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广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题

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广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题PAGEPAGE-8-广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题1.直线3ax-y-1=0与直线(a-eq\f(2,3))x+y+1=0垂直,则a的值是(  )A.-1或eq\f(1,3)B.1或eq\f(1,3)C.-eq\f(1,3)或-1D.-eq\f(1,3)或1解析:选D.由3a(a-eq\f(2,3))+(-1)×1=0,得a=-eq\f(1,3)或a=12.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积及体积为A.24πcm...

广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题
PAGEPAGE-8-广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题1.直线3ax-y-1=0与直线(a-eq\f(2,3))x+y+1=0垂直,则a的值是(  )A.-1或eq\f(1,3)B.1或eq\f(1,3)C.-eq\f(1,3)或-1D.-eq\f(1,3)或1解析:选D.由3a(a-eq\f(2,3))+(-1)×1=0,得a=-eq\f(1,3)或a=12.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积及体积为A.24πcm2,12πcm3B.15πcm2,12πcm3C.24πcm2,36πcm3D.以上都不正确解析:选A.由三视图知该几何体为一个圆锥,其底面半径为3cm,母线长为5cm,高为4cm,求表面积时不要漏掉底面积.3.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球,则这个大铁球的半径为A.3cmB.6cmC.8cmD.12cm解析:选B.设大铁球的半径为R,则有eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π·(eq\f(6,2))3+eq\f(4,3)π·(eq\f(8,2))3+eq\f(4,3)π·(eq\f(10,2))3,解得R=6.4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A、B两点距离的最小值为(  )A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.2解析:选C.由距离公式d(A、B)=eq\r([2-1-t]2+[t-1-t]2+t-t2)=eq\r(5t2-2t+2)=eq\r(5t-\f(1,5)2+\f(9,5)),显然当t=eq\f(1,5)时,d(A、B)min=eq\f(3\r(5),5),即A、B两点之间的最短距离为eq\f(3\r(5),5).5.(2011年高考四川卷)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(  )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析:选B.A答案还有异面或者相交,C、D不一定6.对于直线m、n和平面α、β,能得出α⊥β的一个条件是(  )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:选C.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β))⇒m⊥β,  m⊂α))⇒α⊥β7.在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是(  )A.平面ABD⊥平面BDCB.平面ABC⊥平面ABDC.平面ABC⊥平面ADCD.平面ABC⊥平面BED解析:选D.如图所示,连接BE、DE.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BE⊥AC,DE⊥AC))⇒AC⊥平面BDE,   AC⊂平面ABC))⇒平面ABC⊥平面BDE.8.已知直线l:y=x+m与曲线y=eq\r(1-x2)有两个公共点,则实数m的取值范围是(  )A.(-2,2)B.(-1,1)C.[1,eq\r(2))D.(-eq\r(2),eq\r(2))解析:选C.曲线y=eq\r(1-x2)表示单位圆的上半部分,画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象,可观察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时,直线l与曲线有两个交点.当直线l过点(-1,0)时,m=1;当直线l为圆的上切线时,m=eq\r(2)(注:m=-eq\r(2),直线l为下切线).9.若⊙C1:x2+y2-2mx+m2=4和⊙C2:x2+y2+2x-4my=8-4m2相交,则m的取值范围是(  )A.(-eq\f(12,5),-eq\f(2,5))B.(0,2)C.(-eq\f(12,5),-eq\f(2,5))∪(0,2)D.(-eq\f(12,5),2)解析:选C.圆C1和C2的圆心坐标及半径分别为C1(m,0),r1=2,C2(-1,2m),r2=3.由两圆相交的条件得3-2<|C1C2|<3+2,即1<5m2+2m+1<25,解得-eq\f(12,5)0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(3)时,a的值等于(  )A.eq\r(2)B.eq\r(2)-1C.2-eq\r(2)D.eq\r(2)+1解析:选B.圆心(a,2)到直线l:x-y+3=0的距离d=eq\f(|a-2+3|,\r(2))=eq\f(|a+1|,\r(2)),依题意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a+1|,\r(2))))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2=4,解得a=eq\r(2)-1.11.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是A.2πR2B.eq\f(9,4)πR2C.eq\f(8,3)πR2D.eq\f(5,2)πR2解析:选B.如图所示,设圆柱底面半径为r,则其高为3R-3r,全面积S=2πr2+2πr(3R-3r)=6πRr-4πr2=-4π(r-eq\f(3,4)R)2+eq\f(9,4)πR2,故当r=eq\f(3,4)R时全面积有最大值eq\f(9,4)πR2.12.如图所示,三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是(  )解析:选A.V=eq\f(1,3)S△AMC·NO=eq\f(1,3)(eq\f(1,2)×3x×sin30°)·(8-2x)=-eq\f(1,2)(x-2)2+2,x∈[0,3],故选A.二、填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上)13.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程.解:AC边上的高线2x-3y+1=0,所以kAC=-eq\f(3,2).所以AC的方程为y-2=-eq\f(3,2)(x-1),即3x+2y-7=0,同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.下面求直线BC的方程,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+2y-7=0,,x+y=0,))得顶点C(7,-7),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y+1=0,,2x-3y+1=0,))得顶点B(-2,-1).所以kBC=-eq\f(2,3),直线BC:y+1=-eq\f(2,3)(x+2),即2x+3y+7=0.14.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.解析:易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1),半径r=|OA|=2.答案:(x-1)2+(y-1)2=415.如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥平面⊙O,C为圆周上一点,AB=5cm,AC=2cm,则B到平面PAC的距离为________.解析:连接BC.∵C为圆周上的一点,AB为直径,∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O,BC⊂平面⊙O,∴PA⊥BC,又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,C为垂足,∴BC即为B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中,BC=eq\r(AB2-AC2)=eq\r(52-22)=eq\r(21)(cm).答案:eq\r(21)cm16.下列说法中正确的是________.①一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.解析:由线面平行的性质定理知①④正确;由直线与平面平行的定义知②正确.因为经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面.故③错误.答案:①②④三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点,求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.证明:(1)因为E、F分别是AP、AD的中点,∴EF∥PD,又∵P,D∈面PCD,E,F∉面PCD,∴直线EF∥平面PCD.(2)∵AB=AD,∠BAD=60°,F是AD的中点,∴BF⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,∴BF⊥面PAD,∴平面BEF⊥平面PAD.18.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为BD的中点,G在CD上,且CG=eq\f(CD,4),H为C1G的中点,求:(1)FH的长;(2)三角形FHB的周长.解:如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.由于正方体的棱长为1,则有D(0,0,0),B(1,1,0),G(0,eq\f(3,4),0),C1(0,1,1).(1)因为F和H分别为BD和C1G的中点,所以F(eq\f(1,2),eq\f(1,2),0),H(0,eq\f(7,8),eq\f(1,2)).所以FH=eq\r(\f(1,2)-02+\f(1,2)-\f(7,8)2+0-\f(1,2)2)=eq\f(\r(41),8).(2)由(1)可知FH=eq\f(\r(41),8),又BH=eq\r(1-02+1-\f(7,8)2+0-\f(1,2)2)`=eq\f(9,8),BF=eq\f(\r(2),2),所以三角形FHB的周长等于eq\f(4\r(2)+\r(41)+9,8).19.已知(1)求的定义域;(2)证明为奇函数;(3)求使>0成立的x的取值范围.(14分)19;解:(1)(2)证明:中为奇函数.(3)解:当a>1时,>0,则,则因此当a>1时,使的x的取值范围为(0,1).时,则解得因此时,使的x的取值范围为(-1,0).20.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得弦AB,以AB为直径的圆经过原点O?若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:法一:假设存在且令l为y=x+m.圆C化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2),则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点,即N(-eq\f(m+1,2),eq\f(m-1,2)).以AB为直径的圆过原点,|AN|=|ON|.又CN⊥AB,|CN|=eq\f(|1+2+m|,\r(2)),所以|AN|=eq\r(CA2-CN2)=eq\r(9-\f(3+m2,2)).又|ON|=eq\r(-\f(m+1,2)2+\f(m-1,2)2),由|AN|=|ON|,得m=1或m=-4.所以存在直线l,方程为x-y+1=0或x-y-4=0.法二:假设存在,令y=x+m,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x+m,,x2+y2-2x+4y-4=0,))消去y,得2x2+(2m+2)x+m2+4m-4=0.①因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB.设A(x1,y1),B(x2,y2),kOA·kOB=eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)=-1,即x1x2+y1y2=0.由方程①,得x1+x2=-m-1,x1x2=eq\f(m2+4m-4,2).②y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,所以x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0.把②代入,m2+3m-4=0.解得m=1或m=-4.将m=1和m=-4分别代入方程①,检验得Δ>0,所以存在直线l,方程为x-y+1=0或x-y-4=0.21.如图△ABC中,AC=BC=eq\f(\r(2),2)AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC;(2)求证:平面EBC⊥平面ACD;(3)求几何体ADEBC的体积V.解:(1)证明:如图,取BE的中点H,连接HF,GH.∵G,F分别是EC和BD的中点,∴HG∥BC,HF∥DE.又∵四边形ADEB为正方形,∴DE∥AB,从而HF∥AB.∴HF∥平面ABC,HG∥平面ABC.∴平面HGF∥平面ABC.∴GF∥平面ABC.(2)证明:∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵CA2+CB2=AB2,∴AC⊥BC.∴AC⊥平面BCE.从而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB的中点N,连接CN,∵AC=BC,∴CN⊥AB,且CN=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)a.又平面ABED⊥平面ABC,∴CN⊥平面ABED.∵C-ABED是四棱锥,∴VC-ABED=eq\f(1,3)SABED·CN=eq\f(1,3)a2·eq\f(1,2)a=eq\f(1,6)a3.22.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.(1)此方程表示圆,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.解:(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,∵此方程表示圆,∴5-m>0,即m<5.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2-2x-4y+m=0,,x+2y-4=0,))消去x得(4-2y)2+y2-2×(4-2y)-4y+m=0,化简得5y2-16y+m+8=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1+y2=\f(16,5),     ①,y1y2=\f(m+8,5).②))由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0.将①②两式代入上式得16-8×eq\f(16,5)+5×eq\f(m+8,5)=0,解之得m=eq\f(8,5).(3)由m=eq\f(8,5),代入5y2-16y+m+8=0,
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