第二章参数方程椭圆的参数方程第二章参数方程教学目标及重难点：重点：１．建立椭圆的参数方程２．椭圆的参数方程与普通方程的关系难点：１．参数的探索，确定.２．应用椭圆的参数方程解决相关问
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第二章参数方程圆的参数方程：圆的
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方程：复习回顾：第二章参数方程思考：如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
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：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=θ第二章参数方程思考：如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M轨迹的参数方程.解：设∠XOA=θ,M(x,y),则A:(acosθ,asinθ),B:(bcosθ,bsinθ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.消去参数得:即为点M轨迹的普通方程.第二章参数方程2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b第二章参数方程知识归纳椭圆的标准方程:圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2θ的几何意义是∠AOP=θ椭圆的参数方程:第二章参数方程【练习】把下列普通方程化为参数方程.把下列参数方程化为普通方程第二章参数方程(5)θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ第二章参数方程[研一题][例1] 已知椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标，从而求出矩形的面积的
表
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达式．第二章参数方程∵椭圆方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，∴可设A点的坐标为(10cosα，8sinα)．则|AD|＝20|cosα|，|AB|＝16|sinα|，∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sinα·cosα|＝160|sin2α|.∵|sin2α|≤1，∴矩形ABCD的最大面积为160.第二章参数方程[悟一法]利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．第二章参数方程[研一题][例2] 已知A，B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹．由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得第二章参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6＋0＋6cosθ,3)，,y＝\f(0＋3＋3sinθ,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ.))消去参数θ得到eq\f(x－22,4)＋(y－1)2＝1.第二章参数方程[悟一法]利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．第二章参数方程[研一题][例3] 已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1、B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可．设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．第二章参数方程则MB1的方程：y＋1＝eq\f(sinφ＋1,2cosφ)·x，令y＝0，则x＝eq\f(2cosφ,sinφ＋1)，即|OP|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2cosφ,1＋sinφ))).MB2的方程：y－1＝eq\f(sinφ－1,2cosφ)x，∴|OQ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2cosφ,1－sinφ))).∴|OP|·|OQ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2cosφ,1＋sinφ)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2cosφ,1－sinφ)))＝4.即|OP|·|OQ|＝4为定值．第二章参数方程作业：4．设F1、F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A(1，eq\f(3,2))到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．第二章参数方程5．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝4sinθ))(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．[通一类]1．已知实数x，y满足eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．第二章参数方程
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