2022年高考数学一轮复习考点练习30《基本不等式及其应用》(含答案详解)

一轮复习考点练习30《基本不等式及其应用》一、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3设正实数a，b满足a＋b=1，则(　　)A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值4B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D.a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy=8，则x＋2y的最小值是(　　)A.3　B.4C.eq\f(9,2)D.eq\f(11,2)LISTNUMOutlineDefault\l3已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y=2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是(　　)A.4　B.3C.2D.1LISTNUMOutlineDefault\l3已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，则代数式eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为(　　)A.24　　B.25　C.26D.27LISTNUMOutlineDefault\l3“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件LISTNUMOutlineDefault\l3若2x＋2y=1，则x＋y的取值范围是(　　)A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]LISTNUMOutlineDefault\l3已知x＞0，y＞0，且4x＋y=xy，则x＋y的最小值为(　　)A.8B.9C.12D.16LISTNUMOutlineDefault\l3若a＞b＞1，P=eq\r(lga·lgb)，Q=eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R=lgeq\f(a＋b,2)，则(　　)A.R＜P＜QB.Q＜P＜RC.P＜Q＜RD.P＜R＜QLISTNUMOutlineDefault\l3若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)=eq\r(ab)，则ab的最小值为(　　)A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4LISTNUMOutlineDefault\l3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=eq\f(π,6)，a＋b=12，则△ABC面积的最大值为(　　)A.8B.9C.16D.21LISTNUMOutlineDefault\l3已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4=5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)A.10B.15C.20D.25LISTNUMOutlineDefault\l3当0＜m＜eq\f(1,2)时，若eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　　)A.[－2，0)∪(0，4]B.[－4，0)∪(0，2]C.[－4，2]D.[－2，4]二、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数y=x＋eq\f(m,x－2)(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a，b∈R，且a－3b＋6=0，则2a＋eq\f(1,8b)的最小值为________.LISTNUMOutlineDefault\l3设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2，a＋eq\r(b)=4，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值为________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC的距离分别为m，n，则eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值为________.LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C解析：由于a>0，b>0，由基本不等式得1=a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a=b时，等号成立，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，答案为：B错误；∵eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴ab≤eq\f(1,4)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)=eq\f(a＋b,ab)=eq\f(1,ab)≥4，因此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为4，A错误；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=1－2ab≥1－eq\f(1,2)=eq\f(1,2)，D错误；(eq\r(a)＋eq\r(b))2=a＋b＋2eq\r(ab)=1＋2eq\r(ab)≤1＋1=2，所以eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2).故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：由题意得x＋2y=8－x·2y≥8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2，当且仅当x=2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)=eq\f(x＋y,xy)≥eq\f(2\r(xy),xy)=eq\f(2,\r(xy))，当且仅当x=y时取等号.∵log2x＋log2y=log2(xy)=2，∴xy=4.∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(2,\r(xy))=1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，所以2a＋3b－1=0，即2a＋3b=1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))(2a＋3b)=4＋9＋eq\f(6b,a)＋eq\f(6a,b)≥13＋2eq\r(\f(6b,a)·\f(6a,b))=25，当且仅当eq\f(6b,a)=eq\f(6a,b)，即a=b=eq\f(1,5)时取等号，所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为25.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A；解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的充分不必要条件，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；解析：因为1=2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)，所以2x＋y≤eq\f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x=y时取等号，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：由题意可得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)=1，则x＋y=(x＋y)(eq\f(4,y)＋eq\f(1,x))=5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)×\f(y,x))=9，当且仅当eq\f(4x,y)=eq\f(y,x)，即x=3，y=6时等号成立，故x＋y的最小值为9.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)＞eq\r(lga·lgb)，即Q＞P.∵eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，∴lgeq\f(a＋b,2)＞lgeq\r(ab)=eq\f(1,2)(lga＋lgb)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)=eq\r(ab)知a＞0，b＞0，所以eq\r(ab)=eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)))，即a=eq\r(4,2)，b=2eq\r(4,2)时取“=”，所以ab的最小值为2eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：由三角形的面积公式：S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,4)ab≤eq\f(1,4)×(eq\f(a＋b,2))2=9，当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为9.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8，由S8－2S4=5可得S8－S4=S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)=(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8=eq\f(（S4＋5）2,S4)=S4＋eq\f(25,S4)＋10≥2eq\r(S4×\f(25,S4))＋10=20，当且仅当S4=5时等号成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D；解析：因为0＜m＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq\f(1,2)×[SKIPIF1<0]2=eq\f(1,8)，当且仅当2m=1－2m，即m=eq\f(1,4)时取等号，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)=eq\f(1,m（1－2m）)≥8，又eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2，4].故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：4解析：∵x＞2，m＞0，∴y=x－2＋eq\f(m,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）·\f(m,x－2))＋2=2eq\r(m)＋2，当且仅当x=2＋eq\r(m)时取等号，又函数y=x＋eq\f(m,x－2)(x＞2)的最小值为6，∴2eq\r(m)＋2=6，解得m=4.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(1,4).解析：∵a－3b＋6=0，∴a－3b=－6，∴2a＋eq\f(1,8b)=2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)=2eq\r(2a－3b)=2eq\r(2－6)=eq\f(1,4).当且仅当2a=2－3b，即a=－3，b=1时，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值eq\f(1,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：4.解析：由x=loga2，y=logb2，得eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)=eq\f(2,loga2)＋eq\f(1,logb2)=log2a2＋log2b=log2(a2b).又4=a＋eq\r(b)≥2eq\r(a\r(b))，所以a2b≤16，故eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)=log2(a2b)≤4.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(9,2).解析：如图所示，根据题意，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，则PE=m，PF=n，又由AB=AC，∠BAC=120°，得∠ABC=∠ACB=30°，则PE=eq\f(1,2)PB，PF=eq\f(1,2)PC，即m=eq\f(1,2)PB，n=eq\f(1,2)PC.由PB＋PC=BC=4，得m＋n=2，则eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)=(eq\f(4,m)＋eq\f(1,n))·eq\f(m＋n,2)=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(9,2)，即eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值为eq\f(9,2)，此时m=2n.