1.1.3正、余弦定理的综合应用1．在△ABC中，已知c＝10，C＝60°，a＝203，则∠A＝______.45°2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a＝6，b＝9，C＝60°，△ABC的面积是______3．在△ABC中，a＝3，c＝2，B＝150°，则b＝___74．在△ABC中，cosAcosB＜0，则△ABC必为_____三角形．5．在△ABC中，若BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_____.钝角＝解析：由正弦定理得BCACsin60°sin45°，即AC＝.三角函数公式的综合应用例1：在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA(1)确定角C的大小；(2)若c＝，且△ABC的面积为32，求a＋b的值．已知a＝2，c＝3，cosB＝.求：得b2＝22＋32－2×2×3×＝10，1－1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，14(1)b的值；(2)sinC的值．解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，14所以b＝.正、余弦定理的综合应用例2:在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＝1，求角B的大小．b2＋c2－a2＝，cosA＝2bc＝bc12bc2π3又∠A是△ABC的内角，∴∠A＝.解：(1)由
题
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知：(2)由正弦定理：asinA＝bsinB，又∵b
方法
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一：由余弦定理得＝a·a2＋c2－b2方法二：由acosA＝bcosB可得：2RsinA·cosA＝2RsinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B.∴△ABC为等腰或直角三角形．(2)方法一：由余弦定理得b·b2＋c2－a22bc2ac，化简得：a2＝b2.∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．方法二：bcosA＝acosB⇔sinBcosA＝sinAcosB⇔sinBcosA－sinAcosB＝0.∴sin(B－A)＝0，∴A＝B.∴△ABC为等腰三角形．根据已知条件适当选取定理，也是在解题中应该注意的问题．3－1.(2010年上海)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()CA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形故cosA＝－，A＝120°.例4：(2010年辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.12解：(1)由已知和正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c.即a2＝b2＋c2＋bc.得sinBsinC＝.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.(2)由a2＝b2＋c2＋bc得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，1412因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C，所以△ABC是等腰的钝角三角形．4－1.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知b2＋c2＝a2＋bc，求：(1)A的大小；(2)2sinBcosC－sin(B－C)的值．(2)2sinBcosC－sin(B－C)＝2sinBcosC－(sinBcosC－cosBsinC)＝sinBcosC＋cosBsinC解：(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
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