平面向量的概念及线性运算考点与提醒归纳

平面向量的概念及线性运算考点与提醒归纳、基础知识向量的有关概念⑴向量的定义及 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：既有大小又有方向的量叫做向量.以A为起点、B为终点的向量记作入宣，也可用黑体的单个小写字母a,b,c,…来表示向量.⑵向量的长度（模）:向量N云的大小即向量~AB的长度（模），记为|鼻直|.2.几种特殊向量名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量a单位向量记作ao，ao=—|a|平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一疋是平仃向量，平仃向量不一疋是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a=-b单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两aa个，即向量^|和-|a|.3.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则?(1)交换律：a+b=b+a;⑵结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a—b=a+(—b)数乘求实数入与向量a的积的运算|七|=|川a|;当A>0时，的方向与a的方向相同；当疋0时，扫的方向与a的方向相反；当入=0时，七=0?(^a)=(入)(a;(入+(j)a=右+pa;?(a+b)=右+?b?向量加法的多边形法则多个向量相加，利用二角形法则，应首尾顺次连接，a+b+c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点4.共线向量定理向量a（a工0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入使得b=?a.只有a工0才保证实数入的存在性和唯一性.二、常用结论1>-—>（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，贝UOP=2（OA+0B）.>>>（2）OA=XOB+QC（人□为实数），若点A,B,C三点共线，则入+尸1.考点一平面向量的有关概念［典例］给出下列命题：若a=b,b=c,贝Ua=c;>>若A,B,C,D是不共线的四点，贝UAB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;若a//b,b//c,贝Ua//c.其中正确命题的序号是.［解析］①正确••••a=b,「.a,b的长度相等且方向相同,又b=c,「.b,c的长度相等且方向相同，■a,c的长度相等且方向相同，故a=c.>>>>>>正确.•••AB=DC,二|AB|=|DC|且AB//DC,又A，B，C，D是不共线的四点，■四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，>>>>>>则AB//DC且|AB|=|DC因此，AB=DC.不正确.当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b，故|a|=|b|且alib不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是①②•［ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ］①②［解题技法］向量有关概念的关键点向量定义的关键是方向和长度.非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.相等向量的关键是方向相同且长度相等.单位向量的关键是长度都是一个单位长度.零向量的关键是长度是0， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 零向量与任意向量共线.［题组训练］给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；？a=0(入为实数)，则入必为零；入□为实数，若扫，则a与b共线.TOC\o"1-5"\h\z其中错误的命题的个数为()0B.1C.2D.3解析：选D①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当a=0时，不论入为何值，la=0.③错误，当0时，la=pb=0,此时，a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个，故选D.设ao为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a・o；②若aTOC\o"1-5"\h\z与ao平行，则a=|a|ao;③若a与ao平行且|a|=1贝Ua=ao,假命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相冋，但方向不一定相冋，故①是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是冋向，二是反向，反向TOC\o"1-5"\h\z时a=—|a|ao,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算［典例］⑴（2018全国卷I）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则——>EB=()3——>1——>"AB—4AC1B3B1AB—4ACD.1AeB+4AC44D.4c.3aeB+1—ACC44⑵如图，在直角梯形ABCD中,BBrAB+sAD，贝U2r+3s=()1312BBB1B1B[解析](1)作出示意图如图所示.EB=ED+DB=2AD+2CB=1BB1BB3B1Bx2(AB+AC)+2(AB—AC)=4AB—[AC•故选A.—BBBB2BB2BBB(2)根据图形，由题意可得AE=AB+BE=AB+3BC=AB+3(BA+AD+DC)=——b2b1——b2aaB,1aaB1b2b§AB+3(AD+DC)=3AB+3AD+[AB=2AB+3AD.BBB12因为AE=rAB+sAD,所以r=2，s=3,贝U2r+3s=1+2=3.［答案］⑴A(2)C［解题技法］向量线性运算的解题策略常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.⑷与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.［题组训练］设DABC所在平面内一点，"BO=365，则()—>1—>4—>—>1—>4—>A.AD=-3AB+§ACB.AD=3AB—3ACd.=3^ab—3CCCCC1CC1C1C1C解析：选A由题意得AD=AC+CD=AC+3BC=AC+3AC—3AB=—3AB+4—-c4AC.（2019太原模拟）在正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点，若A-=瓜M-TOC\o"1-5"\h\z+3AN，则实数AtF尸・—CCCC1CC1C解析：如图，•••AM=AB+BM=AB+2BC=DC+2BC，①CCCC1CAN=AD+DN=BC+DC，②——4——2————4——2——由①②得BC=3AN—3AM,DC=3AM—3AN,——————————4——2——4——2——2——2——•••AC=AB+BC=DC+BC=3AM—3AN+3AN—3AM=3AM+3AN,—————————224TAC=ZAM+3AN,•=3,3=3，>++尸§・考点三共线向量定理的应用［典例］设两个非零向量a与b不共线,⑴若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3a—3b,求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.>>>［解］(1)证明：AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3a—3b,—>—>—>—>BD=BC+CD=2a+8b+3a—3b=5(a+b)=5AB,—>—>•••AB,BD共线.又•••它们有公共点B,A，B，D三点共线.(2)vka+b与a+kb同向，•••存在实数久》0)，使ka+b=Xa+kb),即ka+b=?a+入k(k—X)a=(Xk—1)b.••a,b是不共线的非零向量，k—X=0，k=1，k=—1，解得或X—k1=0，X=1X=—1，又•?>0,.・.k=1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.［题组训练］1.在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=—4a—b,CD=—5a—3b,则四边形ABCD的形状是()B•平行四边形D.以上都不对A.矩形C.梯形解析：选C由已知，得瓦D=~A8+1BC+CID=-8a—2b=2(—4a—b)=21BC，故>>>>AD//BC•又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.已知向量eiM0,入€R,a=ei+te2,b=2ei,若向量a与向量b共线，则()A.A0B.e2=0C.ei/e2D.ei/e2或=0解析：选D因为向量eiM0,入€R,a=ei+te2,b=2ei,又因为向量a和b共线，存在实数k,使得a=kb，所以ei+?62=2kei,所以入e=(2k—i)ei，所以ei//e2或X=0.—>i—>—>—>—>已知0ABC内一点，且AO=2(OB+OC),AD=tAC，若B,O,D三点共TOC\o"1-5"\h\z线，则t=()iiAyb.3i2C.2d.3解析：选B设E是BC边的中点，贝y2(^OeB+_Oc)=_Oe，由题意得瓜3=—I,所以—i1—ii—i—ii—ii—iiiAO=2AE=4(AB+AC)=4AB+^AD，又因为B,O,D三点共线，所以［+/=1,解1得t=3，故选B.1已知O,A,B三点不共线，P为该平面内一点，且——>C・2BCD.BC>>1>>1>>1>>>解析：选A由题意得EB+FC=2（AB+CB）+q（AC+BC）=空（AB+AC）=AD.已知向量a,b不共线，且c=七+b,d=a+（2入一1）b，若c与d共线反向，则实数入的值为（）1A.1B.-211c.1或—2d.—1或—2解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c=kd（kv0）,于是沦+b=k[a+211b].整理得扫+b=ka+（2入kk）b.=k,由于a,b不共线，所以有入kk=1,21整理得2f—^—1=0，解得L1或入=-^.1又因为kv0,所以入v0，故f=—2-TOC\o"1-5"\h\z>>>设向量a,b不共线，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a—2b，若A,B,D三点共线，则实数p的值为（）A.—2B.—1C.1D.2解析：选B因为B（C=a+b,——D=a—2b,所以——?=——3+"Cd=2a—b.又因为A,DDDDD三点共线，所以AB,BD共线.设AB=XBD,所以2a+pb=f2a—b）,所以2=2f,p=—f即f=1,p=—1.（2019甘肃诊断）设DABC所在平面内一点，"BC=—4"Cd，则——D=（）1——D3——D1——D3——DA"AB—TACBJAB+；AC44443——d1——d3——d1—-DCJAB—；ACDJAB+：AC4444解析：选B法一：设——3=x——-+y——-,由——-=—4——D-可得，~BA+——3=—4~CaC.3D.4>>>>>—4AD，即一AB—3AC=-4xAB—4yAC，则—4x=—1,—4y=—3,1X=4,解得33尸4,>即AD=TOC\o"1-5"\h\z1>3—>4AB+4AC，故选B.,,,—>—>1—>—>—>—>—>—>1—>法二：在AABC中，BC=—4CD,即一；BC=CD,贝UAD=AC+CD=AC—-BC44—>1—>>1—>3>=AC—4（BA+AC）=4AB+4AC，故选B.—>3—>1—>一丨BCI在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A,B,C三点满足OC=^OA+^OB,则J—二1I—C|等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.1B.233D.2—>—>—>3—>1—>—>3—>—>—>—>3解析：选C因为BC=0C—OB=T0A+-OB—OB=-BA,AC=OC—OA=-4444—DA+才-B—OA=1—AB，所以—3•故选C.IAC|—BBBBB已知△ABC的边BC的中点为D，点G满足GA+BG+CG=0，且AG=入GD,则入的值是（）1A.2B.21C.—2D.—2解析：选C由"GX+63+&G=0,得G为以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个BB顶点，因此AG=—2GD，贝UA—2•故选C.下列四个结论：①十前+"C—=0:②能+祁十品+OHM=0；BBBBBBBB③AB—AC+BD—CD=0:④NQ+QP+MN—MP=0,其中一定正确的结论个数是（）A.1B.2解析：选C①AB>+B—+CA=AC+C—=0,①正确；②AB>+M—+BO+OM>>>>>>>>>>>>=AB+MO+OM=AB，②错误；③AB-AC+BD-CD=CB+BD+DC=CD+—>—>—>—>—>—>—>④正确.故①③④正确.8•如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别为AB,AD上的点，且>3>>2>AM=3AB，AN=2AD，AC，MN交于点—ffP.若AP=入AC,则入的值为()Al6d.17>3—>>2>解析：选DVAM=-AB,AN=3AD3————_AB+AD)=入3AM+2AN4———3———=3XAM+2入AN.V点M,N,P三点共线,3入+3=1，则x=寻故选d.9.设向量a,b不平行，向量扫+b与a+2b平行，则实数X=DC=0，③正确；④NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0,解析：因为向量七+b与a+2b平行,1所以X=-.=k,所以可设扫+b=k(a+2b),贝U1=2k,1答案：2>1>>>10•若AP=2PB，AB=(入+1)BP，则解析：如图，由A—=2"P—，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,f3>35则AB=-2BP，结合题意可得H1=—2，所以X=-2.答案：一5>>已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于0,且OA=a,OB=b，贝UDC=,BC=.(用a,b表示)>>>>>>>解析：如图，DC=AB=OB—OA=b—a,BC=OC—OB>—OB=—a—b.答案：b—a—a—bTOC\o"1-5"\h\z>>>(2019长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点.若AB=AAM+^DB,贝yz—卩=.HYPERLINK\l"bookmark10"\o"CurrentDocument"—>—>—>—>解析：如图，在平行四边形ABCD中，AB=DC，所以AB=AM+——>——>1——>——>1——>——>——>1——>——>——>1MB=AM+2CB=AM+2(DB—DC)=AM+2(DB—AB)=AM+2HYPERLINK\l"bookmark8"\o"CurrentDocument"—>1—>3—>—>1—>—>2—>1—>21DB—AB，所以2AB=AM+0DB，所以AB=3AM+3DB，所以Z=3,卩=3,所以入1—尸3.1答案：33BBB设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1—8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1—e2.(1)求证：A,B,D三点共线;⑵若BF=3ei—ke2,且B,D,F三点共线，求k的值.>>>解：⑴证明：由已知得BD=CD—CB=(2ei—e2)—(ei+3e2)=ei—4e2,>TAB=2ei—8e2,—>—>•••AB=2BD.—>—>又•••AB与BD有公共点B,•A，B，D三点共线.(2)由(1)可知BD=e1—4e2，—>•/BF=3ei—ke2,且B,D,F三点共线,—>—>•••存在实数人使BF=XBD,即3ei—ke2=入e—4入e入=3,得—k=—4入解得k=12.