第一章、逻辑代数基础

第1章逻辑代数基础;内容提要：本章介绍数字电路的学习工具逻辑代数，包括基本逻辑运算、形式定理和基本规则。讨论逻辑函数的化简和变换，以及最小项、最大项的概念和性:质等。几种常用逻辑函数的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 及其相互间的转换。问题探究•在测量温度时，温度传感器输出的电压信号属于模拟信号，因为在任何情况下被测温度都不可能发生突变，所以测得的电压信号无论在时间上还是在数量上都是连续的。而且，这个电压信号在连续变化过程中的任何一个取值都具有具体的物理意义，即表示一个相应的温度。再有用电子计数器记录客流量时，当有人通过时，给计数器一个信号使之加1，平时没有人通过给计数器的信号是0,可见计数这个信号无论在时间上还是在数量上都是不连续的，因此它是一个数字信号。你还能找出一些这样的例子吗？2•如果数字量表示的是事件的逻辑状态，如下图灯的控制电路，开关A和B的开与合决定了灯P的亮灭，而开关A和B只有两种取值，要么取1为开关闭合，要么取0为开关打开，灯P的亮为1,灭为0,显然他们都是数字量。数字量之间的因果关系有什么运算规律?1.1导论本书讨论的是数字电路，电路中的信号是数字信号。数字信号是离散的脉冲信号，属于双值逻辑信号。对数字电路中的信号进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、运算，所使用的数学工具是逻辑代数，也称布尔代数。布尔代数起源于十九世纪五十年代，是英国数学家G•Boole首先提出的。1938年，Shannon又把它发展成适合于分析开关电路的形式。布尔代数也称为开关代数。1.1.1模拟信号与数字信号电子线路中的信号分为模拟信号与数字信号两大类。模拟信号是指随时间连续变换的物理量，如电压、电流、温度和亮度等。可以用计量仪器测量出某个时刻模拟量的瞬时值，或某一段时间之内的平均指，或有效值。数字信号是指随时间断续变化的信号。一般地说，数字信号是在两个稳定状态之间阶越式变化的信号，或者说数字信号是规范化了矩形脉冲信号。模拟量和数字量之间可以转换，只要它们之间建立起一定的转换关系。例如，可以通过计算数字信号变化的次数来得到相应的模拟量，而不需要知道数字信号每次变化的具体大小。如果把数字信号看成是一种脉冲信号的话，只要计算脉冲的个数，或者研究脉冲之间的编排方式就可以了。在数字电路中，数字的表示方法与我们习惯的十进制有很大的不同。在数字电路中目前几乎都是采用二进制，这是因为实现数字电路的器件是与二进制相对应的。例如二极管的正向导通和反向截止，三极管的饱和与截止，都正好与二进制相对应。二进制系统也称之为双值逻辑系统，用这些器件自然而然与双值逻辑系统的二进制相对应，容易实现各种逻辑电路。所以数字电路中用二进制的“0”、“1”或“0”“1”的不同组合来表示数字信号，并遵循二进制的运算规则。1.1.2二进制的算术运算数字电路中1位二进制数码的0和1不仅可以表示数量的大小。而且可以表示两种不同的逻辑状态。我们可以用1和0分别表示一件事情的是和非、真和假、有和无、好和坏，或者表示电路的通和断、电灯的亮和暗等等当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算成为算术运算。二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同，唯一的区别在于二进制数是逢二进一而不是十进制的逢十进一。例如，两个二进制数1001和0101的算术运算有除法运算加法运算减法运算乘法运算1.11100101011001"1010101100110000000010110011001100101100101-0101000001011110010001011010010在数字电子计算机中，二进制的正负号也用0和1表示，以最高位作为符号位，正数为0，负数为1。以下各位为0和1表示数值。用这种方式表示的数码称为原码。例如，（01010111）2=（+87）10符号位（11010111）2=（+87）10符号位为了简化运算电路，在数字电路中两数相减的运算是用他的补码相加来完成。二进制数的补码是这样定义的：最高位为符号位，正数为0，负数为1;正数的补码和他的原码相同；负数的补码为原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加1。例如，计算（1001）2-（0101）2,根据二进制减法运算规则有：1001—01010100在采用补码运算时，首先求出(1001)2和(0101)2的补码，即正数的补码是符号位加数值位，正数的符号位为0，数值位为正数本身；负数的符号位为1,数值位为正数按位求反后再加1,它们是[+1001]不=01011符号位[-0101]不=11011符号位然后将两个补码相加并舍去进位0100110101100100这样我们就把减法运算化成加法运算。1.2逻辑运算1.2.1基本逻辑运算1.2.1.1逻辑变量逻辑代数中的变量往往用字母A、B、C……表示。每个变量只取“0”或“1”两种情况，既变量不是取“0”，就是取“T,不可能有第三种情况。它相当于信号的有或无，电平的高或低，电路的导通或截止。这使逻辑代数可以直接用于双值系统逻辑电路的研究。1.2.1.2基本逻辑运算逻辑代数的基本运算类型有三种：与、或、非。•或运算一一逻辑加有一个事件，当决定该事件的诸变量中只要有一个存在，这件事就会发生，这样的因果关系称为“或”逻辑关系，也称为逻辑加，或者称为或运算，逻辑加运算。(b)与逻辑运算(c)非或逻辑运算图1.1三种基本逻辑运算的开关模拟电路图例如在图1.1(a)所示电路中，灯P亮这个事件有两个条件决定，只有开关A与B中有一个闭合时，灯P就亮。因此灯P与开关A与B满足或逻辑关系，表示为P=A+B(1.1)读成“P等于A或B”，或者“P等于A加B”。若以A、B表示开关的状态，“1”表示开关闭合，“0”表示开关断开；以P表示灯的状态，为“1”时，表示灯亮，为“0”时，表示灯灭。则得表1.1,这种表称为真值表。真值表：反映逻辑变量(A、B)与函数(P)的因果关系的数学表达形式。表1.1或逻辑真值表及运算规则变量或逻辑或逻辑运算规则ABA+B0000+0=00110+1=11011+0=11111+1=1这里必须指出的是，逻辑加法与算术加法的运算规律不同，有的尽管表面上相同，但实质不同，要特别注意在逻辑代数中1+1=1。•与运算一一逻辑乘有一个事件，当决定该事件的诸变量中必须全部存在，这件事才会发生，这样的因果关系称为“与”逻辑关系。例如在图1.1(b)所示电路中，开关A与B都闭合时，灯P才亮，因此它们之间满足与逻辑关系。与逻辑也称为逻辑乘，其真值表如表1.2所示，逻辑表达式为P=A?B=AB(1.2)读成“P等于A与B”，或“A乘B”。与逻辑运算规则表面上与算术运算一样。“与”逻辑和“或”逻辑的输入变量不一定只有二个，可以有多个。表1.2与逻辑真值表及运算规则变量与逻辑与逻辑运算规则ABAB0000?0=00100?仁01001?0=01111?1=1•非运算一一非逻辑关系当一事件的条件满足时，该事件不会发生，条件不满足时，才会发生，这样的因果关系称为“非”逻辑关系。图1.1(c)所示电路表示了这种关系。真值表见表1.3所示。逻辑式为P=A(1.3)读成“P等于A非”。非逻辑只有一个输入变量。表1.3与逻辑真值表及运算规则变量非逻辑非逻辑运算规则AA010=1101=0121.3基本逻辑门符号基本逻辑运算要通过逻辑门电路实现，逻辑门在下一章介绍，在此先给出这些逻辑门的图形符号，见图1.2。(a)与门(b)或门(c)非门图1.2基本逻辑门1.2.2组合逻辑运算1.2.2.1基本逻辑运算TOC\o"1-5"\h\z将基本逻辑运算进行各种组合，可以获得与非、或非、与或非、异或、同或等组合逻辑运算。各种组合逻辑运算的表达式如下，真值表和运算规则见表1.4。1.与非逻辑运算逻辑表达式为HYPERLINK\l"bookmark48"\o"CurrentDocument"P=AB(1.4)•或非逻辑运算逻辑表达式为HYPERLINK\l"bookmark144"\o"CurrentDocument"P=AB(1.5)•与或非逻辑运算逻辑表达式为P=AB+CD(1.6)•异或逻辑运算逻辑表达式为P=A㊉B=AB+AB(17)用注意，一次异或逻辑运算只有二个输入变量，多个变量的异或运算，必须二个二个变量分别进行。例如A二B二C，先进行其中二个变量的异或运算，其结果再和第三个变量进行异或运算。以下的同或运算也具有同样的特点。•同或逻辑运算逻辑表达式为P=AOB=ABAB(1.8)表1.4组合逻辑真值表及运算规则逻辑变量与非或非与或非异或同或CDABABCDA+B+C+DAB+CDA㊉BAOB0000111010001101100010101100011100010100101010110101101010111100100010110011011010101101110011001001101100111010011110001.2.2.2组合逻辑门符号(b)或非门(c)与或非门(d)异或门图1.3各种组合逻辑门(e)同或门与基本逻辑运算有对应的逻辑门一样，组合逻辑运算也有相应的逻辑门符号，这些符号基本上是由基本逻辑门的与门、或门和非门符号组合而成，见图1.3。(a)与非门1.3公式和定理1・3・1变量与常量之间的关系1.00=0仁11=12.01=02.10=13.11=03.00=04.0=14.1=01・3・1变量与常量之间的关系变量与常量之间的关系可分为与逻辑和或逻辑两种形式，共四个。A1=A5:A0=AA0=06.A也=1用语言叙述为：任何变量乘“0”，恒等于“0”；任何变量乘“1”，等于变量自身；任何变量加“1”，恒等于“1”；任何变量加“0”，等于变量自身。AA=05.A+A=1用语言叙述为：任何变量自身相乘，等于变量自身；任何变量自身相加，等于变量自身；变量与其反变量之积恒等于“0”；变量与其反变量之和恒等于“1”。1.3.4特姝定理8.AA=A8.AA二A9.AB=AB9.AB=AB10.A=A公式9为变量乘积之反等于反变量之和，变量和之反，等于反变量之积。这两个定理也称为摩根定理，是很有用的二个定理，它们的证明可用真值法。需要注意的是逻辑代数与初等数学中代数运算的异同。如A+B=A+C不能用移项规则化简为B=C；AB=AC也不能用除法规则化简为B=C。A+A=A，而不是2A。1.3.4与普通代数相似的定理交换律11.AB=BA11.AB二BA结合律12.(AB)C=A(BC)12.(AB)C=A(BC)分配律13.A(BC)二ABAC13.ABC=(AB)(AC)1.3.3几个常用公式.A+AB=A(吸收)2.AB+AB=B(并项)A+Ab=A+B(消因子)4.AB+AC+BC=AB+AC(消项)5.aBAb^ABaB(求反)6.ABAACAB(求反)用代数法证明公式1:A+AB=A(1+B)=A?1=A故该公式成立。证明公式3:A+AB=A+AB+AB=A+B(AA)=A+B1=A+B证明公式4:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC(利用A+AB=A)=AB+AC公式5和6更具有一般性，即在有两项组成的表达式中，如果其中一项含有因子A,另一项含有因子A，那么将这两项其余部分各自求反，就得到这个函数的反。1.4基本规则布尔代数除上述公式和定理外，在运算时还有一些基本规则：代入规则、反演规则、对偶规则和展开规则。1.4.1代入规则在任一含有变量A的布逻辑等式中，如果用另一个逻辑(布尔)函数F去代替所有的变量A,则等式仍然成立。代入规则是容易理解的，因为A只可能取“0”或“1”，而另一逻辑函数F，不管外形如何复杂，F最终也只能非“0”即“1”。例如，AA^AB，用F=C+D+E代替式中的变量A,则有(C+D+E)+(C+D+E)B=C+D+E+B显然等式是成立的。又如，A+AB=A，用F=CDE替代变量B，则有A+AB=A+A(CDE)=A实际上，根据常用公式1就可以知道它是相等的。1.4.2对偶规则对偶概念为：在一个逻辑函数式p中，实行加乘互换，“0”“1”互换，得到的新逻辑式记为p/,则称p/为p的对偶式。(注意不实行原反互换。)对偶规则为：有一布尔等式，对等号两边实行对偶变换，得到的新布尔函数式仍然相等。显然对对偶式p/再求对偶，就得到原函数P,即：(p)=p我们用对偶规则去考查公式和定理1至13,发现“与”和“或”；“与或型”和“或与型”的公式和定理存在对偶关系。即定理1和定理1';定理2和定理2有了对偶规则，需要证明的定理减少了一半，只要记住上述12对定量中的一半，另一半用对偶规则就可推导出来。定理10无对偶式。1.4.3反演规则设p为一逻辑函数，如果把式中的“•”号改为“+”号；“+”号改为“•”号，则称为加乘互换。如果把式中的“0”换为“1”，而“1”换为“0”。则称为“0”“1'互换。如果把式中的原变量改为反变量，而的反变量改为原变量，则称为原反互换。于是，反演规则可叙述为：在一布逻辑数式P中，如果实行加乘互换，“0”“1”互换、原反互换，得到的新逻辑式记为P,P称为P的反式或反函数。P=ABCP=A+B+C当然也可以用摩根定理来求，只不过摩根定理中不包括常量“0”、“1”。又如，用反演规则求下列布尔式的反式：p=ABcdP=(AB)(CD)再如：P=ABCDEP=A(BCdE)这里我们应把BCDE看为一个整体，上面有一个反号，就好象P=A•M，而M=BCDE，用代入规则替代以后一样。所以，若p=A+M则P=A(BCDE)显然M式中的加乘、原反不应互换，否则就错了。一个逻辑变量或逻辑式的上方有不止一个反号时，反演时只能去掉最外层的一个，即整个布尔式的反号。如下：整个逻辑式最外层的反号B+C+D+E实行原反互换后的部分就不需要再进行加乘和“0”“1”互换了。1.5用代数法化简逻辑式在逻辑电路的设计中，所用的元器件少、器件间相互连线少和工作速度高是小、中规模逻辑电路设计的基本 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 。为此，在一般情况下，逻辑表达式应该表示成最简的形式，这样就涉及到对逻辑式的化简问题。其次，为了实现逻辑式的逻辑关系，要采用相应的具体电路，有时需要对逻辑式进行变换。所以逻辑代数要解决一个化简的问题，另一个是变换的问题。先讨论化简的问题，化简的方法主要有代数法和卡诺图法。我们首先介绍代数法化简，1.5.1同一逻辑关系逻辑式形式的多样性一个逻辑式除了与或型及或与型之外，还有与非与非型、或非或非型及与或非型。这些类型的转换问题将在后面介绍。即使是同一类型的逻辑式，例如常见的与或型，它的表现形式对于同一逻辑关系也有多种形式，例如：Pi=ABACP2=ABACBCP3=ABCABCABCABC不难用形式定理加以证明它们的相等。用实际电路实现上述逻辑关系时，用Pi、P2、P3都可以，但是总希望电路比较简单。一般来说，逻辑式越简单，由此实现的电路也越简单。对于与或型逻辑式，最简单就是逻辑式中的与项最少，每一与项中变量也最少。在上述例子中，显然Pi比另两个都简单。化简逻辑式有几种方法，这里介绍的是代数法，即运用形式定理和基本规则进行化简。所以必须熟练掌握这些定理和规则，否则有时容易与一般代数相混。1・5・2与或型逻辑式的化简步骤代数法化简逻辑式，就是运用逻辑代数的定律、定理、规则对逻辑式进行变换，以消去一些多余的与项和变量。代数法化简，没有普遍适用的一定之规，有时需要一定的经验。以下介绍的方法是一个基本的方法，是以与或逻辑式为基础，但不是对所有的化简问题均能奏效。其它形式的逻辑式都可转化成与或型的逻辑式。例如：P=（A+B）（C+D）=AC+AD+BC+BDPCD=AB+CD所以我们主要讨论与或型逻辑式的化简。下面通过几个例子来说明具体的简化步骤。例1.1:化简逻辑式P=AB+ABC+BDP=AB+ABC+BD=AB+BD（吸收）例1.2：化简逻辑式P=A-ABC-ACDCEDEP=AABCACDCEDE（吸收）=A-ACDCEDE（消因子）ACDCEDE再用其余定理检验看能否进一步化简。P=ACD(CD)E=ACDCDE二ACD-E（消因子）例1.3:化简逻辑式P二AABACBDACFEBEEDFP=AABACBDACFEBEEDF^AACBDBEEDF（吸收）（消因子）=ACBDBEEDF（消项）=ACBDBE例1.4：化简逻辑式P二ACABBCACDP=ACAB「BCACD(吸收)=ACABBC=A(BC)BC(摩根定理)=ABC'BC(消因子)二ABC例1.5：化简逻辑式P=ABCABCBCP二ABCABCBC二BC(AA)BC=1例1.6:化简逻辑式P=B(ABCAb-ABC)P=B(ABCAbABC)=ABCAbABC=B(ACAAC)=B[A(CC)A]=B(AA)二B配项法与合项法相反，就是给某个与项乘上(A•A)，以寻找新的组合关系，使化简继续进行。例1.7：化简逻辑式P=aBBCBCABp二aBbcBcAb=aB(cc)bc(aA)bcAb=ABCABCABCABCBCAb=(ABCBC)AC(BB)(ABCAB)=BcacAb由此看来，如果不采用配项法，这个逻辑式很难再化简了。就是采用配项法，如果(AA)乘的位置不对，(AA)变量符号是选(B•B)，还是选(CC)，选得不合适均不能奏效，因此必须要有相当的技巧。利用代数法化简，有时虽然很简单，但并不是都很方便和很快奏效的，有时看上去似乎已经不能再化简了，而实际上还可以化简。所以下面介绍卡诺图化简法，它可以弥补代数法的不足。1.6最小项和最大项1.6.1最小项和最大项的定义1.6.1.1最小项的概念最小项：n个变量Xi、X2、…Xn的最小项，是n个变量的逻辑乘，每一个变量既可以是原变量Xi，也可以是反变量Xi。每一个变量均不可缺少。如有A、B两个变量时，最小项为：AB、AB、AB、AB,共有22=4个最小项。最小项用小写字母m表示，它们的下标的数字为二进制数相应的十进制数的数值。将最小项中的原变量视为“1”，反变量视为“0”，按高低位排列，这样得到了一个二进制数。前面曾讲到二进制数是逢二进一的，例如对于最小项ABC,C为最低位，A为最高位，对应的二进制数是101，它的十进制数值为2101X2+0X2+1X2=4+01=5所以，最小项ABC的符号是m5。对于每一种二进制输入方式，只能有一个最小项为“1”，其它最小项全为“0”，这一特点称为N中取一个“1”。1.6.1.2最大项的概念最大项；n个变量X2、…Xn的最大项，是n个变量的逻辑和，每一个变量既可以是原变量Xi，也可以是反变量Xi，每一个变量均不可缺少。如有A、B两个变量时，最大项为：AB、AB、AB、A+B，共有22=4个最大项。对于n个变量来说，最小项和最大项的数目各为2n个。有三个变量A、B、C时的最小项和最大项，见表1.5。最大项用大写字母M表示，最大项是或逻辑，最小项是与逻辑，最大项和最小项是对偶的关系。所以，最大项确定的原则与最小项确定的原则是对偶的。最大项的下标确定的方法，将最大项对应的二进制数写出，进行“0”“1”互换，得到新的二进制数，它对应的十进制数就是最大项的下标，见表1.5。例如最大项表1.5三变量最小项和最大项的表示方法十进制数ABC最小项最大项00001TI0=ABCMy=A+B+C1001=ABCm6=A+B+c2010T2=ABCM5=a+b+c3011T3=ABCM4=A+b+C4100t4=ABCm3=a+B+C5101T5=ABCM2=a+B+c6110t6=ABC=a+b+C7111my=ABCM0=A+B+CABC，对应的二进制数是101，“0”“1”互换，新的二进制数是010,对应的十进制数是2。所以，最大项ABC写成M2。对于一种二进制输入，只能有一个最大项为“0”，其它的最大项全部为“T,这一特点称为N中取一个“0”。最大项的下标是使该最大项为“0”时，输入二进制码所对应的十进制数。或是将最小项直接变为或项时，最大项的下标是最小项的补数。例如m的下标为5，三位二进制数的最大数为7,所以最大项的下标是7-5=2。也就是说最小项和与之对应的最大项下标之和等于二进制码的最大数。1.6.2最小项和最大项的性质掌握最小项和最大项的性质，有助于逻辑式的化简和变换，下面对它们的性质加以介绍。1•当有输入时，最小项对每一种输入被选中的特点是只有一个最小项是“1”，其余最小项都是“0”，即所谓N(2n)中取一个“1”。以二变量为例:ABm3m2m1m00000010100101001001110002.全部最小项之和恒等于“1”。m3+m2+mi+mo=13•两个最小项之积恒等于“0”。mimj=0若干个最小项之和等于其余最小项和之反。m1m2=m0m3m0=m0m2m3异或逻辑和同或逻辑之间也符合这种关系，异或等于同或非；异或非等于同或。A二B=ABAB=mnm2=m0m3二ABAB二AOBA二B=AbAb=AbAB=(AB)(AB)=ABAB=AOB最小项的反是最大项；最大项的反是最小项。例如m0=ABC=ABC=M0M0=ABC=ABC=m0云=ABC=ABCw=ABC二ABC=gm7=ABC=ABC=M7M7=A，BC=ABC=m76.当有输入时，最大项对每一种输入被选取中的特点是只有一个最大项是“0”，其余最大项都是“1”，即所谓N(2n)中取一个“0”。以二变量为例ABM3M2M1M00001110110111011011111107.最小项的性质和最大项的性质之间具有对偶性。例如，全部最小项之和恒等于1”；那么，全部最大项之积恒等于“0”，其它性质可类推。1.6.3与或标准型和或与标准型有了最小项的概念，就可以利用公式NN=1，将任何一个逻辑式展成若干个最小项之和的形式，这一形式称为与或标准型。例如：P(A,B,C)=ABABC=AB(CC)ABC二ABCABCABC€m(0,6,7)有了与或标准型可以方便地转换为或与标准型，即若干个最大项之积的形式。可以利用若干最小项之和等于全部最小项中其余最小项之和的反这一性质来求出或与标准型。例如上例的与或标准型：P=H(mo,m6,m7)可以转换为或与标准型P=匸血，m6,m7)=m0-m6m7=mnm2m3m4m5=m1m2m3m4m5=皿的2皿3皿4皿5=：M(1,2,3,4,5)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)1.7卡诺图化简法1.7.1卡诺图1.7.1.1卡诺图的构成把所有最小项按一定顺序排列起来，每一个小方格由一个最小项占有。因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n,则最小项的数目为2n。二个变量的情况如图1.4(a)所示。图中第一行表示A，第二行表示A;第一列表示B，第二列表示B。这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格0BAABABABBBAA(a000101112-3]011(b中。图1.4两变量卡诺图有时为了更简便，我们用“1”表示原变量，用“0”表示反变量，这样就可以据图1.4(a)就改画成图1.4(b)的形式，四个小方格中心的数字0、1、2、3就代表最小项的编号。三变量的卡诺图见图1.5所示，方格编号即最小项编号。最小项的排列要求每对几何相邻方格之间仅有一个变量变化成它的反变量，或仅有一个反变量变化成它的原变量，这样的相邻又称为逻辑相邻。逻辑相邻的小方格相比较时，仅有一个变量互为反变量，其它变量都相同。逻辑相邻的最小项排列起来就形成循环码。四变量的最小项图见图1.6所示，该图只画出了图1.4(b)的形式。由图1.4到图1.6可看到，几何相邻小方格都满足逻辑相邻条件，例如图1.6中，不但m。与g，而且m0与m1之间，m。与m2之间也都满足逻辑相邻关系，同一列的第一行和最后一行，同一行的第(KarnaughMap)。00ABCBCBCBC000011110ABCABCABCAbc0000001101130102AABCABCABCABC11004101511171106(a(b图1.5三变量卡诺图00011110E轴E4、Vzr00011110000000010011001001320100010101110110457611001101111111101213151410001001101110108911100110图1.6四变量最小项图11000132181917164576222321201213151430312928891110262725240110图1.7五变量最小项图1110110100一列和最后一列之间也满足逻辑相邻，好象卡诺图首尾相连卷成了圆筒。这种由满足逻辑相邻条件的最小项小格排列的图称为卡诺图掌握卡诺图的构成特点，就可以从印在表格旁边的AB、CD的“0”、“1”值直接写出最小项的文字符号内容。例如图1.6中，第四行第二列相交的小方格，表格第四行的“AB”标为“10”，应记为AB，第二列的“CD”标为“01”，应记为CD，所以该小格为ABCD。五变量的最小项图见图1.7所示。它是由四变量最小项图构成的，将左边的一个四变量卡诺图按轴翻转180°而成。左边的一个四变量最小项图对应变量E=0,轴左侧的一个对应E=1。这样一来除了几何位置相邻的小方格满足邻接条件外，以轴对称的小方格也满足邻接条件，这一点需要注意。图中最小项编号按变量高低位的顺序为EABCD排列时，所对应的二进制码确定。1.7.1.2邻接与化简的关系卡诺图为什么可以用来化简？这与最小项的排列满足逻辑相邻关系有关。因为在最小项相加时，相邻两项就可以提出(NN)项，从而消去一个变量。以四变量为例，m12与m1为相邻项，则m12+m13为：ABCD+ABCD=ABC(D+D)=AbC所以，在卡诺图中只要将相邻最小项组合，就可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。1.7.2与项的读取和填写1.721最小项如何填入卡诺图既然卡诺图由全部最小项组成，任一与或逻辑式可以由若干个最小项之和来表示，那么就可以将该与或型逻辑式存在的最小项一一对应填入图中，存在的最小项填“1”，不存在的填“0”。因小格不是”1”就是“0”，所以只填“1”就可以了，“0”可以不必填。0001010011101000Ak0100011000010000010010111000011110例如，将逻辑式P(A,B,C)=ABCABC填入卡诺图。它为一个三变量的逻辑式,结果见图1.8。图1.8图1.9相反我们也可以从卡诺图写出其带“1”的小方格所对应的逻辑式。如写出图1.9卡诺图的逻辑式为：p二ABCDAbcdabcdabcd上述两个例子中带“1”的小方格都不相邻，下面讨论带“1”小方格相邻的情况。1.722与项的读取和填写1.与项的读出由图1.10的卡诺图写出相应的逻辑式P。把m3和m7两个小方格圈在一起，它占有二行一列，二行中互为反变量的变量可以消去，即：m3my=ABCDABCD=ACD(BB)=ACD把m13和m15圈在一起，它占二列一行，二列中互为反变量的变量可以消去，处于同一行中的变量不能消去。于是有：00消-去•01100030007001—1000001011消去0001mj3'mj5=ABCD'ABCD二ABD(CC)二ABDP=m3m7m13m15=ACDABD图1.10图1.11所以，当相邻方格占据两行或两列时，变量相同的则保留，变量之间互为反变量的则消去，即卡诺图中圈在一起的最小项外面“0”、“1”标号不同者，所对应的变量应消去。在卡诺图中如果有2i(i=0,1,…n)个取1的小方格连成一个矩型带，这样的一个矩形带就代表一个与项。实际上，一个与或型布式的每个与项都是对应一个包含2,个小格的矩形带。不同的i值与最小项小格数的对应关系如下当i=0时，对应一个小方格，即最小项，不能化简。当i=i时，一个矩型带含有两个小方格，可消去一个变量。当i=2时，一个矩型带含有四个小方格，可消去二个变量。当i=3时，一个矩型带含有八个小方格，可消去三个变量。一般来说，一个矩型带中含有2i个小方格时，可消去i个变量。至此，对最小项的命名可以有所体会了，在卡诺图中，一个小方格代表最小项，而它所含变量数最多。格子多了，相应的与项虽大，但变量数目却少了。写出图1.11所示卡诺图对应的逻辑式，以后图中带“0”的小格一般就不再标了，以使卡诺图显得清晰。如果将mo与m4圈在一起，那么m6与m4就无法圈在一起。若把m0与m8圈在一起，m4就可以与m6圈在一起。则有：m0m8=ABCDABCD二bCdm4m6=ABCDABCD二ABDp=BCD+abD熟练后，应根据卡诺图直接写出结果。mo+m8占一列二行，消去行上的变量A，剩下BCD；m4+m6占一行二列，消去列上的变量C,剩下ABD。例1.8:写出图1.12所示卡诺图对应的逻辑式。对于图1.12(a)，四个小方格占二行二列，行上和列上的变量均可消去一个，所以(a(bP=BC对于图1.12(b)，四个小方格虽在四个角上，但也相邻，也占二行二列，结果为p=BD图1.12例1.9:写出图1.13所示卡诺图对应的逻辑式。对于图1.13(a),四个小方格占一列四行，行上可消去两个变量，即AB全部消去，列上的变量保留，结果为P=CD。对于图1.13(b)，八个小方格二列四行，结果为P=D。•如何将与项填入卡诺图如何将与项填入卡诺图有两种方法。第一种方法是将与或型逻辑式化为标准型，按最小项一一填入图中。前面已经介绍。第二种方法是按读取与项的方法，反过来将与项填入图中。熟练后，这种方法更方便。例如，逻辑式ABAcd，与项AB表示列上的两个变量被消去，所以它应占001011U0110(a110001(b图1.13有卡诺图中“AB”项下标有“00”的一行所对应的四列，即一行四列，共四个小格。与项ACD，列的变量都存在，所以它应填在“CD”项右侧为“11”的一列之中。至于填几个小格，还要看行上的变量。行上的变量消去一个，保留下来的为A，所以应占据对图1.14应A两行，即第一行和第二行，所以共为两个小格，见图1.14(a)。又如，将逻辑式P=AbDAC填入图中。第一个与项ABD，应填在AB(11)行中对应D的第一列和第四列，见图1.14(b)。第二个与项AC，应填入对应A的第一行和第二行，以及对应C的第三列和第四列这两行两列相交处的四个小格中。1.7.3如何使与项最简的小方格如图1.15所示，若把上面两个小方格圈在一起有ABC，下面四个小方格圈在一起有AC，于是逻辑式为：P=ABC+AC该逻辑式是否最简？(上面介绍的实际上都是为化简作准备，现在又回到化简这个问题上。)显然不是最简形式，因为p=AbcaC=c(Aba)=(AB)C二ACBC如果卡诺图中带“1图6.15AC相应的与项是下面四个小方格，BC相应的与项是上面四个小方格。两个与项互相搭接重叠。实际上与项ABC可以被与项BC所覆盖。所以，在组成矩形带圈定与项时，应该用2i的规律尽量向大圈，可以重叠，这样上面四个小格和下面四个小格圈出的两个与项可得到最简逻辑式。总之应该按照2i的规律尽可能多的把卡诺图中含“1”的小格围成矩形带，能成八的不成四，能成四的不成二，能成二的不成一。这样得到的与项就一定是最简的与项。1.7.4卡诺图化简的结论卡诺图化简法的步骤如下：•圈越大越好。合并最小项时，圈的最小项越多，消去的变量就越多，因而得到的由这些最小项的公因子构成的乘积项也就越简单。.每一个圈至少应包含一个新的最小项。合并时，任何一个最小项都可以重复使用，但是每一个圈至少都应包含一个新的最小项一一违背其它圈圈过的最小项，否则它就是多余的。.必须把组成函数的全部最小项圈完。每一个圈中最小项的公因子就构成一个乘积项，一般地说，把这些乘积项加起来，就是该函数的最简与或表达式。.有时需要比较、检查才能写出最简与或表达式。在有些情况下，最小项的圈法不唯一，虽然它们同样都包含了全部最小项，但是谁是最简单的，常常需要比较、检查才能确定。而且有时还会出现几个表达式都是最简式的情况。例1.10:化简P二ACACDACD。解：①作出卡诺图，见图1.16。圈出所有的矩形带，已标于图中。选出最简与项AC、AD。没有未被覆盖的小格子。于是有P=ACAD图6.16图1.17例1.11:化简P=BCD+BC+ACD+ABC。解：卡诺图见图1.17,共有五个矩形带，其中两个独立的矩形带，有一个被覆盖的矩形带，所以P二BCABCABD例1.12:化简P=AB+ABC+ACD+ABD解：卡诺图见图1.18，共有四个矩形带，注意BD这一最简与项，第一行第四行也是邻接的，不要把BD写成ABC。所以P=ABACBDACD例1.13:化简逻辑式P=AbCdEACEBCDEABDEACDEABDEACDABCD解：该逻辑式的与项分三种情况，含有第五个变量E；含有E;既不含E也不含E。对于含有E的与项，按填四变量卡诺图的方法，把这些含有E的与项去掉E后，填ACEABDACDABCABDEACDE的四变量卡诺图中。对于含有E的项，按同样原则填图1.19此时要注意列上变量排列的左右E四变量卡诺图中然后以中间轴翻入五变量卡诺图的左半部分对应图1.18E的四变量卡诺图中。E的与项，可以填入1”入五变量卡诺图的右半部分对应对称关系，对于既不含E也不含转180。，在E四变量卡诺图中对称位置也填上“1。1.19。1”小格的分布情况，见图与项中包括E这一变量；在E四变量E这一变量；在两个四变量卡诺图中，E或E。填写完毕后，圈出矩形带，除和四变量卡诺图圈法原则相同的以外，还要考虑几何位置虽不相邻，但以轴为对称的相邻位置上有“在E四变量卡诺图中圈定的最简与项读出时，卡诺图中圈定的最简与项读出时，与项中要包括以轴为对称位置圈定的最简与项读出后的与项，则不包括最后化简结果为P=ACEaBdEABDACDABCACD1.8逻辑函数的变换逻辑函数的变换是指保持逻辑函数真值表不变的条件下，逻辑函数形式上的变换。以与或型逻辑函数为出发点，在保持逻辑关系不变的前提下，可以有与非与非型、或与型、或非或非型、与或非型五种。当然与非型可以有许多种，但最简的只有一种，这几种形式上的变换也是最简型之间的变换。1.8.1五种类型的逻辑函数逻辑函数式有五种表达式：与或、或与、与非与非、或非或非、与或非。例如f=ab-Ac与或型F=ABAC与非与非型F=(AB)(AC)或与型F=ABAC或非或非型F=AB+AC与或非型它们的逻辑关系都相等，这很容易用真值表加以证明，也可以将它们的与或标准型写出，它们的最小项都相同。它们的最小项如下F=ABAC=ABCABCABCABC=.：m(1,3,6,7)F=ABAC=AB+ACm(1,3,6,7)F=(AB)(AC)=AAABACB^m(1,3,6,7)F=ABAC=(AB)(AC)八m(1,3,6,7)F二aBAc二aBAc=(aB)(AC)八m(1,3,6,7)这些逻辑表达式都可以用相应的与门、或门、与非门、或非门以及与或非门来实现，其电路见图1.20所示。1.8.2与或型转换为与非与非型逻辑电路用与或式实现时，需要两种类型的逻辑门，与门和或门。用小规模集成电路实现时，要用一片四2输入与门，例如CT74LS08;一片四2输入或门CT74LS32。门的利用率很低，CT74LS08中有四个2输入的与门，只用了二个；CT74LS32中有四个或门，只用了一个。如果变换为与非与非型，需要2输入的与非门三个，这样用一片CT74LS00就可以了。74LS00中有四个2输入与非门，用去三个，只剩一个。下面就以F=ABAc为例说明逻辑式的变换问题。将与或逻辑式转换为与非与非型，方法是对与或式二次求反。F=ABAC=ABAC=ABAC变换中主要利用了摩根定理，具体用与非门实现的电路见图1.20(b)。(a)与或型(b)与非与非型(c)或与型(d)或非或非型(e)与或非型图1.20同一逻辑关系的五种逻辑表达式1.8.3与或型转换为或与型将与或式转换为或与型的基本方法是：利用对偶规则求出与或式的对偶式，将对偶式展开，化简；最后将对偶式进行对偶变换，即可得到或与型逻辑式。这里请注意，与或式进行对偶变换，得到或与式，展开就得到与或式，再一次对偶就得到或与式。将与或式F=ABAC转化为最简的或与表达式。FJ(AB)(AC)=ACABBC=ACABF=(F')'：=(AC)(AB)用或门和与门实现的电路见图1.20(c)。1.8.4与或型转换为或非或非型基本方法是，将与或式先变换为最简或与式，对或与式进行二次求反，即得或非或非表达式。将与或逻辑函数F=ABAC转化为最简的或非或非表达式。F=(AC)(AB)F=(AC)(AB)=ACAB用或非门实现的电路见图1.20(d)所示。1.8.5与或型转换为与或非型基本方法是将或非或非逻辑式的第二层反号用摩根定理变换，即可得到与或非型逻辑式。将逻辑函数F=AB-AC转化为最简的与或非表达式。F=A+C+A+B=AC+AB同样也可以将与非与非逻辑式中的第二层反号用摩根定理变换，展开化简得到。F二ABAC=(AB)(AABACBC=ABAC第三种方法是，将与或式F=ABAC填入卡诺图中，从有“0”的小格化简，得到1.21o用与或非门实反函数F。对等号两侧求反即得与或非表达式。反函数卡诺图见图现的电路见图1.20(e)。F=ABACF=F=ABACBC-V,0*11-：01■-T1…0」11A.0001111001图1.21反函数卡诺图