北京市大学附中2020届高三数学4月模拟试题（六）文（含解析）

PAGE北京市大学附中2020届高三数学4月模拟试题（六）文（含解析）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】进行补集的运算即可．【详解】．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，描述法、区间 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示集合的概念，是基础题2.已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，，，则的值（　　）A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定【答案】B【解析】【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论．【详解】定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，故函数f（x）在（﹣∞，0]上也单调递减，故f（x）在R上单调递减．根据a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，可得a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣c），f（c）＜f（﹣a），∴f（a）+f（b）+f（c）＜f（﹣b）+f（﹣c）+f（﹣a）＝﹣f（a）﹣f（b）﹣f（c），∴f（a）+f（b）+f（c）＜0，故选：B．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记奇偶性，将a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0变形为a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a利用单调性是关键，属于基础题．3.将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可【详解】将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sinx，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin（x﹣2）＝sin（x﹣1），故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键，是基础题4.已知x，y满足不等式，则的最小值是（　　）A.1B.﹣3C.﹣1D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【详解】由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，作出x，y满足不等式对应的可行域：（如图阴影所示）平移直线y＝3x+z，由平移可知当直线y＝3x+z经过点A时，直线y＝3x+z的截距最小，此时z取得最小值，由，解得A（，1）代入z＝y﹣3x，得z＝1﹣3，即z＝y﹣3x的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（　　）A.4B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．6.已知是等差数列的前n项和，则“对，恒成立”是“数列为递增数列”的（　　）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】Sn＜nan对，n≥2恒成立，即nd＜n[+（n﹣1）d]，化简即可判断出结论．【详解】Sn＜nan对，n≥2恒成立，∴nd＜n[+（n﹣1）d]，化为：n（n﹣1）d＞0，∴d＞0．∴数列{an}为递增数列，反之也成立．∴“Sn＜nan对，n≥2恒成立”是“数列{an}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件，等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（　　）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某电力公司在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 招标中是根据技术、商务、报价三项评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（　　）A.73，75.4B.73，80C.74.6，76D.74.6，75.4【答案】A【解析】【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．【详解】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%，所以得分为，因此综合得分为；乙公司报价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元），低20%，所以得分为，因此综合得分为，故选A．【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题．二、填空题。9.若平面向量，且，则实数m的值为_______．【答案】【解析】【分析】可求出，根据便可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】；∵；∴；∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】考查向量坐标运算和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件，熟记基本公式是关键，是基础题10.将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为b．甲同学认为a有可能比b大，乙同学认为a和b有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确的同学是_______．【答案】表格略，乙【解析】【分析】利用信息可以先自己随便填写出来一种情况，然后对图分析结果即可．【详解】2012101119349121856131617781415比如此时每一列的最小值分别为17，1，2，9，11，此时最小值中最大的是a＝17，每一行中最大的分别是20，19，18，17，此时四个最大值中最小的是b＝17从而得出每列最小数中的最大数，最大是17，比如一列排20，19，18，17，即，且此时故答案为乙【点睛】本题考查推理知识，利用信息，分析思考解决问题，属于逻辑思维的有难度的题目．11.执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为_______．【答案】【解析】初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,,所以输出.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12.已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．13.如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点．将沿DE翻折，得到四棱锥．设的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有平面；②线段BM的长为定值；③存在某个位置，使DE与所成角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】取D的中点N，连接MN，EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①，②，假设DE⊥C得出矛盾结论判断③．【详解】取D的中点N，连接MN，EN，则MN为△CD的中位线，∴MN∥CD，且MN=CD又E为矩形ABCD的边AB的中点，∴BE∥CD，且BE=CD∴MN∥BE，且MN=BE即四边形MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，又EN⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM∥平面DE，故①正确；由四边形MNEB为平行四边形可得BM＝NE，而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；取DE的中点O，连接O，CO，由D＝E可知O⊥DE，若DE⊥C，则DE⊥平面OC，∴DE⊥OC，又∠CDO＝90°﹣∠ADE＝45°，∴△OCD为等腰直角三角形，故而CDOD，而ODDE，CD＝4，与CDOD矛盾，故DE与C所成角不可能为90°．故③错误．故答案为：①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．14.在某艺术团组织的“微视频展示”活动中，该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A视频的“点赞量”和“专家评分”中至少有一项高于B视频，则称A视频不亚于B视频．已知共有5部微视频展，如果某微视频不亚于其他4部视频，就称此视频为优秀视频．那么在这5部微视频中，最多可能有_______个优秀视频．【答案】5【解析】【分析】记这5部微视频为﹣，设这5部微视频为先退到2部微视频的情形，若的点赞量＞的点赞量，且的专家评分＞的专家评分，则优秀视频最多可能有2部，以此类推可知：这5部微视频中，优秀视频最多可能有5部．【详解】记这5部微视频为﹣，设这5部微视频为先退到2部微视频的情形，若的点赞量＞的点赞量，且专家评分＞的专家评分，则优秀视频最多可能有2部；再考虑3部的情形，若的点赞量＞的点赞量＞的点赞量，且的专家评分＞的专家评分＞的专家评分，则优秀视频最多可能有3部；以此类推可知：这5部微视频中，优秀视频最多可能有5部．故答案为：5【点睛】本题考查了简单的合情推理的应用，先分析2部，3部的情况是关键，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设是首项为1，公比为3的等比数列．（Ⅰ）求的通项公式及前n项和；（Ⅱ）已知是等差数列，为前n项和，且，求．【答案】（1），；（2）1010【解析】【分析】（1）由等比数列通项公式和求和公式求解即可；（2）由题先求公差d,再求和即可详解】（1）由题意可得∴==．（2），∴=10=2d，∴d=5，∴=20×3+×5=1010【点睛】本题考查等比数列和等差数列通项公式和求和公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）在中，，求出正弦函数值，利用正弦定理转化求解即可．（Ⅱ）由余弦定理得，然后求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）在中，，∴，∵，由正弦定理得，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，∴，解得或（舍）∴．【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．17.在平行四边形ABCD中，，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，．连结EB，交AD于点F，如图，将沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图．（1）证明：平面平面BCP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面平面ABCD，求三棱锥的体积．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）证明．，．推出，，得到平面BFP，然后证明平面平面BCP．（2）解法一：证明平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，得到平面ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明平面ABCD．三棱锥的高等于．说明的面积是四边形ABCD的面积的，通过，求解三棱锥的体积．【详解】（1）证明：如题图1，在中，，，所以．在中，，所以．所以．如题图2，．又因为，所以，，，所以平面BFP，又因为平面BCP，所以平面平面BCP．（2）解法一：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，，所以平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则，所以平面ABCD．即GO为三棱锥的高．且．因为，三棱锥的体积为．解法二：因为平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥的高等于．因为H为CD的中点，所以的面积是四边形ABCD的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的．面，所以三棱锥的体积为．【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当时，对x分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.【详解】（1）当时，所以，令得，或.当变化时，的变化情况如下表：所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是.(2)当时，若，则，所以因为，所以若，则，所以令，所以有两个不相等的实根，且不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：因为函数图象是连续不断的，所以当时，即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2020年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．【答案】（Ⅰ）最大的地区为甘肃省，最小的地区为青海省（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可【详解】（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即从4个地区中任取2个地区共有6种情况，，，，，，其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，，，，，则．【点睛】本题主要考查概率的计算，结合古典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键．20.已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意布列关于a，b的方程组，即可得到结果；（2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M点坐标，结合两点间距离公式可得结果；（3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可得到结果.【详解】（1）因为，所以因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以,又,所以，所以椭圆方程为.（2）方法一：设,，,,,，（舍）所以.方法二：设，因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为,，，（舍）所以方法三：设直线的斜率为，，其中化简得当时，得，显然直线存在斜率且斜率不为0.因为与垂直，所以,得，，,所以（3）直线恒过定点,设，，由题意，设直线的方程为，由得，显然，，则，，因为直线与平行，所以，则的直线方程为，令，则，即,，直线的方程为,令，得,因为，故，所以直线恒过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．