2.2.2反证法第PAGE页课时训练6 反证法1.关于反证法的说法正确的有( ).①反证法的应用需要逆向思维;②反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定;[来源:Z+xx+k.Com]③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾;④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,论证一种即可.A.①②B.①③C.②③D.③④解析:反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾,故③不正确.从而排除B,C,D选项.答案:A2.下列命题不适合用反证法证明的是( ).A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x,y中至少有一个大于1解析:A中命题条件较少,不足以正面证明;B中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D中命题是至少性命题,其结论包含多个结论,而反设只有一个结论.答案:C3.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个好点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在好点,那么a的取值范围是( ).A.B.C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:若f(x)=x2+2ax+1存在好点,则x2+2ax+1=x有解,即x2+(2a-1)x+1=0有解,此时Δ=4a2-4a-3≥0⇒a≤-或a≥.∴f(x)=x2+2ax+1不存在好点时,a的取值范围是a∈.[来源:1]答案:A4.若a,b,c>0,则3个数a+,b+,c+的值( ).[来源:Z。xx。k.Com]A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2解析:利用反证法和均值不等式证明.答案:D5.有以下结论:①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( ).A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确解析:用反证法证题时一定要将对立面找全.在①中应假设p+q>2,故①的假设是错误的.而②的假设是正确的,故选D.答案:D[来源:Zxxk.Com]6.命题“a,b是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”用反证法证明时应假设为 . 解析:“a=b=1”即“a=1且b=1”,所以其否定应为“a≠1或b≠1”.答案:a≠1或b≠17.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为 . 解析:由反证法的步骤可知,正确顺序为③①②.答案:③①②8.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 . 解析:由a,b,c这三个数的和为1,可猜想a,b,c中至少有一个数不小于,证明如下:假设a,b,c都小于,则a<,b<,c<,∴a+b+c<1,这与a+b+c=1矛盾.∴假设不成立,∴a,b,c中至少有一个数不小于.答案:9.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,cn,….(1)求c1,c2,c3,c4;(2)求证:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,….(1)解:c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.(2)证明:∵数列{cn}由{an}、{bn}的项构成,∴只需讨论数列{an}的项是否为数列{bn}的项.∵对于任意n∈N*,a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=2(3n-2)+7=b3n-2,∴a2n-1是{bn}的项.下面用反证法证明:a2n不是{bn}的项.假设a2n是数列{bn}的项,设a2n=bm,则3·2n+6=2m+7,m=3n-,与m∈N*矛盾.∴结论得证.10.已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于.证法一:假设三式同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式相乘,得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c>.[来源:学,科,网]又(1-a)a≤,同理(1-b)b≤,(1-c)c≤,以上三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾,故结论得证.证法二:假设三式同时大于.∵0
0.故.同理.三式相加,得,矛盾,∴原命题成立.
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