知识点一极限与连续

求极限的常用方法limVa1(a0),lima1x1(a0).TOC\o"1-5"\h\zk1xk1xkk.limaimaxa,limaiminai.xi11ik和xi11ik③利用两个重要极限limosinxi0、由重要极限及变量替换可以求下列极限:..sin(x)lim1,xx(x)lim1xTxo可(x)1C(x)_一e,lim1g(x)O(x)_I'__1/、一、g(x)(f(x)1)limf(x)g(x)lim|1f(x)1]f(x)1eA.limg(x)(f(x)1)A.其中xx0.④利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(x1)〜ex1；1cosx~—x2；2xa1~xlna(a0,a1)；1x1~x(0的常数)，等等.anan1,若limanan1nbnbn1或存在,⑥利用极限的和、差、积、商运算法则利用Stolz定理：设数列｛bn｝单调增加且limbnn则有lim包liman-an1,由此可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 下面的平均值定理nbnnbnbm..司a2an..limlimannnnnima1a2111anniman3、连续函数(1)函数f(x)在x0处连续定义的三种不同表达形式是①lim。ylimjf(x0x)f(x0)]0;②limf(x)f(xo);xxoTOC\o"1-5"\h\z③0,0,使当|xx0|时，|f(x)f(x0)|.(2)连续函数的和、差、积、商在它们共同有定义的区间仍为连续函数^(3)连续函数的复合函数仍为连续函数.(4)单调连续函数有单调连续的反函数.(5)一切初等函数在其定义区间内都连续.(6)闭区间［a,b］上的连续函数f(x)有下列重要性质：①f(x)必在［a,b］上有界且取得最大值M与最小值m(有界、最大、最小值定理)②f(x)必在［a,b］上取得介于f(a)与f(b)之间的任何值(介值定理)；③f(x)必在［a,b］上取得最大值M与最小值m之间的任何值；④如果f(a)f(b)0,则f(x)在开区间a,b内至少有一点使得f0.③、④两个性质是介值定理②的推论.(7)间断点的分类典型例题：例2.证明：数列J7,J7收敛，并求其极限。证明：设该数列韭fx\7\7xxn2fxn,xn22J7,\7\；7\7,；7\7\7、7,...1项为xn,则xn2J747xn,令,则*2)=2,!fxnf2,由拉格朗日中值定理得：存在介于x,2之间，使得fxff、4.7x,7、7xxnxnxn2由题意0xn7,7,f、则xnx2kX2x2k由夹逼定理得limkX2k2,X24x7x7xn2,02且limkX20,0即limx2n2,n同理可得limx2n12练习:1、利用极限四则运算法则..2sinxlim：x01xsinx.cosxsinx12sincostdt,x讨论它的连续性不连续f(x)0x0,x02、1、利用两个重要极限求极限xxcos—cos)...cos222、当常数3、lim(sinx0,lim(^—a)nnna1\xcos-)x2a1163、利用洛必达法则求未定式极限2x2-1xe1、lim；x0xsin2x2、lim(x0ln(x11x7)ln(13、lim(arctanx)1x24、lim(nsin-)nnn2e164、利用等价无穷小1、limx0ln(sin2xex)22x\ln(xe)x4e11cos(x.1cosx)5、利用左右极限的关系求极限1、1x..elim1xx0e1arctan12、(00数一5)2e1x1e4xsinx|x|3、f(x)2x,0,xr~x1x,x06、利用函数的极限求极限1、limnlnn7、利用夹逼法则求极限1、xn求极限2、设3i求limnai1n)1,n和limmkm、1mai)1 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :maxaima3、limnxnf(x)dx其中f(x)在[0,1]上连续8、利用导数的定义求极限1、limf(x—bA,求limxaxaxasinf(x)xasinbAcosb2、f(x)在xa处可导,f(a)0,求lim(f(a1n))nnf(a)3、9、lim1[f（t-）f（tx0xa利用定积分求和式的极限2-f(t)a1、1-lim[,1nncosn1cos2r...1cosnn]222、啊[富sin2rn123、ln21、10、利用单调有界准则求极限0(n,a利用泰勒 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求极限Xn1,2,...)求极限1J4a11、1、Xm0X2211X22、/x22(cosxe)sinx1212.2lim-6-[cosxsinxx0xx2(12\431x)]2245练习提高:1、（08数学一[sinx9)limx0sin(sinx)]sinx（提示：用等价无穷小代换或洛必达法则2、（06数一）「xln(1x)limcosx（提示：用等价无穷小代换）3、（06数一数二12）数列｛xn｝满足0Xi1sinxn,（1）证明｛xn｝极限存在，并求之;(2)求lim(xn-1)1x2nXn（提示：1、利用单调有界公理，2、利用重要极限）1、0,2、e164、(03数一4)lim(cosx)x0_1ln(1x2)（提示：先写成指数形式）1,e5、（00数」12）lim（c1x2e1sinx.）（提示：讨论左右极限）|x|3x6、(07数二4)lim一x22xx3xl(sinxcosx)7、（06数三8、（05数三4)lim(n1)(nn1x⑵l州K1)n9、（05数三sinx10、(04数三9)11、设0Xi3,xn112、求极限lim（sintsinx13、lxm1xlnx14、15(08数三4)(cosx12~sinx（提示：用洛必达法则）b)5，则a=b=2cosx2-)xJ4（3xn）（n1,2,...）,证明数列｛xn｝的极限存在，并求极限。（提示：用单调有界公理,1,4x)sintsinx2cosx)x1]设函数f（x）10）求极限lim〜1解：lim21nx0x2sinx极限18、(05数三9)求极限f（x）,并指出其间断点的类型。f(x)x_sinxe0可去间断点，xk(kZ）为第二间断点）1,lim工lnx0x2limxsinxsinx题型一无穷小及其阶1、(09数1,2,3)(1)当x(A)a1,b2、当x0时,sin）内连续,limx0sinxx3xlimx0sinx6x2xx21为.x0时，f(x)3.22.xsinax与g(x)xln(1bx)等价无穷小,1/.1一1一1一(B)a1,b一(C)a1,b一(D)a1,b一6666函数f（x）sinxsint2dt与g(x)x3x4比较是）的无穷小(A)(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶(B)3、设0,0为任意正数，当x时，将1x,1lnx,ex按从低阶到高阶的顺序排列。答案：1lnx,1,x,ex4、当X0时，(1ax2)13与cosx1是等价无穷小,5、(07数一4)当X0时，与JX等价的无穷小量是应选(B).(A)1e(B)ln1心.(C)小~五1.(D)6、(04数一4)把X0时的无穷小量X.2..costdt,,01X2tantdt,X3sintdt0使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)(B).(C)(D)题型三讨论函数的连续性与间断点的类型1、求函数f(x)(1Xx)tan(X/4)在(0,2)内的间断点，并判断类型2、2、(09数二，数三)函数3XXf(x)的可去间断的个数，则sinx(A)1(B)(C)3(D)无穷多个3、f(X)2X,x点的类型4、(08数三4)(A)跳跃间断点x,x设函数(B)1，g(x)f(x)在[可去间断点X,X2(x1),2x3,x1,1］上连续,则(C)无穷间断点5讨论yf(g(x))的连续性并指出间断答案：X1是第一间断点Xf(t)dt0是g(x)的x(D)震荡间断点【答案】B5、(07数一4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是:【答案】应选(D).f(x)..一(A)若lim)存在,则f(0)=0.(C)若照Xf(x)X(B)若则L(x一f"(—x)存在，则f(0)=0.存在，则f(0)存在.(D)若limX0X工(^-f-(-^)存在，则f(0)存在