高等数学-第3章函数的极值和最值高等数学-第3章函数的极值和最值PAGEPAGE8/NUMPAGES8高等数学-第3章函数的极值和最值§函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。一、函数的极值1.极值的定义观察图，可以发现，函数在点的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.图定义设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点（≠），恒有（或），则称是函数的极大值（或极小值），称是函数的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果是函数的极大值（或极小值），只是就邻近的一个局部范围内，是最大的（或最小的），而对于函数的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。（2）函数的极值只能在定义域内部取得。2.极值的判别法继续观察图可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。由此，有下面的定理.定理(极值存在的必要条件)如果函数在点可导，且在处取得极值，则=0.证明从略。定义使的点,称为函数的驻点.根据定理，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。例如，函数在点处的导数等于零，但如图所示，不是的极值点。此外，函数在它导数不存在的点处也可能取得极值。例如，函数在点处不可导（参见§例11），但如图所示，在点取得极小值。归纳起来，一方面，函数可能取得极值的点是驻点和不可导点；另一方面，驻点和不可导点却又不一定是极值点。因此，若要求函数的极值，首先要找出函数的驻点和不可导点，然后判定函数在这些点是否取得极值，以及是极大值还是极小值。对此，参考图和图，可得下面的定理。图图定理(判别极值的第一充分条件)设函数在点的某邻域内连续且可导(在处可以不可导)，则(1)如果在点的左邻域内，；在点的右邻域内，，则函数在取得极大值；(2)如果在点的左邻域内，；在点的右邻域内，，则函数在取得极小值。证明从略。注：如果在点的两侧，保持同号，则函数在点没有极值。根据上述讨论，利用定理求函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求，求出的驻点及不可导点；（3）用步骤（2）中求出的点将函数的定义区间划分为若干个子区间，确定在各个子区间的符号，确定极值点和极值。例1求函数的极值。解（1）函数的定义域为；（2），令，得驻点：，；（3）用和将定义域划分为三个区间：、、，列表确定的符号，函数的极值点和极值：表-↗极大值↘极小值↗所以，函数的极大值为，极小值为。当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下述定理来判定在驻点处是取得极大值还是极小值。定理(判别极值的第二充分条件)设函数在点具有二阶导数，且，，则（1）当时，函数在点取得极小值；（2）当时，函数在点取得极大值。证明从略。注：定理和定理虽然都是判定极值点的充分条件，但在应用时又有区别.定理对驻点和导数不存在的点均适用，定理只对二阶导数存在且不为零的驻点适用，下列两种情形，定理不适用：(1)不存在的点；(2),的点.这时，可能是极值点，也可能不是极值点.例2求函数＝的极值。解（1）的定义域为；（2），；令求得驻点，，，没有不可导点；（3）因为所以在处取得极小值极小值为;因为用定理无法判定，改用定理判定。因为在的左右邻域内所以在处没有极值；同理，在处也没有极值。综上所述，函数只有极小值.二、函数的最值函数的极值是函数在局部范围内的最大值或最小值，本节讨论函数在其定义域或指定范围上的最大值或最小值。1．闭区间上连续函数的最值由定理知道，若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值与最小值。参照图可知，函数的最值只能在驻点、不可导点、端点取得。因此，求闭区间上连续函数的最大值与最小值的方法如下：（1）求函数的定义域；（2）求，求出函数的驻点以及不可导点；（3）计算在驻点、不可导点、端点的函数值，比较大小，即可得函数的最大值与最小值。例3求函数在上的最大值和最小值。解（1）指定的区间为；（2）令，得内的驻点为；（3），，，比较可得，函数的最大值为，最小值为。如图、图所示，如果函数在某个连续区间内只有唯一的极值点，可以断定，当是的极大(小)点时，就是函数在该区间上的最大(小)值,这是实际应用中经常遇到的情况.图图2．实际问题的最值在实际应用中，常常会遇到求最大值或最小值的问题（称为最优化问题），比如，制作一个容积一定的容器，要求用料最少；生产中投入同样多的人力、物力、财力，要求产出最大、利润最大，等等。这类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。应用极值和最值理论解决最优化问题时，首先要弄清要求最大值或最小值的量，该量与问题中其它量的关系怎样，以要最优化的量为目标，建立目标函数，并确定函数的定义域；其次，应用极值和最值理论求目标函数的最大值或最小值；最后应按问题的要求给出结论。图例4如图所示，设工厂到铁路的垂直距离为20km，垂足为，铁路线上距点100km处有一原料供应站，现在要在线上选定一点修建一个原料中转车站，再由车站向工厂修筑一条公路。已知每吨公里铁路的运费与公路的运费之比为3:5，为了使原料从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？解首先，建立目标函数。设(km)，则，；又设公路运费为5(是正数)，铁路运费为3，从点到点需要的总运费为（元），则目标函数为，即（）。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数在上的最小值。求导数，得，令得驻点（舍去）。因为运费问题中必有最小值，现在又只有一个驻点，由此知为函数的最小值点。因此，当车站建于、之间与相距15km处时，运费最省。注：在实际问题中，如果函数在某区间内有唯一的驻点，而且从实际问题本身又可知道在该区间内必定有最大值或最小值，则就是的最大值点或最小值点。例5如图所示，把一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁，问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大dhb图解首先，建立目标函数。依题意，目标函数为因为，所以。其次，将实际问题的最值转化为函数的最值。问题转化为：求函数在内的最大值。求导数,得令，得驻点。由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在内部取得，现在，函数在内只有一个驻点所以当时，的值最大，这时，，即，。所以，矩形截面的高和宽之为时，梁的抗弯截面模量最大。
浙公网安备 33021202002483