2021高中数学 2-3 第2课时角度和物理问题同步导学案 北师大版必修5

本资料为共享资料来自网络如有相似概不负责PAGE第2课时　角度和物理问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题.2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题.3.用解三角形的知识，解决有关的实际问题，目的是进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识，以达到学习数学的目的.重点难点点拨重点：构建数学模型探求角度测量方法.　难点：将实际问题抽象成数学模型.学习方法指导要测量角的大小，可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小，根据所测出的三角形中的量，运用正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中，也都与求角的问题相联系.要清楚问题中的角的含义，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根据已知线段和角以及要求的角，选择有充分条件的三角形求解.知能自主梳理1.测量角度就是在三角形内利用　　　　　　　和　　　　　　　求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夹角叫做　　　　　　　.3.坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图中的），叫做　　　　　　　.［ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ］　1.正弦定理　余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命题方向　测量角度问题［例1］　在南海伏季渔中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°的方向，相距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？［解析］　如图所示，设乙船沿B点向北行驶的速度大小为v,则甲船行驶的速度大小为v,两船相遇的时间为t,则BC=vt,AC=vt，在△ABC中，∠ABC=120°,AB=a,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,即3v2t2=a2+v2t2+vat,∴2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=-(舍去).∴BC=a,∴∠CAB=30°.即甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇.［说明］　解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解..变式应用1在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶仰角为2θ，再向塔走10米，测得塔顶仰角为4θ，试求角θ的度数.［分析］　如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解.［解析］　解法一：∵∠PAB=θ，∠PBC=2θ，∴∠BPA=θ，∴BP=AB=30，又∵∠PBC=2θ，∠PCD=4θ，∴∠BPC=2θ，∴CP=BC=10，在△BPC中，根据正弦定理得：，即=，∴，由于sin2θ≠0,∴cos2θ=，∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°,∴θ=15°.解法二：在△BPC中，根据余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ把PC=BC=10，PB=30代入上式得，300=302+（10）2-2×30×10cos2θ化简得：cos2θ=,∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°,∴θ=15°.解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，∵△BPC为等腰三角形,∴PE=BE=15,在Rt△BEC中，cos2θ=,∵0°<2θ<90°,∴2θ=30°,∴θ=15°.命题方向　与角度有关的问题［例2］　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在距A处北偏东45°方向、距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°的方向，以9nmile/h的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.［分析］　根据题意画出图形（如图），由题意知AC=10，设渔轮向小岛B靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′处相遇，则∠ACB′=120°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′所用时间相同这一条件，解△AB′C即可.［解析］　设舰艇与渔轮相遇所需时间为th，则AB′=21t,B′C=9t.在△AB′C中，根据余弦定理，则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°,可得212t2=102+81t2+2×10×9t×,整理，得360t2-90t-100=0.∴362t-9t-10=0,∴(12t+5)(3t-2)=0.∴t=或t=-(舍去)，∴舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB′=14nmile,B′C=6nmile.由正弦定理，得,则sin∠CAB′=,∴∠CAB′≈21.8°,∴舰艇航行的方位角为北偏东66.8°.［说明］　本题应首先理解方位角的概念（方位角指的是从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的最小正角），然后作出示意图，利用等差关系列方程求解即可，最后回答行驶的方向时，要注意正确描述方位角.变式应用2（2020·陕西高考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？［分析］　利用正弦定理求BD→利用余弦定理求DC→结论［解析］　由题意知AB=5（3+），∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°∴sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°=.在△ABD中，由正弦定理得，∴BD==又∠DBC＝180°-60°-60°=60°.BC=20，在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos60°=300+1200-2×10×20×=900.∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）.答:救援船到达D点需要1小时.探索延拓创新命题方向　正、余弦定理在物理中的应用［例3］　图所示用两根分别长5米和10米的绳子，将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）.［分析］　决此类问题要先依据题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理问题转化为数学中向量的加法，然后由已知条件进行计算.［解析］　图所示，由已知条件可知AG与铅直线成45°角，BG与铅直方向成60°角，A处所受力为fa，在△GED中，∠EGD=45°,∠GED=60°，∴∠GDE=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得，∴GD===150-50.∴A处所受力大小为（150-50）N.变式应用3地球与金星的公转轨道分别是直径为2.98×108km和2.14×108km的近似圆，圆心为太阳，某时刻，地球和金星的连线与地球和太阳的连线成18°的角，如图，求此时地球与金星之间的距离（地球、金星、太阳均视为点，结果保留3个有效数字）.［解析］　此时刻太阳、地球、金星的位置分别在点O、A、B处，则OA=2.98×108km,OB=2.14×108km,∠A=18°，由正弦定理，得sin∠ABO=≈0.4303，∵OA>OB,∴∠ABO=25.49°或∠ABO=154.51°,当∠ABO=25.49°时，∠AOB=136.51°，AB=≈4.77×108（km）.当∠ABO=154.51°时，∠AOB=7.49°，AB=≈9.03×107（km）.答：此时地球与金星之间的距离约为4.77×108km或9.03×107km.名师辨误做答［例4］　海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（-1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？［误解］　缉私船用t小时，在D处追上走私船，在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×（-1）×2×cos120°＝6，∴BC=.在△BCD中，BD=10t,CD=10t,由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD×cos∠CBD,∴(10t)2=6+(10t)2-2××10t×（-），整理，得100t2-5t-3=0,解得t=.∴BD=,又BC=,∠CBD=120°.∴∠BCD=∠BDC=30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.［辨析］　述解法错误的原因在于默认为∠CBD=120°，而没有给出证明，并且多余的求出时间t.［正解］　缉私船用t小时在D处追上走私船.在△ABC,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=(-1)2+22-2×（-1）×2×cos120°＝6，∴BC=.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC=sin∠BAC=,∴∠ABC=45°，∴BC与正北方向垂直.∴∠CBD=120°.在△BCD中，由正弦定理，得,∴,∴sin∠BCD=,∴∠BCD=30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.课堂巩固训练一、选择题1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（　　）A.北偏西34°27′　　　　　　　　　　　　B.北偏东55°33′C.北偏西55°32′　　　　　　　　　　　　D.南偏西55°33′［答案］　A2.如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为，设α为坡角，那么cosα等于（　　）A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.［答案］　B［解析］　由题意，得tanα=,∴,∴,即,∵α为锐角，∴cosα=.3.一船以22km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45°,1小时30分后航行到B处,在B处看灯塔S在船的南偏东15°,则灯塔S与B之间的距离为(　　)A.66km　　　　　　　　　　　　　　　　B.132kmC.96km　　　　　　　　　　　　　　　　D.33km［答案］　A［解析］　如图，∠ASB=180°-15°-45°=120°，AB=22×，由正弦定理，得，∴SB=66km.二、填空题4.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为　　　　　　.［答案］　6km［解析］　如图，水流速和船速的合速度为v，在△OAB中：OB2=OA2+AB２-2OA·AB·cos60°，∴OB=v=2km/h.即船的实际速度为2km/h，则经过h，其路程为2×=6km.5.一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x=　　　　　　　.［答案］　cm［解析］　如图△ABC中，∠A=45°＋15°＝60°，∠B=45°+30°=75°,∠ACB=45°,由正弦定理知,∴x=.课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）A.北偏东10°　　　　　　　　　　　　　　　B.北偏西10°C.南偏东10°　　　　　　　　　　　　　　　D.南偏西10°［答案］　B［解析］　如图，由题意知∠ACB=180°-40°-60°＝80°，∵AC=BC,∴∠ABC=50°,∴α=60°-50°=10°.2.甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　)A.min　　　　　　　　　　　　　　　　B.hC.21.5min　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2.15h［答案］　A［解析］　如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos120°，即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)×6x×(-)=28x2-20x+100.当x=-时，s2最小，此时x=h=min.3.如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α（α＜β)，则A点离地面的高AB等于（　　）A.　　　　　　　　　　　　　B.C.　　　　　　　　　　　　　D.［答案］　A［解析］　由tanα=,tanβ=，联立解得AB＝.4.一质点受到平面上的三个力、、（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知、成60°角，且、的大小分别为2和4，则的大小为(　　)A.6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.2C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2［答案］　D［解析］　由题意，得++＝0，∴＋、＝-,∴(+)2=2,∴+2+2··＝2，∴4+16+2×2×4×cos60°＝2，∴2＝28，∴||=2.故选D.5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（　　）A.5海里　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.5海里C.10海里　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.10海里［答案］　C［解析］　如图，依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°，∴∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在Rt△ABC中，求得AB=5，∴这艘船的速度是=10(海里/小时).6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（　　）A.10米　　　　　　　　　　　　　　　　　B.100米C.20米　　　　　　　　　　　　　　　　　D.30米［答案］　D［解析］　设炮台顶部为A，两条船分别为B,C,炮台底部为D，可知∠BAD=45°，∠CAD=60°，∠BDC=30°，AD=30.分别在Rt△ADB,Rt△ADC中，求得BD=30,DC=30.在△DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，解得BC=30.7.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是（　　）A.20（1+）m　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.20（1+）mC.10（）m　　　　　　　　　　　　　　　　D.20（）m［答案］　B［解析］　由仰角与俯角的意义可知，∠DAE=60°，∠EAC＝45°，又EC＝20m,∴BC=AE=20m,在△AED中，DE=AEtan60°＝20m.∴塔吊的高度是20（1+）m.8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（　　）A.海里/小时B.34海里/小时C.海里/小时D.34海里/小时［答案］A［解析］由题意知PM=68，∠MPN=120°，∠N=45°,由正弦定理知MN=68××=34,∴速度为（海里/小时）.二、填空题9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50°，∠CBE=70°，AC=90，BC=150，则DE=.［答案］　210［解析］　由题意知∠ACB=120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502-2×90×150×（-）＝44100.∴AB=210,DE=210.10.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为　　　　　　　　.［答案］　30°［解析］　水流速度与船速的合速度为v,方向指向河岸，如图由题意可知sinα=∴α=30°.11.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸　　　　　　米.［答案］　50（）［解析］　如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=100,∴AC=50.又在△ACD中，∠ADC=30°，∴∠DAB=45°-30°＝15°.sin15°=sin(45°-30°)=.在△ABD中，由正弦定理，得,∴BD==50()（米）.12.在灯塔上面相距50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离　　　　　　　　.［答案］　25（+1）（米）［解析］　由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，可知∠CBD=30°，∠BAC=45°+90°=135°,∴∠ACB=180°-135°-30°=15°,又AB=50,在△ABC中，由正弦定理，得,∴AC=＝25（）（米）.∴出事渔船离灯塔的距离CD=(米).三、解答题13.甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：sin21°47′=）［分析］　解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.［解析］　设乙船速度为v海里/时，在△ABC中，由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,,∴v=21海里/时.又由正弦定理可知：,∴sinB=,∴∠B≈21°47′,即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行.14.A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD=120°，又在B点测得∠ABD=45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.［解析］　如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD=45°,所以CD=AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中，∠BDA=180°-45°-120°=15°,由（m）.∵CD⊥平面ABD，∠CAD=45°，∴CD=AD=800（+1）≈2186（m）.答：山高CD为2186m.15.如图所示，海中一小岛周围3.8nmile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东.船行8nmile后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险.［解析］　在△ABC中，AC=8，∠ACB=90°+60°=150°,∠CAB=90°-75°=15°,∴∠ABC=15°.∴△ABC为等腰三角形，BC=AC=8，在△BCD中，∠BCD=30°,BC=8,∴BD=BC·sin30°=4>3.8.故该船没有触礁危险.16.如图所示，A、B两个小岛相距21nmile,B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9nmile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6nmile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.［解析］　行驶t小时后，甲船行驶了9tnmile到达C处，乙船行驶了6tnmile到达D处.当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC=21-9t，在△BCD中，BC=21-9t,BD=6t,∠CBD=180°-60°＝120°，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos120°=（21-9t）2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·（-）＝63t2-252t+441=63(t-2)2+189.∴当t=2时，CD取得最小值＝3.当t=时，C与B重合，此时CD=6×＝14>3.当t>时，BC=9t-21,则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2×（9t-21）×6t×cos60°＝63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知，t=2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3nmile.