转化思想在排列组合中应用

PAGE\*MERGEFORMAT#转化思想在排列、组合中应用有些排列组合问题，直接考虑不易解决.如果对问题进行观察、分析、联想，把不熟悉、不 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 、复杂的问题通过分割、变形、映射等手段转化为热悉的、规范的、简单的甚至模式化的问题，则可使原问题轻松获解.这种转化 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在解题过程中常用，它是我们进行解题的杠杆，不但能拓宽解题思路，还能避繁就简，化难为易.一、抽象与具体的转化运用集合语言，常常可以使问题更加简洁、明确、严密，能化抽象为具体.图1例16名运动员参加4X100接力赛，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少种安排方法？解：用？card??(A)? 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示甲跑第一棒的排列数，用？card??(B)?表示乙跑第四棒的排列数，则？card?(AAB)表示甲跑第一棒且乙跑第四棒的排列数，AUB表示甲跑第一棒或乙跑第四棒的排列数结合图1,得？card?=?card?(I)-?card??(A)?-?card??(B)?+?card(AnB).因此所求排列数为A?4?6-A?3?5-A?3?5+A?2?4=252.二、正与反的转化我们解题一般总是从正面入手，习惯正向思维，但有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大，不妨打破思维常规实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能绝处逢生.例28个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻，A、B、C三人也互不相邻，有多少种不同的站法？解：满足AB、C互不相邻的排法有A?5?5A?3?6种，这里包含甲、乙相邻，甲、乙不相邻.在AB、C互不相邻的条件下，甲、乙相邻的排法有A?4?4A?2?2A?3?5种.故有A?5?5A?3?6-A?4?4A?2?2A?3?5=11520种.例3四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？解：从10个点中取4个点的取法有C?4??10?种，其中4点共面的分为三类：从四面体的每个面上的6点之中取4点，有4C?4?6种;4点成一个平行四边形的4个中点，有3种；4点中有3点位于同一条棱，另一点是对棱中点，共有6种.故有C?4??10?-4C?4?6-3-6=141.三、生与熟的转化排列组合问题千变万化，我们经常会遇到一些较复杂的或生疏的问题.对于这些问题，我们要冷静思考，仔细分析，抓住问题的实质，将它转化为另一个与它有关的自己早已熟悉的问题去解答.化生为熟是解题的通用方略.例4马路上有编号为1,2,3,…,8,9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种？解：将问题转化为熟悉的问题：3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间（不包括首尾两侧），有多少种插法？因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球，于是，这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题，故共有？C?3?5=?10种方法.故原题答案为10种方法.图2例5某城市街道如图2所示,某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有多少种？解：从A地前往B地必须走4个横段4个竖段，用a表示横段，b表示竖段，则问题转化为熟悉的问题：4个a，4个b的排列问题，有C?4?8种.所以，所求路程最短的走法有70种.例6楼梯共有12级，某人上楼，每步可以上一级，也可以上两级，要用8步走完这12级楼梯，共有多少种不同的走法？解：要用8步走完这12级楼梯，有且只有4步上两级，于是问题化为熟悉的问题：4个2,4个1的排列问题，有C?4?8种.故原题答案为70种不同的走法.四、排列组合与概率的转化我们常利用排列组合方法去解决古典概型问题，反过来，利用概率的思想处理某些排列组合问题，不仅思路清晰，解法简便，而且对融会贯通，促进知识的深化均有裨益例7由数字0,123,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个.解：由数字0，1，2，3，4，5可组成没有重复数字的六位数C?1?5A?5?5个,又“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”的机会均等，故原题答案为12C?1?5A?5?5=300个.例8从7个元素a、b、c、d、e、f、g中选取5个作排列，若a在b前，亦在c前，共有多少种不同的排法？解：从d、e、f、g中选取2个元素，有C?2?4种选法，选取的2个元素与a、b、c作排列，有A?5?5种排法.因为a、b、c之中任一元素在其他两元素之前的情况是等可能的，故原题答案为13C?2?4A?5?5=240种排法.五、组合与组合数恒等式的转化有关组合数的恒等式，虽然可以直接利用组合数的有关公式证明，但是往往过程较繁.如果细察题目特征，类比联想，构造模型，利用组合知识及“乘法原理”、“加法原理”来解决，思路明了，趣味横生.例9求证：(C?0?n)?2+(C?1?n)?2+…+(C?n?n)?2=C?n??2n解：设有A、B两只口袋，A中装有n个不同的白球，B中装有n个不同的红球.一方面，从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有C?n??2n?种取法.另一方面，从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球可分为n+1类：不取A袋中的小球，有C??0??nC?n?n=(C?0?n)?2种；取A袋中的1个小球，有C?1?nC??n-1??n=(C?1?n)?2种；取A袋中的2个小球，有C?2?nC??n-2??n=(C?2?n)?2种；依次类推，取A袋中的n个小球，有C?n?nC?0?n=(C?n?n)?2种.根据加法原理，从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有(C?0?n)?2+(C?1?n)?2+…+(C?n?n)?2种取法.故原式得证.六、映射转化在解决问题时，注意和已解决过的问题建立一对一或多对一映射，则可使解法完整、合理，有效避免“重复”和“遗漏”.例10设凸六边形C的任意三条对角线都不在C的内部共点，在C的内部对角线交点数有多少个？解：在C内相交的两条对角线对应于C的四个顶点，反过来，C的四个顶点对应于两条对角线的一个交点故交点数为C?4?6=15.例11△ABC内有任意不共线的2002个点，加上AB、C三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成多少个小三角形？解：小三角形与“内角和180°”之间是对应关系.设一共可以形成x个小三角形，则XX180°=2002X360°+180°.解得x=4005，即一共可以形成4005个小三角形.例12长方体的棱、面对角线、体对角线中，异面直线共有多少对？解：题中涉及的直线是长方体八个顶点中任意两点的连线.这八个顶点共可构成(C?4?8-12)个四面体，每个四面体对应三对异面直线.故共有174对异面直线.七、等效转化等效转化是物理学中一种常用转化方法，它通过换个说法、换个图形，将原问题等效转化为另一问题，通过对新问题的研究达到解决原问题的目的.在数学中，运用这种方法，往往会获得独具特色的简捷解法.例13组织一个球队共10人，他们从3所中学中组成，每个学校至少2人，名额分配 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 有多少种？解：将问题等效转化：先每所学校分1个名额，剩余7个名额，3所中学每校至少1个名额，有多少种分配方案？问题即是用2个隔板插入6个间隙中的插法有多少种？故共有C?2?6=15种方法.所以，原题答案为15种方法.图3例14如图3(1)中的每个开关都有闭合与不闭合两种情况，因此5个开关共有2?5种可能，在这2?5种可能中，电路从P到Q接通的情况共有多少种？解：电路从P到Q接通的情况分两类：①开关3不闭合，电路图等效转化为图3(2)，则电路从P到Q接通的情况有2XC?2?2X(C?0?2+C?1?2+C?2?2)-1=7种.②开关3闭合，电路图等效转化为图3(3),则电路从P到Q接通的情况有(C?1?2+C?2?2)X(C?1?2+C?2?2)=9种.故电路从P到Q接通的情况共有16种.?四川省苍溪中学(628400)?苍溪县城郊中学(628400)