知识讲解空间向量在立体几何中的应用一

空间向量在立体几何中的应用一一一用向量讨论垂直与平行【学习目标】知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ；过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；3•情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力•【要点梳理】要点一：直线的方向向量和平面的法向量则AB为直线I的一个方向向量;AB平行的任意非直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点,零向量也是直线I的方向向量•要点诠释：（1）在直线上取有向线段 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量•（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算•平面的法向量定义：已知平面〉，直线I」二则称为a为平面〉的法向量•要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量•已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解,一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为n=（x,y，z）；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(ai,S,cj,b=(a?,b?,C2)；"na=0根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程nb=0(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.要点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行线线平行向量判定方法：设直线li,I?的方向向量分别是a,b，则要证明I1//I2，只需证明a//b，即a=kb(kR).线面平行线面平行的判定方法一般有两种：判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行向量判定：方法一：设直线I的方向向量是a，平面〉的法向量是n，则要证明1〃〉，只需证明a_n，即an=0.方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可面面平行①判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行.②向量判定:方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.方法二：若能求出平面:-，的法向量u,v,则要证明:/T-，只需证明u//v.要点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直（1）线线垂直向量判定方法：设直线li，I?的方向向量分别为a，b，则要证明h_I?，只需证明a_b，（2）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.向量判定方法一：设直线I的方向向量是a，平面:的法向量是u，则要证明I—：•，只需证明a//u.方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直（3）面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直【典型例题】类型一：求平面的法向量例1.已知正方体ABCD-AiB1C1D1的棱长为1，在BC、DD」是否存在点E、F，使BE成为平面ABF的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由.【思路点拨】由于本题所研究的问题是在正方体这样特殊的几何体中，所以可以用坐标向量求解.【解析】如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B1(1,1,0).设F(0,0,h),E(m,1,1),则AB=(0,1,0)B1E=(m-1,0,1),FA=(1,0,1-h).•••ABB1E=0,•••AB丄B1E.若RE是平面ABF的法向量，则B1EFA=m—11—h=m—h•h=m.即E、F满足D1F=CE时,B1E是平面ABF的法向量.故存在，且E、F满足D1F=CE.【总结升华】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x,y,z）,再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0,从而得到x、y、.所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量.要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出.举一反三：【变式1】如图，在长方体ABCD—ABQiDi中，AB=AAi=1,AB=2，点E为AB的中点,求平面CDiE的一个法向量【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），B（1,2，0），C（0，2,0），所以E（1，1，0）nCE=0,x—y=0所以、-2y+z=0x=y，所以丫[z=2y令y=1，则x=1，z=2.所以平面CDjE的一个法向量为（1，1，2）.【变式2】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,且PA=AD.求证：MN是平面PDC的法向量.M、N分别是AB、PC的中点，并CD1=(0,-2,1)设平面CD1E的法向量n=（x，y，z），则:A则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）,D（0，1,0），P（0，0，1）1111•-M(=,0,0)，N(；w)2222•MN=(0冷£)，PC=(—1,—1,1),DC=(一1,0,0)11•MNPC=0x(—1)+—x(—1)+—x1=0MNDC22'T—*TTMN_PC,MN_DC=0(_[)-0-0=022即mN丄平面PCD，所以MN为平面PCD的法向量.类型二：利用向量研究平行问题例2.如图所示，在正方体ABCD-AB1GD1中，M、N分别是CQ、BG的中点.求证：MN//平面A1BD.【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明MN与平面A1BD的法向量垂直；二是在平面A1BD内找一向量与MN共线；三是证明MN可以利用平面A1BD中的两不共线向量线性表示.【解析】解法一：如图以D为原点，DA、DC、DD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系•设正方体的棱长为1,则M'01-i、N11i、D(0,0,0)、Al(1,0,1)、I2丿辽「丿设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),xz=0则nDA=0,且nBD=0,得x+y=0取x=1，得y=—1,z=—1.•••n=(1,—1,—1).11又MNn,0,(1,-1,-1)=0，…MN—n.辽2丿MN//平面A1BD.解法二」亦二和一扇」耳一丄氐」（施一褊）J7A1,2222•-MN//DA,,•MN//平面A1BD.11解法三：•••MN二GN-C1MD1A1D1D=1-211-(DBBA)(DAAQ)221111^DBBAD1A1A1D2222111-DB_DA_(BA_DA)2221111DB—DA.—BDDA10DB.2222T—IT即MN可用DA与DB线性表示，且TTT故MN与DA、DB是共面向量，DBBAD1A1A1D2-2J2TTDA1与DB不共线,A1BD.•••MN//平面A1BD，即MN//平面【总结升华】要用向量方法证明直线与平面平行，可以用共面定理来证明，即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示；也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行，此时注意说明直线在平面内.本例解法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，解法二和解法三没有建系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然，在解法二和解法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明.举一反三：【变式】如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为矩形，OA_底面ABCD,OA=2,AD=2AB=2,M为OA的中点，N为BC的中点，求证：直线MN|平面OCD.O【解析】如图，分别以AB,AD，AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0),B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0),M(0,0,1)，N(1,1,0)，O(0,0,2)，MN=(1,1,-1)，DC二(1,0,0)，DO=(0,-2,2)MN、DC、DO共面1法一：•••MN二DCDO2，又:MNq平面OCD,DCu平面OCD,DO匸平面OCD,DC门DO二DMN||平面OCD法二：设平面OCD的法向量为n=(x,y,z)，则=0=0，即—2y2z=0]x二0取z=1，得n二(0,1,1).MNb=(1,1,-1)_(0,1,1)=0,又丁MN平面OCD,MN||平面OCD.例3.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4,M、N、E、F分别是棱A1D1、AB、D1C1、BG的中点.求证：平面AMN//平面EFBD.【思路点拨】画出图形，建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，将面面平行问题转化为向量问题进行解决.本题显然MN?EF,AN?DE，从这里入手较简单【解析】如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，则A4,0,0,M2,0,4,N4,,4,D0,0,0,B4,4,0,E0,2,4,F2,4,4.•••MN=(2,2,0),EF=(2,2,0),AN=0,2,4,DE=0,2,4.可见MN石,7N=DTMN?EF,AN?DE,MN//平面EFBD,AN//平面EFBD.又MNDAG=G,•平面AMN//平面EFBD.【总结升华】本题中证明方法并不唯一，除了利用面面平行的判定定理外,还可以采用向量法，即：要证两个面:-、-:平行，只需求出平面：•、1的法向量U,v,再证出u//v即可.举一反三：【变式】如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，/ABC=90,BC=2,C6=4,点E在线段BB1上，且EB1=1,D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点•求证：平面EGF//平面ABD.【答案】如图所示，由条件，知BA,BC,BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标y由条件知B(0,0,0)、D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0).所以品=(a,0,0),詬=(0,2,2),品=(0,2,-2).B,DBA=0,BDBD=04—4=0.所以BiD丄BA,BiD丄BD.因此BiD丄平面ABD(1)由E、F、G的定义，知E(0,0,3)、G(41、F(0,2■I所以EG=(号,1,1),EF=(o,i,i),i,4)BiDEG=02-2=0BDEF=02-2=0.所以BiD丄EG,BiD丄EF.所以BiD丄平面EFG.结合（i）,可知平面EGF//平面ABD.类型三：利用向量研究垂直问题【高清课堂：空间向量的直角坐标运算399III例4】例4.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA_平面ABCD，且PA二AB=2，点E，F分别是AB与PD的中点.求证：（1）PC_AF;（2）AF_平面PDC；（3）PD_平面AEF.【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将几何证明问题转化为向量的代数计算问题.【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0，D(0,2,0>P(0,0,2),C(2,2,0),E(i,0,0，F(0,i,，)(i)PC=2,2,—2,AF二0,1,1,则PC"AF=0，故_AF.（2）设平面PDC的法向量为m=[x,y,z，则niPD二2y「2z=0,卄iT取口=(0,1,1)niPC=2x+2y—2z=0.由AF=ni，可知AF?ni,所以AF_平面PDC.（3）设平面AEF的法向量为n2=（x,y,z）,则=x=0,=y+z=0.取n=0,1,ifTnae{T]niAF由PD=0,2,2知pD=2ni,所以PD?n，即PD_平面AEF.【总结升华】要证明线线垂直，只需要证明这两条直线的方向向量垂直即可；要证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量平行举一反三：【变式】在正方体ABCD—ABGDi中，P为DDi的中点，O为底面ABCD的中心,求证：BQ丄平面PAC.【答案】如图，建立空间直角坐标系,不妨假设正方体的棱长为2，则A（2，0,0），P（0，0，1），C（0，2，0），Bi（2，2，2），O（1，1，0）则OB=(1,1,2),•••OB1ACAC=(-2,2,0),AP=(-2,0,1)--22-0,OB1AP--22=0所以OB1丄AC,OB1丄AP.所以OB」平面PAC.例5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CO上求一点P，使得平面AB1P丄平面GDE.【思路点拨】若要在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P丄平面C1DE，需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P的坐标，求出平面A1B1P与平面CDE的法向量，建立方程求出点P的坐标，确定点P的位置.【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系.1设正方体的棱长为1，则Ai(1,0,1),Bi(1,1,1),E(—,1,0),2C1(0,1,1),设P的坐标为(0,1,a).•-AB1=(0,1,0),AP=(—1,1,a—1),DEDC1=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x,y,z),rTfn1A1B1=0y=0则mAP=0.-xy(a-1)z=°令z=1，则得x=a—1，所以平面A1B1P的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x,y,z),则n2=0―n2DG=01xy=02，,yz=0令y=1，则得x=—2,z=—1,所以平面CqE的一个法向量为n2=(—2,1,—1).—1要使平面A1B1P丄平面C1DE，贝Umn2=0=—2(a—1)—仁0,解得a=-,所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P丄平面C1DE.【总结升华】要用向量方法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再检验它们的数量积是否为零即可.但在求这两个平面的法向量时应小心谨慎，只要一个求错,就会得出错误的结论.举一反三：【变式】在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是厶PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC二PF：FB=1：2.求证：平面GEF丄平面PBC.【答案】如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0).于是PA=(3,0,0),Fg=(1,0,0),故PA=3FG,PA//FG.而PA丄平面PBC,「.FG丄平面PBC.又FG平面EFG,「.平面EFG丄平面PBC.