第8章滑移线理论及应用§8.1概述§8.2平面应变问题和滑移线场§8.3汉盖（Hencky）应力方程——滑移线的沿线力学方程§8.4滑移线的几何性质§8.5应力边界条件和滑移线场的绘制§8.6三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例滑移线理论是根据平面应变的变形力学特点，通过联解精确平衡微分方程与精确塑性条件，求得理想刚塑性体平面应变问题变形力以及变形区内应力分布的一种图解与数值计算相结合的方法。§8.1概述滑移线理论是二十世纪二十年代初，基于以下实验现象而发展起来的：当金属进入塑性变形的初期，人们可以从光滑的金属试样
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面观察到一些规则取向的条纹，即所谓的“滑移带”现象。实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最大切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表明，这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面与金属试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据此，塑性力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈服切应力的轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力平面是成对正交的，因此滑移线在塑性流动平面内为两族正交的曲线。实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最大切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表明，这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面与金属试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据此，塑性力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈服切应力的轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力平面是成对正交的，因此滑移线在塑性流动平面内为两族正交的曲线。由于金属塑性变形的基本机制是晶体在切应力作用下沿着特定的晶面和晶向而产生滑移，滑移结果在试样表面显露出滑移台阶，因此，滑移线是金属塑性变形时，发生晶体滑移的可能地带。只有特定的晶面和晶向的切应力达到金属的临界屈服切应力时才会使晶体产生滑移变形。现在，滑移线理论成为了求解理想刚塑性体平面应变问题的重要方法之一，广泛应用于长宽比较大的矩形工件的平锤压缩、宽板平辊轧制和板条平面挤压、拉拔等变形力和应力分布的计算上。近二十多年来，又推广到了主应力互为异号的平面应力问题和轴对称问题等等方面。§8.2平面应变问题和滑移线场对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设duZ=0），故只有三个应变分量（、、），也称平面应变问题。平面应变问题的最大切应力为：这是一个以τmax为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆。图8-1平面应变问题应力状态的几何表示（a）塑性流动平面（物理平面），（b）α-β正交曲线坐标系的应力特点，（c）应力莫尔圆abc根据平面流动的塑性条件，τmax=k（对Tresca塑性条件k=σT/2；对Mises塑性条件由图8-1(C)的几何关系可知，有式中静水压力Ф——定义为最大切应力τmax(=k)方向与坐标轴Ox的夹角图8-2x-y坐标系与α-β滑移经网络α线β线微分方程：滑移线场定义§8.3汉盖（Hencky）应力方程由平面应变问题的微分平衡方程得第一式乘以cosФ，第二式乘以sinФ，然后两相加，经整理变换后得沿α线的微分方程或类似变换可得沿β线的微分方程或沿某一α线积分，得到常数或得关系式同理常数或得关系式汉盖应力方程对对α线取“+”号，对β线取“-”号§8.4滑移线的几何性质一、汉盖第一定理同族的两条滑移线（如α1和α2线）与另一族任意一条滑移线（如β1或β2）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。图8-3证明Hencky第一定理的两对滑移线证明：沿α1线从点A→点B沿β2线从点B→点C于是，得沿路径A→B→C和静水压力差同理由上两式可得同理二、汉盖第二定理一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为Rα、Rβ，由曲率半径的定义知：和ΔSβ沿弧Sα的变化率为：根据汉盖第一定理有，当曲线四边形单元趋近无限小时比较上两式，可得同理滑移线为最大切应力等于
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屈服切应力为k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角；滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区；滑移线上任意一点的倾角Ф值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与坐标选择无关；沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差（Δpab）与相应的倾角差（ΔФab）成正比；同族的两条滑称线（如α1和α2线）与另族任意一条滑称线（如β1或β2线）相交两点的倾角差ΔФ，和静水压力变化量Δp均保持不变；一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）；同族滑移线必然有个相同的曲率方向。滑移线的基本性质：§8.5应力边界条件和滑移线场的绘制一、应力边界条件（8.11）二、滑移线场绘制的数值计算方法滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p和角。根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。1）特征线问题这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线网的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。对于任意网点（m,n）的坐标（x,y），可将滑移线的微分方程，写成差分形式α线β线则有式中则得据此，可依次逐渐求得场内全部结点的坐标，依编码连线，从而绘制出等倾角差为ΔФ的滑移线网。2）特征值问题这是已知一条不为滑移线的边界AB上任一点的应力分量（σx、σy、τxy）的初始值，求作滑移线场的问题，即所谓柯西（Cauchy）问题。3）混合问题这是给定一条α线OA，和与之相交的另一条不是滑移线的某曲线OB（可能是接触边界线或变形区中的对称轴线）上倾角值Ф1（见图8-9）。如对称轴线上，其Ф1等于π/4。例题：张角为的双心扇形场的结点计算。§8.6三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例金属塑性加工中，许多平面应变问题的滑移线场是由三角均匀场和简单扇形场组合而成的，称为简单滑移线场问题，如平冲头压入半无限体、平冲头压入、某些特定挤压比下的挤压、剪切乃至切削加工。小结本章主要介绍了计算塑性加工变形力的一种解法——滑移线法的概念及其要点。举例解析了三角形均匀场与简单扇形场和双心扇形场问题。这里重点要掌握的是滑移线法的概念及要点，了解滑移线法
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