中国人民大学附中特级教师梁丽平-高考数学综合能力题30讲第19讲-二次曲线与二次曲线下载_Word模板_7

中国人民大学附中特级教师梁丽平-高考数学综合能力题30讲第19讲-二次曲线与二次曲线Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲19二次曲线与二次曲线100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”．但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆与抛物线的位置关系．讲解：圆是以为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线相交；而当时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组的解的个数来加以说明．把代入，整理得：（＊）．此方程的判别式．可以看到：当时，；当时，；当时，．事实上，当时，的确有圆与抛物线相切；当时，圆与抛物线无公共点．而当时，虽然有方程（＊）的，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆与抛物线的位置关系如下：当或时，圆与抛物线无公共点；当时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2．已知椭圆，它的离心率为．直线，它与以原点为圆心，以的短半轴为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，左准线为．动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．试点到圆上的点的最短距离．讲解：（Ⅰ）∵直线与以原点为圆心，以b为半径的圆相切．∴．又∵椭圆的离心率为．∴．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆的左焦点的坐标为，左准线的方程为：．连接，则．由抛物线的定义不难知道：点M的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，其方程为：．所以，点到圆上的点的最短距离，实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小，则AB必过圆心O．（否则，连接OB、OA，设OA交圆于点N，则＋NA＝OA

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