中考数学总复习专题训练（附详细解析）：圆周角

中考数学专题训练（附详细解析）圆周角1、（德阳市专题）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是A、5　　　　B、　　C、　　D、答案：D解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠CPQ=∠CAB，∴△ABC∽△PQC；因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC，∴＝，AC、BC为定值，所以PC最大时，CQ取到最大值．∵AB=5，tan∠ABC＝，即BC：CA=4：3，所以，∴BC=4，AC=3．PC的最大值为直线5，所以，，所以，CQ的最大值为2、（专题济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（　　）　A．4B．C．6D．考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．专题：计算题． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．解答：解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．　3、(专题临沂)如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°.(B)60°.(C)45°.(D)30°.答案：B解析：连结OC，则∠OCB=45°，∠OCA=15°，所以，∠ACB=30°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，知∠AOB=60°4、（专题•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（　　） 　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 8 考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．3718684 专题： 计算题． 分析： 连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径． 解答： 解：连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得：BC=10，则圆A的半径为5．故选C 点评： 此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．5、（专题成都市）如图，点A,B,C在上，，则的度数为（）A.B.C.D.答案：D解析：因为同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，所以，∠BOC＝2∠BAC＝100°，选D。6、（专题•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　　） 　 A． 2 B． 8 C． 2 D． 2 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 专题： 探究型． 分析： 先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长． 解答： 解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故选D． 点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7、（专题•雅安）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值． 分析： 首先连接OC，由CE是⊙O切线，可得OC⊥CE，由圆周角定理，可得∠BOC=60°，继而求得∠E的度数，则可求得sin∠E的值． 解答： 解：连接OC，∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠E=90°﹣∠COB=30°，∴sin∠E=．故选A． 点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8、（专题•巴中）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（　　） 　 A． 116° B． 32° C． 58° D． 64° 考点： 圆周角定理． 分析： 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案． 解答： 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．故选B． 点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9、（专题泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（　　）　A．OC∥AEB．EC=BCC．∠DAE=∠ABED．AC⊥OE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．解答：解：A．∵点C是的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B．∵=，∴BC=CE，本选项正确；C．∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．　10、（专题泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）　A．60°B．70°C．120°D．140°考点：圆周角定理．分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．故选D点评：本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．　11、（专题•莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（　　） 　 A． 135° B． 122.5° C． 115.5° D． 112.5° 考点： 圆周角定理． 分析： 首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理即可求解． 解答： 解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°，∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．∴∠C=（360°﹣135°）=112.5°．故选D． 点评： 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．12、（专题•湖州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　） 　 A． 156° B． 78° C． 39° D． 考点： 圆周角定理． 专题： 计算题． 分析： 观察图形可知，已知的圆心角和圆周角所对的弧是一条弧，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由圆心角∠BOC的度数即可求出圆周角∠BAC的度数． 解答： 解：∵圆心角∠BOC和圆周角∠BAC所对的弧为，∴∠BAC=∠BOC=×78°=39°．故选C 点评： 此题要求学生掌握圆周角定理，考查学生分析问题、解决问题的能力，是一道基础题．13、（专题鞍山）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）　A．45°B．35°C．25°D．20°考点：圆周角定理．专题：探究型．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=45°．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．　14、（专题•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　） 　 A． 55° B． 60° C． 65° D． 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 专题： 计算题． 分析： 连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数． 解答： 解：连结BD，如图，∵点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故选C． 点评： 本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．　15、（专题•淮安）如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（　　） 　 A． 40° B． 50° C． 80° D． 100° 考点： 圆周角定理．3718684 分析： 在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数． 解答： 解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠A=∠BOC=40°．故选A． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．16、（专题•衡阳）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（　　） 　 A． 50° B． 80° C． 90° D． 100° 考点： 圆周角定理． 分析： 因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 解答： 解：∵∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ABC=100°．故选D． 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17、（专题•宜昌）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　） 　 A． B． AF=BF C． OF=CF D． ∠DBC=90° 考点： 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 分析： 根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案． 解答： 解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C． 点评： 本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．18、（专题•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 分析： 首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值． 解答： 解：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA•cos45°=×1=，∴BD=OB﹣OD=1﹣，∴AB==，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC=．故选B． 点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．19、（专题•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质． 分析： 根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值． 解答： 解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B． 点评： 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．20、（专题•黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） 　 A． 50° B． 40° C． 60° D． 70° 考点： 分析： 连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数． 解答： 解：连接OC，如图所示：∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．故选A． 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21、（专题安顺）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（　　）　A．100°B．80°C．50°D．40°考点：圆周角定理．分析：由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=40°．解答：解：∵∠AOB=80°∴∠ACB=∠AOB=40°．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．　22、（专题•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 4 D． 3 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．3718684 专题： 探究型． 分析： 先根据∠BAC=∠BOD可得出=，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论． 解答： 解：∵∠BAC=∠BOD，∴=，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=CD=4，设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．故选B． 点评： 本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23、(专题广东湛江)如图，是⊙的直径，，则（）解析：考查圆心角与圆周角的关系及邻补角的和为，，选24、（专题安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。25、（专题•徐州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB的度数为　60　°． 考点： 圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠AOB=2∠C，进而可得答案． 解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=2×30°=60°．故答案为：60°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．26、（专题•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=　2　． 考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系． 分析： 根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 解答： 解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°，∴∠CBD=∠CAD=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，∵AD=6，∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．故答案为：2． 点评： 本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．27、（专题•益阳）如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=　5　cm． 考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形． 分析： 根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出BC的长度． 解答： 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵AB=10cm，∠CAB=30°，∴BC=AB=5cm．故答案为：5． 点评： 本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据圆周角定理判断出∠ACB=90°．28、（专题•郴州）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=　20　°． 考点： 圆周角定理．3718684 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB． 解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=70°，∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°，∵OC=OB（都是半径），∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣∠BOC）=20°．故答案为：20°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．29、（专题•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=　28　度． 考点： 圆周角定理；垂径定理．3718684 分析： 根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案． 解答： 解：∵OB⊥AC，∴=，∴∠ADB=∠BOC=28°．故答案为：28． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．30、（专题•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=　52°　度． 考点： 圆周角定理；垂径定理．3718684 分析： 由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案． 解答： 解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，∴=，∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．故答案为：52°． 点评： 此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．31、（专题•自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是　　． 考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．3718684 专题： 网格型． 分析： 根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值． 解答： 解：∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为： 点评： 此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．32、（专题•天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为　55　（度）． 考点： 切线的性质．3718684 分析： 首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 解答： 解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．故答案为：55． 点评： 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．33、（专题•黔西南州）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为　50°　． 考点： 圆周角定理． 分析： 连接OA，根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数． 解答： 解：连接OA，由题意得，∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=80°，∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB=（180°﹣∠AOB）=50°．故答案为：50°． 点评： 本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．34、（专题•常德）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=　50°　． 考点： 圆周角定理．3718684 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，进而可得答案． 解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°．故答案为：50°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．35、（专题•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=　80°　． 考点： 圆周角定理；垂径定理．3718684 分析： 根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案． 解答： 解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，∴=，∴∠BOD=2∠BAC=80°．故答案为：80°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．36、（专题•娄底）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=　30°　． 考点： 圆周角定理． 分析： 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 解答： 解：由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°．故答案为：30°． 点评： 本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．37、（专题•佛山）图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=　　．分析：根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°．解：解：∵CA∥OB，∴∠CAO=∠AOB=30°，∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=30°，∴∠AOD=2∠C=60°，∴∠BOD=60°﹣30°=30°．故答案为30°．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．38、（专题甘肃兰州4分、18）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是度．考点：圆周角定理．分析：首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．解答：解：连接OE，∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE=3×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°．∴点E在量角器上对应的读数是：144°．故答案为：144．点评：本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．　39、（专题•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为　（0，12）或（0，﹣12）　． 考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．3718684 分析： 如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个． 解答： 解：设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，∴OC=OF+CF=5+7=12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）． 点评： 本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．40、(专题江西省)如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．【答案】（1）如图1，点P就是所求作的点；（2）如图2，CD为AB边上的高.【考点解剖】本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．【解题思路】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E,连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D,连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．【解答过程】略.【方法规律】认真分析揣摩所给图形的信息，结合题目要求思考.【关键词】创新作图圆三角形的高41、（专题•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径． 考点： 切线的性质；圆周角定理．3718684 专题： 计算题． 分析： （1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长． 解答： （1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=． 点评： 此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．42、（专题•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线． 考点： 切线的判定． 专题： 证明题． 分析： 连接DE，则根据圆周角定理可得：DE⊥BC，由AB=AC，可得∠C=∠B，继而可得∠CEF+∠OEB=90°，由切线的判定定理即可得出结论． 解答： 解：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB，∵∠FEC+∠C=90°，∴∠FEC+∠OEB=90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O半径，∴直线EF是⊙O的切线． 点评： 本题考查了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般．43、（专题•南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长． 考点： 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．3718684 专题： 证明题． 分析： （1）连结AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，这样根据切线的判定定理即可得到结论；（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP． 解答： （1）证明：连结AD、OD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，即DC=DB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，∴四边形OAED为矩形，而OD=OA，∴四边形OAED为正方形，∴AE=AO，∴tan∠ABE==；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠ABF+∠FAB=90°，而∠EAP+∠FAB=90°，∴∠EAP=∠ABF，∴tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，AE=2，∵tan∠EAP==，∴EP=1，∴AP==． 点评： 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．44、（专题•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义． 专题： 几何综合题． 分析： （1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径． 解答： （1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5． 点评： 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．45、（专题•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD． 考点： 切线的性质；等腰直角三角形；圆周角定理．3718684 分析： （1）由AB是⊙O的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度数；（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得AD=CD． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，BD⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=CB，∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC，∴AD=CD． 点评： 此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．46、（专题哈尔滨）)如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆0，交AB于点D，交AC于点E．AD=AE(1)求证：AB=AC；(2)若BD=4，BO=，求AD的长．考点：（1）圆周角定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定分析：连接CD、BE，利用直径所对圆周角900、证明△ADC≌△AEB得AB=AC，（2）利用△OBD∽△ABC得得BC=4再求AB=10从而AD=AB—BD=6此题利用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．解答：(1)证明：连接CD、BE∵BC为半圆O的直径．∴∠BDC=∠CEB=900∴∠LADC=∠AEB=900又∵AD=AE∠A=∠A∴△ADC≌△AEB∴AB=AC(2)解：连接0D∵OD=OB．∴∠OBD=∠ODB∵AB=AC∴∠0BD=∠ACB∴∠ODB=∠ACB又∵∠OBD=∠ABC．∴△OBD∽△ABC∴