2.4线段(xiànduàn)的垂直平分线(1)第一页，共10页。如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线(zhíxiàn)l对称，问线段CD所在的直线(zhíxiàn)l与线段AA′有什么关系？观察我发现(fāxiàn)AD=A′D,l⊥AA′已知点A与点Ａ′关于直线(zhíxiàn)l对称，如果沿直线(zhíxiàn)l折叠，则点A与点Ａ′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线(zhíxiàn)l既平分线段AA′，又垂直线(zhíxiàn)段AA′．●●lAA′D21(A)我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图第二页，共10页。说一说我们(wǒmen)把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。（中垂线）线段(xiànduàn)是轴对称图形，线段(xiànduàn)的垂直平分线是它的对称轴.lABC用符号语言描述(miáoshù)右图的内容(A)(B)BAPl如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA,PB之间有什么关系？作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.探究第三页，共10页。结论线段垂直平分线上的点到线段两端的距离(jùlí)相等.几何(jǐhé)语言：∵CD⊥AB,AC=BC∴PA=PBC动脑筋我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(xiāngděng)，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等(xiāngděng)，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？(1)当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.由此得出线段垂直平分线的性质定理：第四页，共10页。（2）当点P在线段AB外时,如图,因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边(dǐbiān)AB上的高PC也是底边(dǐbiān)AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.因此(yīncǐ)直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.到线段两端距离(jùlí)相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：（判定定理）第五页，共10页。例1已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接(liánjiē)OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.举例证明(zhèngmíng)∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.例2在三角形ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB=8cm，△ACD的周长(zhōuchánɡ)为10cm。求△ABC的周长(zhōuchánɡ)。CAEDB
分析
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：∵△ACD的周长=AC+CD+AD=10而AD=BD∴AC+CD+BD=AC+BC=10∴△ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18第六页，共10页。练习1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别(fēnbié)交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.答：∠CAE=50°.2.已知：如图，点C，D是线段(xiànduàn)AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明(zhèngmíng)：∵AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又AB与CD相交于点O∴AO=BO.第七页，共10页。练习6.如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证(qiúzhèng)：AB＋CD＝AD＋BC．7.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证(qiúzhèng)：点D在AC的垂直平分线上．3．若P是线段(xiànduàn)AB的垂直平分线上一点，且PB＝6cm，则PA＝________cm.4．如图2，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长是12cm，AC＝5cm，则AB＋BD＋DC＝________cm；△ABC的周长是________cm.5.如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长．(4)题(5)题(6)题(7)题第八页，共10页。如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长(zhōuchánɡ)等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中
考试题
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例解析(jiěxī)∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段(xiànduàn)垂直平分线上的点到线段(xiànduàn)两端点的距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择C.C第九页，共10页。小结1.线段(xiànduàn)的垂直平分线的性质是什么？2.线段(xiànduàn)的垂直平分线的判定是什么？3.这两个(liǎnɡɡè)定理的关系是什么？作业：P72A1、2、3第十页，共10页。
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