20182019数学北师大版选修11 第三章2.2 导数的概念　导数的几何意义 作业1

2018-2019数学北师大版选修1-1第三章2.2导数的概念　导数的几何意义作业1第PAGE页[基础达标]f(x)在x＝x0处存在导数，则eq\o(lim,\s\do4(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)(　　)A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h都无关解析：选B.f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，而与h无关．y＝x2上点P处的切线的倾斜角为eq\f(π,4)，则点P的坐标为(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(1,8)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(1,8)))解析：P的坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，∴2x0＝taneq\f(π,4)＝1，x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，∴切点P(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))．y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为(　　)A．3，3B．3，－1C．－1，3D．－1，－1解析：选B.f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于(　　)A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）＋4－a－4,Δx)＝a，∴f′(1)＝a，又f′(1)＝2，∴a＝2.f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)A．(1，0)B．(1，0)或(－1，－4)C．(2，8)D．(2，8)或(－1，－4)解析：P0(x0，y0)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）3＋（x0＋Δx）－2－（xeq\o\al(3,0)＋x0－2）,Δx)＝eq\f(（3xeq\o\al(2,0)＋1）Δx＋3x0（Δx）2＋（Δx）3,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＋3x0Δx＋(Δx)2，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，xeq\o\al(2,0)＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，x0＝－1时，y0＝－4，∴P0为(1，0)或(－1，－4)．f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为________．解析：Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2，从而f′(1)＝2. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：2P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是________．解析：f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－（3×12－4×1＋2）,Δx)＝2，∴过点P(－1，2)且与切线平行的直线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.答案：y＝2x＋48.过点(3，5)且与曲线f(x)＝x2相切的直线的方程为________．解析：∵当x＝3时，f(3)＝32＝9，∴点(3，5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，即A(x0，xeq\o\al(2,0))，则在点A处的切线斜率k＝f′(x0)．∵eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝2x0＋Δx，当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴在点A处的切线方程为y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)，即2x0x－y－xeq\o\al(2,0)＝0，又∵点(3，5)在切线上，∴6x0－5－xeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点为(1，1)或(5，25)，∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.答案：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0f(x)＝eq\f(1,2＋3x)在x＝1处的导数．解：因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\f(1,2＋3（1＋Δx）)－\f(1,2＋3×1),Δx)＝eq\f(\f(－3Δx,5（5＋3Δx）),Δx)＝eq\f(－3,5（5＋3Δx）)，所以f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－3,5（5＋3Δx）)＝－eq\f(3,25).f(x)＝eq\f(1,x)－eq\r(x)在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))处的切线方程．解：f′(4)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（4＋Δx）－f（4）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4＋Δx)－\f(1,4)))－（\r(4＋Δx)－2）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(－Δx,4（4＋Δx）)－\f(Δx,\r(4＋Δx)＋2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1,4（4＋Δx）)－\f(1,\r(4＋Δx)＋2)))＝－eq\f(5,16).故所求切线的斜率为－eq\f(5,16)，所求切线方程为y＋eq\f(7,4)＝－eq\f(5,16)(x－4)，即5x＋16y＋8＝0.[能力提升]f(x)在x＝1处的导数为1，则eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1－x）－f（1＋x）,3x)＝(　　)A．3B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(3,2)解析：选B.f′(1)＝1，eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1－x）－f（1＋x）,3x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)·\f(f（1－x）－f（1）＋f（1）－f（1＋x）,x)))＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)·\f(f（1－x）－f（1）,x)))＋eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)·\f(f（1）－f（1＋x）,x)))＝－eq\f(1,3)eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1－x）－f（1）,－x)－eq\f(1,3)eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1＋x）－f（1）,x)＝－eq\f(1,3)f′(1)－eq\f(1,3)f′(1)＝－eq\f(2,3)f′(1)＝－eq\f(2,3).y＝eq\r(4－x2)在x＝1处的导数为________．解析：作出函数y＝eq\r(4－x2)的图像如图．由导数的几何意义可知，函数y＝eq\r(4－x2)在x＝1处的导数即为半圆在点P(1,eq\r(3))处的切线的斜率．∴kl＝－eq\f(1,kOP)＝－eq\f(1,\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)3.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋eq\f(1,ax)＋b(a＞0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝eq\f(3,2)x，求a，b的值．解：f′(x)＝a－eq\f(1,ax2)，由题设知，f′(1)＝a－eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(不合题意，舍去)，将a＝2代入f(1)＝a＋eq\f(1,a)＋b＝eq\f(3,2)，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切点坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝eq\f(|\f(1,2)－\f(1,4)－2|,\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为eq\f(7\r(2),8).