数学第19节 直角三角形与勾股定理直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角______．2．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_____________．3．在直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的_______．4．在直角三角形中，_______上的中线等于斜边的一半．互余a2＋b2＝c2直角边一半斜边直角三角形的判定5．有一个角是______的三角形是直角三角形．6．有两个角______的三角形是直角三角形．7．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形．8．如果一个三角形一边上的______等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．直角互余直角中线①②③④B点拨：(1)根据勾股定理的逆定理作出判断；(2)根据折叠的性质，在Rt△B′EC中运用勾股定理可求．DB【例4】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，4，1，2，则正方形E的面积是()A．36B．25C．18D．91．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2C．(b＋c)(b－c)＝a2D．a＝3＋k，b＝4＋k，c＝5＋k(k＞0)2．(2014·淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()A．5B．6C．7D．25DADC5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为()A．4B．6C．16D．556．(2015·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为()CA7．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为____度．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于____．452πBB612．(2014·滨州)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM，∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM (2)AD⊥MC，理由：由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∵AD⊥DE，∴AD⊥MCD1．(2015·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为()A．0.5km B．1.5km C．0.9km D．1.2kmCDCCA7．(2015·宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若CD＝5，则EF的长为____．8．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是________________．5S1＋S3＝S211．(2015·汕尾)如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的长．12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，点F是BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等，给予
证明
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，若不相等，请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)相等．证△DBH≌△DCA，得BH＝AC (2)连接CG，证△ABE≌△CBE，得EC＝EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2＝EC2，可证GF垂直平分BC，∴BG＝CG，∴BG2－GE2＝EA2D16．已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__________，QE与QF的数量关系是___________；(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；(3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．AE∥BFQE＝QF解：(2)QE＝QF.证明：如图1，延长FQ交AE于点D，∵AE∥BF，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠4，AQ＝BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF，∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD上的中线，∴QE＝QF (3)此时(2)中的结论成立．理由：如图2，延长EQ，FB交于点D，∵AE∥BF，∴∠1＝∠D，又∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，∴△AQE≌△BQD，∴QE＝QD.∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE上的中线，∴QE＝QF人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
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