　；不等式f（f（x））≤7的解集为　　　　　　．12．我省新高考采用“7选3”的选考模式，即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有　　　　　　种；甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课，甲必选物理和政治，乙不选技术，则两人至少有一门科目相同的选法共有　　　　　　种（用数学作答）13．掷两颗质地均匀的骰子，在已知它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率是　　　　　　．14．已知a为实数，若函数f（x）=|x2+ax+2|﹣x2在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　　　．15．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+2﹣c）+x（x≥﹣2），若不等式f（x）≥0恒成立，则实数c的最大值是　　　　　　．　三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知对任意的n∈N*，存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=SHAPE\*MERGEFORMAT（an2+b）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述恒等式．17．一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．（Ⅰ）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；（Ⅱ）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．18．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT．（Ⅰ）求g（x）的值域（用t 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）；（Ⅱ）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M．19．定义：若两个二次曲线的离心率相等，则称这两个二次曲线相似．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右顶点为A，以其短轴的两个端点B1，B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形，M是C上异于B1，B2的一个动点，△MB1B2的重心为G，G点的轨迹记为C1．（Ⅰ）（i）求C的方程；（ii）求证：C1与C相似；（Ⅱ）过B1点任作一直线，自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P，Q，R，S，求SHAPE\*MERGEFORMAT的取值范围．SHAPE\*MERGEFORMAT20．已知函数f（x）=lnx﹣SHAPE\*MERGEFORMATax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的导函数是f′（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）在曲线y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），使得直线AB的斜率k=f′（SHAPE\*MERGEFORMAT）？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．　参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与试题解析　一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|2≤x≤4}，则A∩（∁UB）=（　　）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4}D．{x|0≤x＜2或x＞4}【考点】交、并、补集的混合运算．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】先求出补集∁UB，再根据并集的定义求出A∪（∁UB）．【解答】解：∵B={x|2≤x≤4}，∴∁UB={x|x＜1或x＞4}，∵A={x|x≥0}，∴A∪（∁UB）={x|0≤x＜1或x＞4}，故选：D．　2．已知a=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，b=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，c=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，则下列关系中正确的是（　　）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵SHAPE\*MERGEFORMAT，∴b=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT＞c=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，∵SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT＞b=（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a＞b＞c．故选：A．　3．函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】函数的图象．【分析】直接根据幂函数和对数函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=x3为单调递增函数，且过定点（1，1），y=log2x为单调递增函数，且过定点（1，0），故选：A．　4．若（1﹣2x）5=a0+a1x+…+a5x5（x∈R），则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（　　）A．243B．﹣243C．81D．﹣81【考点】二项式系数的性质．【分析】可令x=1，求得a0+a1+…+a5=﹣1，再令x=﹣1求得a0﹣a1+…﹣a5=243，而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（a0+a2+a4+a1+a3+a5）（a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5），问题得以解决．【解答】解：∵（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，∴令x=1，有a0+a1+…+a5=﹣1再令x=﹣1，有a0﹣a1+…﹣a5=35…=243，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（a0+a2+a4+a1+a3+a5）（a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5）=﹣243．故选：B．　5．已知离散型随机变量ξ～B（n，p），且E（2ξ+1）=5.8，D（ξ）=1.44，那么n，p的值分别为（　　）A．n=4，p=0.6B．n=6，p=0.4C．n=8，p=0.3D．n=24，p=0.1【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知求出E（ξ）=2.4，D（ξ）=1.44，利用二项分布的性质列出方程组，能求出n，p的值．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（n，p），且E（2ξ+1）=5.8，D（ξ）=1.44，∴2E（ξ）+1=5.8，∴E（ξ）=2.4，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，解得n=6，p=0.4．故选：B．　6．设函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，记f1（x）=f（f（x）），f2（x）=f（f1（x）），…，fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，那么下列说法正确的是（　　）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=0B．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=0C．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=1D．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=1【考点】函数的值．【分析】根据函数f（x），求出f1（x）、f2（x），…，fn+1（x）的解析式，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴f1（x）=f（f（x））=x，f2（x）=f（f1（x））=SHAPE\*MERGEFORMAT，…，fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*；又f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣1+SHAPE\*MERGEFORMAT，所以f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，且f2016（0）=SHAPE\*MERGEFORMAT=1．故选：D．　7．把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有（　　）A．12种B．30种C．96种D．144种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出两个“A“没有限制的排列，再排除若A，A相邻时的排列，问题得以解决．【解答】解：先排列A，A，α，β，若A，B不相邻，有A22C32=6种，若A，B相邻，有A33=6种，共有6+6=12种，从所形成了5个空中选3个插入1，1，1，共有12C53=120，若A，A相邻时，从所形成了4个空中选3个插入1，1，1，共有6C43=24，故三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有120﹣24=96种，故选：C．　8．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT给出下列结论：①函数f（x）的值域为（0，8]；②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；③存在k∈（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n，2n+1）”其中正确命题的序号是（　　）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断，②利用f（2n）=SHAPE\*MERGEFORMATf（1）进行求解判断，③作出函数f（x）和y=kx的图象，利用数形结合进行判断，④根据分段函数的单调性进行判断．【解答】解：①当1≤x＜2时，f（x）=﹣8x（x﹣2）=﹣8（x﹣1）2+8∈（0，8]，②∵f（1）=8，∴f（2n）=SHAPE\*MERGEFORMATf（2n﹣1）=SHAPE\*MERGEFORMATf（2n﹣2）=SHAPE\*MERGEFORMATf（2n﹣3）=…=SHAPE\*MERGEFORMATf（20）=SHAPE\*MERGEFORMATf（1）=SHAPE\*MERGEFORMAT×8=23﹣n，故②正确，③当x≥2时，f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATf（SHAPE\*MERGEFORMAT）∈0，4]，故函数f（x）的值域为（0，8]；故①正确，当2≤x＜4时，1≤SHAPE\*MERGEFORMAT＜2，则f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATf（SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT[﹣8（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1）2+8]=﹣4（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1）2+4，当4≤x＜8时，2≤SHAPE\*MERGEFORMAT＜4，则f（x）=SHAPE\*MERGEFORMATf（SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT[﹣4（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1）2+4]=﹣2（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1）2+2，作出函数f（x）的图象如图：作出y=SHAPE\*MERGEFORMATx和y=SHAPE\*MERGEFORMATx的图象如图，当k∈（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有3个公共点；故③错误，④由分段函数的表达式得当x∈（2n，2n+1）时，函数f（x）在（2n，2n+1）上为单调递减函数，则函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n，2n+1）”为真命题．，故④正确，故选：CSHAPE\*MERGEFORMAT　二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9．计算：（1）（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT﹣160.25=　SHAPE\*MERGEFORMAT　；（2）log93+lg3•log310=　3　．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：（1）（SHAPE\*MERGEFORMAT）SHAPE\*MERGEFORMAT﹣160.25=SHAPE\*MERGEFORMAT﹣24×0.25=SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1=SHAPE\*MERGEFORMAT；（2）log93+lg3•log310=SHAPE\*MERGEFORMAT+lg3SHAPE\*MERGEFORMAT=2+1=3　10．若二项式（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）n的展开式共有7项，则n=　6　；展开式中的第三项的系数为　60　．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式中的项数共有7项可求出n的值是6，利用二项展开式的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求出通项，令r的指数为2，将r的值代入通项求出展开式中的第三项的系数．【解答】解：∵二项式（SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）n的展开式共有7项，∴n=6展开式的通项为Tr+1=（﹣2）rC6rSHAPE\*MERGEFORMAT，展开式中的第三项即r=2时，所以展开式中的第三项的系数为4C62=60故答案为：6，60　11．已知定义在R上的奇函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，则f（1）=　﹣1　；不等式f（f（x））≤7的解集为　（﹣∞，2]　．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得f（1）；不等式f（f（x））≤7的解集等价于f（x）≥﹣3的解集，即可求得答案．【解答】解：∵R上的奇函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[（SHAPE\*MERGEFORMAT）﹣1﹣1]=﹣1，∵不等式f（f（x））≤7，f（﹣3）=7，∴f（x）≥﹣3，∵R上的奇函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴g（x）=1﹣2x，∴f（x）≥﹣3等价于SHAPE\*MERGEFORMAT或SHAPE\*MERGEFORMAT，可以解得x≤2，即不等式f（f（x））≤7的解集为（﹣∞，2]．故答案为：﹣1；（﹣∞，2]．　12．我省新高考采用“7选3”的选考模式，即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有　35　种；甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课，甲必选物理和政治，乙不选技术，则两人至少有一门科目相同的选法共有　92　种（用数学作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】①直接根据组合定义即可求出，②利用间接法，先求出甲必选物理和政治，乙不选技术的种数，再排除两人没有科目相同的选法，问题得以解决．【解答】解：①从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有C73=35种，②甲必选物理和政治，乙不选技术，则甲乙的选法为C51C63=100种，其中没有相同的科目，若甲选技术，则乙有C43=4种，若甲不选技术，甲有4种，乙只有1种，故有4×1=4种，则其中没有相同的科目的为4+4=8种，故两人至少有一门科目相同的选法共有100﹣8=92，故答案为：35，92　13．掷两颗质地均匀的骰子，在已知它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率是　SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】掷两颗质地均匀的骰子，它们的点数不同，列举出所有的基本事件和其中有一颗是6点包含的基本事件个数，由此能求出它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率．【解答】解：掷两颗质地均匀的骰子，它们的点数不同，所有的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有30个，其中有一颗是6点包含的基本事件个数有10个，∴它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率p=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　14．已知a为实数，若函数f（x）=|x2+ax+2|﹣x2在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为　[﹣8，0）　．【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．【分析】将函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．【解答】解：f（x）=|x2+ax+2|﹣x2=SHAPE\*MERGEFORMAT，设x2+ax+2=0的两个根分别为x1，x2，（x1＜x2），则f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∵当x≥x2时，函数f（x）=ax+2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，∴a＜0，当x1＜x＜x2时，抛物线的对称轴为x=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则﹣SHAPE\*MERGEFORMAT≤2，得﹣8≤a＜0．若f（x）在区间（﹣∞，﹣1）递减，则x1=SHAPE\*MERGEFORMAT≥﹣1，即﹣a﹣SHAPE\*MERGEFORMAT≥﹣2，则SHAPE\*MERGEFORMAT≥a﹣2，∵﹣8≤a＜0，∴SHAPE\*MERGEFORMAT≥a﹣2恒成立，综上﹣8≤a＜0，故答案为：[﹣8，0）SHAPE\*MERGEFORMAT　15．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+2﹣c）+x（x≥﹣2），若不等式f（x）≥0恒成立，则实数c的最大值是　﹣2e2　．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为c≤x3﹣3x+2+SHAPE\*MERGEFORMAT，（x≥﹣2），令h（x）=x3﹣3x+2+SHAPE\*MERGEFORMAT，（x≥﹣2），求出h（x）的最小值，从而求出c的最大值即可．【解答】解：∵函数f（x）=ex（x3﹣3x+2﹣c）+x（x≥﹣2），若不等式f（x）≥0恒成立，则c≤x3﹣3x+2+SHAPE\*MERGEFORMAT，（x≥﹣2），令h（x）=x3﹣3x+2+SHAPE\*MERGEFORMAT，（x≥﹣2），h′（x）=（x﹣1）[3（x+1）﹣e﹣x]，令h′（x）＞0，解得：x＞1或x＜x0，（﹣1＜x0＜0），令h′（x）＜0，解得：x0＜x＜1，∴h（x）在[﹣2，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（﹣2）或h（1），而h（﹣2）=﹣2e2＜h（1）=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴c≤﹣2e2，c的最大值是﹣2e2；故答案为：﹣2e2．　三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知对任意的n∈N*，存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=SHAPE\*MERGEFORMAT（an2+b）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述恒等式．【考点】数学归纳法．【分析】（Ⅰ）分别取n=1，2，得到关于a，b的方程组解得即可，（Ⅱ）先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N*时都成立【解答】解：（Ⅰ）由题意1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=SHAPE\*MERGEFORMAT（an2+b），上述等式分别取n=1，2得SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT，（Ⅱ）由（Ⅰ）得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=SHAPE\*MERGEFORMAT（n2﹣1），证明：①当n=1时，左边=1×（12﹣12）=0，右边=SHAPE\*MERGEFORMAT×12（12﹣1）=0，等式成立，②假设当n=k时，等式成立，即1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）=SHAPE\*MERGEFORMATk2（k2﹣1），则当n=k+1时，左边=1×[（k2﹣12）+（2k+1）]+2×[（k2﹣22）+（2k+1）]+…+k[（k2﹣k2）+（2k+1）]，=1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）+（2k+1）（1+2+3+…+k），=SHAPE\*MERGEFORMATk2（k2﹣1）+（2k+1）SHAPE\*MERGEFORMATk（k+1），=SHAPE\*MERGEFORMATk（k+1）（k2+3k+2），=SHAPE\*MERGEFORMAT（k+1）2k（k+2），=SHAPE\*MERGEFORMAT（k+1）2[（k+1）2﹣1]，所以当n=k+1时等式成立，综上所述，对任意n∈N*，原等式成立．　17．一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．（Ⅰ）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；（Ⅱ）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“两次所取的球颜色不同”，利用对立事件概率计算公式能求出两次所取的球的颜色不同的概率．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“两次所取的球颜色不同”，则P（A）=1﹣[（SHAPE\*MERGEFORMAT）2+（SHAPE\*MERGEFORMAT）2+（SHAPE\*MERGEFORMAT）2]=SHAPE\*MERGEFORMAT．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=1）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=2）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=3）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（X=4）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P SHAPE\*MERGEFORMAT SHAPE\*MERGEFORMAT SHAPE\*MERGEFORMAT SHAPE\*MERGEFORMAT SHAPE\*MERGEFORMATEX=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．　18．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT．（Ⅰ）求g（x）的值域（用t表示）；（Ⅱ）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】（Ⅰ）求出t的范围，根据基本不等式的性质求出g（x）的值域即可；（Ⅱ）求出t=SHAPE\*MERGEFORMAT，得到SHAPE\*MERGEFORMAT＞﹣1，解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞﹣1，g（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT=（x﹣1）+SHAPE\*MERGEFORMAT+2，∵|（x﹣1）+SHAPE\*MERGEFORMAT|=|x﹣1|+SHAPE\*MERGEFORMAT≥2SHAPE\*MERGEFORMAT，当且仅当x=1±SHAPE\*MERGEFORMAT时取“=”，∴（x﹣1）+SHAPE\*MERGEFORMAT≤﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT或（x﹣1）+SHAPE\*MERGEFORMAT≥2SHAPE\*MERGEFORMAT，∴g（x）≤2﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT或g（x）≥2+2SHAPE\*MERGEFORMAT，即g（x）的值域是（﹣∞，2﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT]∪[2﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）；（Ⅱ）当x=1时，f（x）取最小值﹣t﹣1，由|f（x）|的图象得，平行x轴的直线y=x+1与函数y=|f（x）|的图象恰有三个交点，由SHAPE\*MERGEFORMAT=t+1得，（x﹣2）t=x2﹣x+1，显然x≠2，∴t=SHAPE\*MERGEFORMAT，由于t＞﹣1，∴SHAPE\*MERGEFORMAT＞﹣1，即SHAPE\*MERGEFORMAT＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2，∴M=（﹣1，1）∪（2，+∞）．　19．定义：若两个二次曲线的离心率相等，则称这两个二次曲线相似．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右顶点为A，以其短轴的两个端点B1，B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形，M是C上异于B1，B2的一个动点，△MB1B2的重心为G，G点的轨迹记为C1．（Ⅰ）（i）求C的方程；（ii）求证：C1与C相似；（Ⅱ）过B1点任作一直线，自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P，Q，R，S，求SHAPE\*MERGEFORMAT的取值范围．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）（i）设C的方程：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0），则SHAPE\*MERGEFORMAT，求出a，b，即可求C的方程；（ii）求出轨迹C1，可得离心率相等，即可证明C1与C相似；（Ⅱ）设直线方程为y=kx﹣3（k＞0），代入椭圆方程，求出相应线段的长，可得SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可确定SHAPE\*MERGEFORMAT的取值范围．【解答】（Ⅰ）（i）解：设C的方程：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0），则SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a=6，b=3，∴C的方程：SHAPE\*MERGEFORMAT=1；（ii）证明：设G（x，y），M（x0，y）（x0≠0），则x0=3x，y0=3y把点M（3x，3y）的坐标代入C的方程，得轨迹C1的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT=1（x≠0），∴轨迹C1也为椭圆（除去（0，﹣1），（0，1）两点），求得a1=2，c1=SHAPE\*MERGEFORMAT，e1=SHAPE\*MERGEFORMAT，∵C的离心率e=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴e1=e，∴C1与C相似；（Ⅱ）解：设直线方程为y=kx﹣3（k＞0），代入C的方程得（1+4k2）x2﹣24kx=0，∴xS=SHAPE\*MERGEFORMAT，yS=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，代入C1的方程得（1+4k2）x2﹣24kx+32=0，由k＞0，△＞0得k＞SHAPE\*MERGEFORMAT，由韦达定理得xP+xR=SHAPE\*MERGEFORMAT，xPxR=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴|PR|2=（1+k2）[SHAPE\*MERGEFORMAT﹣SHAPE\*MERGEFORMAT]．∵|AQ|=6﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT令f（k）=SHAPE\*MERGEFORMAT（kSHAPE\*MERGEFORMAT）则f′（k）=SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT＜0∴f（k）在（SHAPE\*MERGEFORMAT，+∞）上是减函数，∴SHAPE\*MERGEFORMAT）=SHAPE\*MERGEFORMAT∴0＜SHAPE\*MERGEFORMAT＜SHAPE\*MERGEFORMAT．　20．已知函数f（x）=lnx﹣SHAPE\*MERGEFORMATax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的导函数是f′（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）在曲线y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），使得直线AB的斜率k=f′（SHAPE\*MERGEFORMAT）？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数SHAPE\*MERGEFORMAT，讨论a的符号，这样便可判断导数的符号，从而可判断每种情况是否存在极值，若存在便可求出该极值；（Ⅱ）先根据条件求出斜率SHAPE\*MERGEFORMAT，而可得到SHAPE\*MERGEFORMAT，这样便可根据条件得出SHAPE\*MERGEFORMAT，然后换元SHAPE\*MERGEFORMAT，并设x1＞x2，t＞1，从而得出SHAPE\*MERGEFORMAT；求导数并可判断导数符号g′（t）＞0，从而g（t）＞g（1），而g（1）=0，这即说明g（t）=0无解，从而得出满足条件的两点A，B不存在．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，此时函数f（x）无极值；（2）当a＞0时，SHAPE\*MERGEFORMAT；∴当xSHAPE\*MERGEFORMAT时，g′（x）＞0；当xSHAPE\*MERGEFORMAT时，g′（x）＜0；∴函数f（x）在SHAPE\*MERGEFORMAT上是增函数，在SHAPE\*MERGEFORMAT上是减函数；∴当SHAPE\*MERGEFORMAT时，f（x）有极大值SHAPE\*MERGEFORMAT，无极小值；综上所述，当a≤0时，函数f（x）无极值，当a＞0时，f（x）有极大值SHAPE\*MERGEFORMAT，无极小值．（Ⅱ）由题意得，SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT．由SHAPE\*MERGEFORMAT得，SHAPE\*MERGEFORMAT；即SHAPE\*MERGEFORMAT，即SHAPE\*MERGEFORMAT；令SHAPE\*MERGEFORMAT，不妨设x1＞x2，则t＞1，记SHAPE\*MERGEFORMAT；SHAPE\*MERGEFORMAT，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数；所以g（t）＞g（1）=0，所以方程g（t）=0无解，则满足条件的两点A，B不存在．