【摘要】比利时
数学
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家丹德林利用圆锥的两个内切球,直接在圆锥上导出椭圆的焦半径,与椭圆的轨迹定义有效的统一在一起。本文通过丹德林双球模型产生的椭圆,从定义出发探究椭圆的离心率与截面相应角的关系。 【关键词】丹德林双球模型;离心率;截面 【中图分类号】g633.6 1.一道习
题
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教学期间,遇到这样一道选择题:一个半径为2的球放在桌面上,桌面上的一点a的正上方有一个点光源a′,aa′与球相切,aa′=6,球在桌面上的投影是一个椭圆,则这个椭圆的离心率等于() abcd 2.习题的题源 这道习题背景来自于人教社a版教材选修2-1的"探究与发现",教材中利用"过球外一点做球的切线,则切线长都相等"这一结论,证明了用一个平面去截圆锥,得到的截口是椭圆,从证明过程中可以得到以下结论: (1)两个球的球心都在圆锥的轴上;(2)两个球与椭圆面的切点是椭圆的两个焦点,(3)过椭圆的长轴和圆锥的轴的截面中,两个球的截面大圆分别与三角形和四边形内切(如图1) 同样情况,用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱,得到的截口曲线也是椭圆。下面给予证明:如图2,用两个半径相等的球内切与圆柱,并且都与截面相切,记切点为e、f,在截口曲线上任取一点a,过a做圆柱的母线,分别与两个球相切于点b、c,则ae=ac,af=ab,于是可得ae+af=ab+ac=bc,bc恰好等于两球的球心距,是定值,由椭圆的定义可知,截口是椭圆。同样可以得到以下结论:(1)两个球的球心和截面中心都在圆柱的轴上;(2)两个球与截面的切点是椭圆的焦点;(3)椭圆的短轴长等于圆柱底面直径;(4)过椭圆长轴和圆柱的轴的截面中,两个等圆内切于直角梯形。 3.截面椭圆的离心率 在圆锥截面椭圆中,过圆锥的轴和椭圆的长轴的截面如图3,在中,设,球的截面是球的大圆圆o1,与a1a2切与f2点,该点是椭圆的一个焦点,由正弦定理可以得到:,其中, 那么 ,从而得到椭圆离心率。 在圆柱斜截面椭圆中,过圆柱的轴与椭圆长轴的截面如图4,设与矩形一边所成锐角为θ,过作平行于矩形的另一边,则等于圆柱的底面直径,也等于椭圆的短轴长。 中,, 从逻辑关系看,圆柱截面图形可以看着圆锥截面中p点在无穷远处,此时中心投影可以近似地看着平行投影,,利用洛比塔法则可以证明: 利用三角变换也可以得到同样的结论。从推理过程看,两种截面中的椭圆离心率的大小,前者当圆锥轴截面顶角一定时,可由圆锥过点的母线与截面所成角来确定,后者椭圆离心率可由圆柱母线与截面所成角的余弦值确定。 4.结论的应用举例 例1:(文首例题)如图5,由条件可得,又有af=ac=2,则, 设bd=bf=x,由勾股定理得,x=6, 在中,,,,从而 例2:球在平面上的斜射影为椭圆,已知一巨型广告气球直径6米,太阳光线与地面所成角为60°,求此广告气球在地面上投影椭圆的离心率。 解:太阳光线与地面所成角即为圆柱母线与截面所成角, 因此,则椭圆离心率 例3:平面与平面相交成锐角,平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆,求角的大小。 解析:本题的背景是:一个圆面在与平面垂直的平行光线下,绕一条直径转动圆面,在平面上的投影是一个椭圆,和第二种截面椭圆推理
方法
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相同,当圆面与投影面所成二面角为时,,因此本题中. 从上面结论的研究过程可以看出,教材编写者在设计"探究与发现","信息技术与应用","阅读与思考"等栏目时是独具匠心,不仅希望拓展学生的知识视野,让学生知道数学在生活中的应用,还让师生回归生活本源和知识本源,探究最本质的知识与方法,发现数学中一些问题的真谛和美。