直线、平面平行的判定与性质教学讲义

直线、平面平行的判定与性质教学讲义ZHISHISHULI知识梳理1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2．面面平行的判定与性质定义判定定理性质图形条件α∩β＝?结论a?β，b?β，a∩b＝P,a∥α，b∥αα∥βα∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝ba∥bα∥β，a?βa∥αa⊥α，a⊥β，则α∥β.a⊥α，b⊥α，则a∥b.α∥β，β∥γ，则α∥γ.ZHONGYAOJIELUN)重要结论)1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若SHUANGJIZICE双基自测1．(2019·黑龙江大庆月考)有以下三种说法，其中正确的是(D)①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．A．①②B．①③C．②③D．①［解析］对于①，若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，故①正确；对于②，若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．故选D．2．(2019·安徽滁州期末)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是(B)A．若m?α，n?β，α∥β，则m∥nB．若m?α，α∥β，则m∥βC．若n⊥β，α⊥β，则n∥αD．若m?α，n?β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β［解析］两个平行平面中的两条直线可能异面，A错误；两个平行平面中任一个平面内的直D错误．故选B．线都与另一个平面平行，B正确；C中直线n也可能在平面α内，C错误；任一二面角的平面角的两条边与二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，3．(2019重·庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a?α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α［解析］对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．4．(2019·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝2.［解析］根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC．又E是AD的中点，所以F是CD的中点，因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝2.5．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是平面ABC和平面ABD.［解析］连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E、FEMEN1重合为一点，且该点为CD的中点E，由MA＝NB＝2，得MN∥AB．因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD．考点1空间平行关系的基本问题——自主练透例1(1)(2019江·西五校联考)已知m，n是两条不．同．的直线，α，β，γ是三个不．同．的平面，则下列命题中正确的是(C)A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m?α，n?β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α(2018吉·林二调)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的(A)A．充分不必要条件C．充要条件［解析］B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(1)对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m?α，n?β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C．(2)因为α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，若α∥β，则m∥β，所以α∥β是m∥β的充分条件；但m∥β不能推出α∥β，故不是必要条件，条件．故选A．考点2直线与平面平行的判定与性质——角度1线面平行的判定∴α∥β是m∥β的充分不必要多维探究(2019·辽宁抚顺模拟)如图，在AB∥CD，∠BAD＝60°，PD例2四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．(1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：BE∥平面PAD；(2)求三棱锥E－PBD的体积．由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝12CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綊EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．(2)∵E为PC的中点，1∴V三棱锥E－PBD＝V三棱锥E－BCD＝2·V三棱锥P－BCD．又∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2.又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，∴BD⊥BC．∵PD⊥平面ABCD，111∴三棱锥P－BCD的体积V三棱锥P－BCD＝3PD·S△BCD＝3×2×2×2×23＝∴三棱锥E－PBD的体积V三棱锥E－PBD＝过点B作BH⊥AD于点H，∵DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴DE⊥BH.∵AD?平面ADEF，DE?平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF.∴BH是三棱锥B－DEF的高．3在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝3..角度2线面平行的性质ADEF＝EF，∠BAD＝60°，(1)求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B－DEF的体积．[解析](1)证明：∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，∴BC∥平面ADEF.又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF.43，3，平面BCEF∩平面例3如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∵DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴DE⊥AD．由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF.1113∴三棱锥B－DEF的体积V＝1×S△DEF×BH＝1×1×1×1×3＝33326名师点拨?空间中证明两条直线平行的常用方法利用线面平行的性质定理，即a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行．利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．变式训练1〕(1)(角度2)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，E为PD上异于P，D的一点．AP＝PB＝AB＝1.求三棱锥P－DEF的体积．［解析］②若AD＝AB＝1，BC＝2，tan∠BPC＝36，求四棱锥P－ABCD的体积．3(2)(角度1)(2019贵·州黔东南州二模)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别为BC，AP的中点．①求证：EF∥平面PCD；②若AD＝又平面ABE∩平面PDC＝EF，∴BC⊥BD．∴AB∥EF，又AB∥CO，则EF∥CD．②由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1，BC＝2，可得BD＝2，CD＝2，又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥PB．∵tan∠BPC＝36，∴PD＝1.3又S四边形ABCD＝2，131∴VP－ABCD＝3×1×2＝2.(2)①证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC．在△PAD中，G，F分别为PD，AP的中点，1∴GF綊2AD．在矩形ABCD中，E为BC的中点，1∴CE綊2AD，∴GF綊EC，∴四边形EFGC是平行四边形，∴GC∥EF.∵GC?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD．②∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥BP，平面PAD⊥平面PAB．2AD＝AP＝PB＝2AB＝1，∵AB＝2，∴AP2＋PB2＝AB2，∴AP⊥BP.∵AD∩AP＝A，∴BP⊥平面PAD．∵BC∥平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．1111∵S△PDF＝2PF·AD＝2×2×1＝4，∴V三棱锥P－1111DEF＝V三棱锥E－PDF＝3S△PDF·BP＝3×4×1＝12，∴三棱锥1P－DEF的体积为12.考点3证明空间两个平面平行——师生共研如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.［证明］(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.［引申1］在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．［证明］如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．［引申2］在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．［证明］如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．名师点拨?证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．〔变式训练2〕如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．［解析］(1)如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，∴MN∥EC．∴MN∥平面EFC．∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF綊DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC．又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC．(2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中点，∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，11212∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2×3×AN×S△NEF＝2×3×2×2×2×2＝3，2∴三棱锥A－CEF的体积为3.平行中的探索性问题求解策略例5如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，2∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝3.3(1)求四棱锥S－ABCD的体积；(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．［解析］（1）∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝23，SA＝2，∴AD＝3.由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，11VS－ABCD＝3×SA×2×（BC＋AD）×AB32＝13×2×12×（2＋3）×3＝130.(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB．证明如下：取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，22则EF綊3AD，BC綊3AD，∴BC綊EF，∴CE∥BF.又∵BF?平面SAB，CE?平面SAB，∴CE∥平面SAB．名师点拨?平行中的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．〔变式训练3〕在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠PAD＝∠PAB，AC交BD于O，(1)求证：平面PAC⊥平面PBD．(2)延长BC至G，使BC＝CG，连接PG，DG.试在棱PA上确定一点E，使PG∥平面BDE，AE并求此时EAEP的值．[解析](1)证明：∵∠PAD＝∠PAB，AD＝AB，AP＝AP，∴△PAD≌△PAB，∴PB＝PD，∵O为BD中点，∴PO⊥BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC，平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．(2)连接AG交BD于M，在△PAG中，过点M作ME∥PG交PA于点E，连接ED和EB，∵PG?平面BDE，ME?平面BDE，∴PG∥平面BDE.∵AD∥BG，BG＝2AD，△ADM∽△GBM，∴AM＝AD＝1，∴GM＝BG＝2，∵PG∥ME，∴EA＝MA＝1，即AE＝1∴EP＝MG＝2，即EP＝2.