【全国卷Ⅲ】2019年普通高等学校全国统一考试理数试题(含答案)

5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项为和为15,且a5=3a3+4ai，贝Va3=绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 注意事项 软件开发合同注意事项软件销售合同注意事项电梯维保合同注意事项软件销售合同注意事项员工离职注意事项 :1•答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 卡上。2•回答选择题时，选出每小题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={-1,0,1,2},B={xx2^1}，则a・b=A.「-1,0,VB.「0,1C.；、-1,VD.〈0,1,212•若z(1i)=2i，则z=A.-1-iB._1+iC.1-iD.1+i3•《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24B.8A.166.已知曲线y=aexxlnx在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+b，则A.a=e,b--1B.a=e，b=1C.a=eJ,b=1D.a-e_1,b--17.函数y二—在1-6,61的图象大致为2x+2」&如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD丄平面ABCD,M是线段ED的中点,贝UA.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线224B.BM^EN，且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D.BM毛N，且直线BM,EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的:为0.01，则输出S的值等于A.2-A22x10.双曲线C:42y-=1的右焦点为点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若PO=PF，则△PFO的面积为11•设fx是定义域为的偶函数，且在0,：：单调递减，则1414\|72-3232C.f(2~2)>f(2~i)>f(logs1)22上3上AD.f（八）＞f（9-2）＞f（log3丄）412.设函数fx=sin（「x'）（-＞0），已知fx在［0,2二I有且仅有5个零点，下述四个结论：5fx在（0,2二）有且仅有3个极大值点fx在（0,2二）有且仅有2个极小值点fx在（0/）单调递增101229」的取值范围是［上,29）510其中所有正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知a,b为单位向量，且a•b=0,若c=2a—V5b，则cosva，ex.s记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，玄严0,a2=3a1,则°—.S52215.设F1,F2为椭圆C:—+—1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若^MF1F2为等腰二角形，则3620M的坐标为.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A3C1D1挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17~21题为必考题，每个试题考生都(一)必考题：共60分。（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同•经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比•根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(12分)A+C△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asinbsinA.23132(1)求B；(2)若厶ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.(12分)图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG,如图2.证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC丄平面BCGE;求图2中的二面角B-CG-A的大小.IM2(12分)已知函数f(x)=2x‘-ax2•b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b，使得f(x)在区间［0,1］的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a,b的所有值;若不存在，说明理由•x21已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B.22证明：直线AB过定点：5若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）所在圆的如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),B(、.2,2),CC、2,),D(2,二)，弧AB,BC,CD44圆心分别是（1,0）,（1,二）,2（1,二），曲线Mi是弧ab，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD•（〔）分别写出Mi,M2,M3的极坐标方程;（2）曲线M由Mi,M2,M3构成，若点P在M上，且|OP|=』3，求P的极坐标•［选修4-5:不等式选讲］（10分）设x,y,zR，且xyz=1.222(1)求(x-1)(y1)(z1)的最小值;I(2)若(x-2)(y-1)，(z-a)成立，证明：a乞-3或a--1.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案、选择题1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.C10.A11.C12.D、填空题14415.(3/.15)16118.88三、解答题17.解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.b=1-.05-0.15-0.70=0.10.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为>0.15+30.20+40.30+50.20+6010+70.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为>0.05+40.10+50.15+60.35+70.20+8区15=6.00.18•解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinACsinBsinA.2因为sinA=0，所以sinA^C2二sinB.由ABC=180，可得诃sB，故cos^2sin%sB.2222B因为cos02，.Bsin2，因此B=60（2）由题设及（知AABC的面积SAabc由正弦定理得acsinAsin120-CsinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形,故0°A<90°0°C<90°由（1）知A+C=120°,所以30°0，则当x(-：：，0)a用时，f(x).0;当xiiO,时,f(x)：：：0.故f(x)在(3丿I3丿(_：：,0),?,•：：单调递增，在0,旦单调递减；13丿J3丿若a=0,f(x)在(_：：,•：：)单调递增；若a<0，则当x-::—U(0时，f(x)•0;当x三-,0时，f(x)：：：0.故f(x)在I3丿13丿-：：,|,(0「：)单调递增，在|,0单调递减•(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当aw0时，由(1)知，f(x)在［0,1］单调递增，所以f(x)在区间［0,I］的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)=2-a，b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a，b=1，即a=0,b=-1.(ii)当a>3时，由(1)知，f(x)在［0,1］单调递减，所以f(x)在区间［0,1］的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)=2-ab.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a•b--1,b=1，即a=4,b=1.TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark105"aa(iii)当0